辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

这是一份辽宁省辽西重点高中2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷，共24页。试卷主要包含了 已知集合， 已知函数（为常数，等内容，欢迎下载使用。
满分 150 分，考试时间 120 分钟．
考⽣作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每⼩题选出答案后，⽤ 2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊；⾮选择题请⽤直径 0.5 毫⽶⿊⾊墨⽔签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案⽆效，在试题卷､草稿纸上作答⽆效．
⼀､选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．
1. 已知集合
，
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
已知，，且，则最⼩值为（）
A. 8B. 9C. 10D. 11
函数的单调递减区间为（）
已知样本数据均为正数，其⽅差，则样本数据的平均数为（）
A. 1B.C. 2D.
A.
B.
C.
D.
，
4.
定义在
上的偶函数
满⾜
， 且
时，
， 则
A.
（）
B.
C.
D.
，
，
在直⻆梯形中，已知
点的三等分点，点 是边上⼀个动点．则的取值范围是（）
，点 是边靠近
若平⾯，则（）
A B. C. D.
⼆､多选题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分．在每⼩题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知正数 a，b 满⾜，则（）
b 的取值范围是B. 的最⼩值为
C. 的最⼩值为 2D. 的最⼩值
⼩荣爱好篮球，他记录了在 7 ⽉份的 10 次训练成绩和 8 ⽉份的 20 次训练成绩.通过计算，他发现 7 ⽉份的训练成绩的平均值为 94，⽅差为 2.3；8 ⽉份的训练成绩的平均值为 97，⽅差为 1.1.下列说法正确的是
（）
⼩荣这两个⽉的 30 次训练成绩的平均值为 96
⼩荣这两个⽉的 30 次训练成绩的平均值为 95.5
A.
B.
C.
D.
7.
A.
已知复数
，
和满⾜
B. 3
，若
C.
，则
最⼤值为（
D. 1
）
8. 如图，在棱⻓均相等的正三棱柱
中，
分别为线段
的中点，点
在
上，
⼩荣这两个⽉的 30 次训练成绩的⽅差为 2.5
⼩荣这两个⽉的 30 次训练成绩的⽅差为 3.5
在中，⻆，，所对的边分别为，， ，且，，的平分线交于点，则（）
D. 若的内切圆的圆⼼为，则周⻓的最⼤值为
三､填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分．
直线经过函数图象的对称中⼼，则 的最⼩值为.
先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向
右平移个单位⻓度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴．
已知锐⻆⾯积为， 点分别在 上， 且对任意
恒成⽴，则．
四､解答题：本题共 5 ⼩题，共 77 分．解答应写出必要的⽂字说明､证明过程及演算步骤．
已知函数对任意的实数 m，n，都有，且当时，有．
（1）求的值；
A.
B.
C. 若
外接圆的⾯积为
，则
为直⻆三⻆形
（2）求证：在 R 上为增函数；
16. 已知函数（为常数，
）．
（1）当取何值时，函数为奇函数；
（2）当时，若⽅程
在
上有实根，求实数的取值范围．
17. 如图，在中，分别为边
上的点，且，
与
交于
点，记，，，．
求和的值，并⽤表示；
，
（2）若
，
，
，求
与
夹⻆的余弦值．
18.
中
， ⻆
A，
B，
C 的
对 边 分 别 为a， b， c， 已 知
（1）求⻆ C
的值；
．
求的最⼤值；
若 AB 边上的中线 CD ⻓为，求的⾯积．
19. 已知四棱锥底⾯为边⻓为 1 的正⽅形，平⾯.
求证：平⾯；
若，平⾯与平⾯的交线为 ，求直线 与直线所成⻆的余弦值；
若 为中点，且直线与平⾯所成⻆的正弦值为，求．
辽宁省辽⻄重点⾼中 2025~2026 学年度上学期⾼⼆开学考试数学试题
考⽣注意：
满分 150 分，考试时间 120 分钟．
考⽣作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每⼩题选出答案后，⽤ 2B 铅笔把答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊；⾮选择题请⽤直径 0.5 毫⽶⿊⾊墨⽔签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案⽆效，在试题卷､草稿纸上作答⽆效．
⼀､选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共 40 分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．
1. 已知集合
，
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】先⽤列举法表示集合
，再求两个集合的交集.
【详解】因为
，所以.
故选：A
2. 已知，，且
，则的最⼩值为（
）
A. 8B. 9
C. 10
D. 11
【答案】B
【解析】
“ 1” 的解题⽅法，可得答案.
【分析】整理题⼲中的等式，根据基本不等式中隐藏
【详解】由
，则
，
所以
，
当且仅当
时，等号成⽴.
故选：B.
函数的单调递减区间为（）
A. B. C. D. ，
【答案】A
【解析】
根据是定义在上的偶函数，，代⼊利⽤对数的性质即可得答案．
【详解】因为，
所以是⼀个周期为 4 的周期函数.因为是定义在 上的偶函数，∴
【分析】应⽤分段函数性质结合⼆次函数的单调性即可判断.
【详解】函数
，
当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为，单调递减区间为
；
所以函数的单调递减区间为.
故选：A.
4. 定义在 上的偶函数 满⾜ ， 且
时，
， 则
（）
A.B.C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数满⾜，可得函数的周期为 4，
，再
所以.
因为，所以
.
所以
所以.
故选：A.
【分析】根据⽅差的计算公式计算即可.
【详解】设样本数据的平均数为，
则⽅差，
所以，即，
因为样本数据均为正数，所以，故.
故选：C.
5. 已知样本数据
均为正数，其⽅差
，则样本数据的平均数为（）
A. 1
B.
C. 2
D.
【答案】C
【解析】
，
，
在直⻆梯形中，已知
点的三等分点，点是边上⼀个动点．则的取值范围是（）
A.B.C.D.
，点 是边靠近
设，则，且，，
，
因，当时，，当时，，故．
故选：D．
已知复数，和满⾜，若，则的最⼤值为（）
B. 3C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先利⽤复数的模与加减法的⼏何意义，及三⻆形两边之和⼤于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最⼤值.
【详解】根据题意，得，
【答案】D
【解析】
【分析】如图，以点
为原点，分别以
，
所在直线为，
轴，建⽴平⾯直⻆坐标系，设，
则，且
，
，从⽽得到
，结合⼆次函数的
性质即可求解
.
【详解】如图，以点
为原点，分别以
，
所在直线为，
轴，建⽴平⾯直⻆坐标系，
依题意，有，
，
，
，

当，，时，，此时，所以.
故选：B.
如图，在棱⻓均相等的正三棱柱中，分别为线段的中点，点在上，若平⾯，则（）
解.
【详解】
如图所示，取中点，连接.
是正三棱柱，为线段的中点，
，，
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】取
中点
，先证明平⾯
，进⽽得到
，然后分析出要使
平⾯
，只需
.通过计算得到
，进⽽在
中求出
，即可得
平⾯，平⾯，. , 平⾯，
平⾯，平⾯，.要使平⾯，只须.
设三棱柱的棱⻓为，
则，.
在中，，，
.
故选：C
⼆､多选题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共 18 分．在每⼩题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知正数 a，b 满⾜，则（）
b 的取值范围是B. 的最⼩值为
C. 的最⼩值为 2D. 的最⼩值
则，，解得，，故A 正确，对于选项B：因为，
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A：根据题意可得
，
，运算求解即可；对于BCD：根据题意结
合基本不等式分析判断，注意等号成⽴的条件.
【详解】对于选项A：因为正数 a，b 满⾜
，
且，则，
可得，
当且仅当，即时，等号成⽴，所以最⼩值为，故D 错误.
故选：AB
⼩荣爱好篮球，他记录了在 7 ⽉份的 10 次训练成绩和 8 ⽉份的 20 次训练成绩.通过计算，他发现 7 ⽉份的训练成绩的平均值为 94，⽅差为 2.3；8 ⽉份的训练成绩的平均值为 97，⽅差为 1.1.下列说法正确的是
（）
⼩荣这两个⽉的 30 次训练成绩的平均值为 96
⼩荣这两个⽉的 30 次训练成绩的平均值为 95.5
⼩荣这两个⽉的 30 次训练成绩的⽅差为 2.5
⼩荣这两个⽉的 30 次训练成绩的⽅差为 3.5
【答案】AD
【解析】
【分析】根据分层抽样的平均数公式及⽅差公式计算判断.
【详解】由题意可得⼩荣这两个⽉的 30 次训练成绩的平均值为，
整理可得
，解得
，或（舍
去），
当且仅当时，等号成⽴，
所以，故B 正确；
对于选项C：因为，则
，
所以 2 不是的最⼩值，故C 错误；
对于选项D：因为，则
，
则他这两个⽉的 30 次训练成绩的⽅差为.
故选：AD
在中，⻆，，所对的边分别为，， ，且，，的平分线交于点，则（）
外接圆的⾯积为
若，则为直⻆三⻆形
若的内切圆的圆⼼为，则周⻓的最⼤值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利⽤正弦定理和两⻆和的正弦公式化简⽬标式求解出判断A，利⽤正弦定理求出三⻆形外接圆的半径，再结合圆的⾯积公式求出外接圆⾯积判断B，结合题意求出，再得到，利
⽤余弦定理求出，，结合勾股定理得到为直⻆三⻆形判断C，作出符合题意的图形，结合内⼼的性质得到，再利⽤正弦定理得到，结合两⻆差的正
弦公式表示出周⻓，最后利⽤正弦函数的性质求解最⼤值判断D 即可.
【详解】对于A，由题意得
可得，
化简得
由两⻆和的正弦公式得
，由正弦定理得
，
，故
，
⽽，则，得到
，解得
，
⽽，可得，故A 正确，对于B，设外接圆的半径为，
则由正弦定理得
，
，
解得，由圆的⾯积公式得外接圆的⾯积为，故B 错误，对于C，如图，作出符合题意的图形，
因为，所以，
⽽的平分线交于点，则，得到，即，故，
在中，由余弦定理得，解得，故，
满⾜，则为直⻆三⻆形，故C 正确，对于D，如图，作出符合题意的图形，
因为，所以，
因为的内⼼为，所以，故，设，则，
在中，由正弦定理得，，
则，
得到的周⻓为
，
因为，所以，
则，可得，故D 正确．故选：ACD
三､填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共 15 分．
直线经过函数图象的对称中⼼，则 的最⼩值为.
【答案】9
【解析】
【分析】根据函数单调性分析可知函数的对称中⼼为，进⽽可得，结合乘“ 1” 法求最值.
【详解】对于函数，
令，解得且，可知函数的定义域为，
因为
，
可知函数的对称中⼼为，
由题意可知：直线经过点，则，即，
可得，
当且仅当，即时，等号成⽴，所以的最⼩值为 9.
故答案为：9.
先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位⻓度，得到函数的图象，求函数图象的对称轴．
【答案】，
【解析】
【分析】利⽤辅助⻆公式化简整理函数，然后根据函数的变换得到函数，令
，求得函数的对称轴.
【详解】由题意可得：，
函数的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变可得函数的图象，
函数的图象向右平移个单位⻓度可得函数的图象，
所以，
令，，解得：，，故答案为：，
已知锐⻆ 的⾯积为 ， 点分别在 上， 且对任意
【答案】
恒成⽴，则．
【解析】
【分析】根据题意可推出， 以及， ， 结合三⻆形的⾯积关系可得 和，继⽽结合数量积的定义求解，即得答案.
【详解】由题意知锐⻆的⾯积为，则，即得，
表示直线上⼀点到点 D 的向量，
故
表示直线上的⼀点到点 D 的距离，
由于对任意
恒成⽴，则的模即为 D 到直线
的最短距离，
则
，同理可得，
由于
，则，即得
，
由
由锐⻆
，得，
可知 A 为锐⻆，故为钝⻆，
故，
故，
故答案为：
四､解答题：本题共 5 ⼩题，共 77 分．解答应写出必要的⽂字说明､证明过程及演算步骤．
已知函数对任意的实数 m，n，都有，且当时，有．
求的值；
求证：在 R 上为增函数；
【答案】（1）
（2）证明⻅解析
【解析】
【分析】（1）利⽤赋值法，求；
（2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在 R 上为增函数.
【⼩问 1 详解】
由，
故此令，则，
则
.
【⼩问 2 详解】
设，是 R 上任意两个实数，且，令，， 则，所以，由得，所以，
故，即，故此函数为 R 上增函数.
已知函数（为常数，）．
当取何值时，函数为奇函数；
当时，若⽅程在上有实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数定义直接构造⽅程求解即可；
（ 2） 根据指数函数和对勾函数单调性可求得， 令 ， 将问题转化为⽅程
【⼩问 2 详解】
当时，，，
，
当时，，⼜在上单调递增，当时，，
令，则⽅程在上有实根，
在上有实根，⼜在上单调递增，
在
上有根，结合
单调性可求得结果.
【⼩问 1 详解】
若为奇函数，则
，
即
，
，，
， 解得：.

，.
如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，．
求和的值，并⽤表示；
若，，，求与夹⻆的余弦值．
【答案】（1）
，
，
（2）
【解析】
【分析】（1）利⽤基底
表示
，结合
以及平⾯向量基本定理求出
即可
表示；
（2）利⽤第⼀问求出
，
，再利⽤数量积的运算律以及向量夹⻆公式即可
.
【⼩问 1 详解】
因为，
，
，
则，
，
所以
，
，
所以
，
，
因为
，
所以，解得，
，
．
因为，
所以与夹⻆的余弦值为．
中 ， ⻆A， B， C 的 对 边 分 别 为a， b， c， 已 知 ，
．
求⻆ C 的值；
求的最⼤值；
若 AB 边上的中线 CD ⻓为，求的⾯积．
所以
，
【⼩问 2
详解】
；
因为
，
，
，
所以
，
，
，
因为
，
，
所以
．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】(1)先根据正弦定理对进⾏边⻆互化，再根据余弦定理，即可得到值，进⽽得到⻆ C 的值；
利⽤正弦定理，将"求的最⼤值问题"转化为"求的最⼤值问题"，再 转化为"求的最⼤值问题", 最后利⽤辅助⻆公式可得结果；
因为为边上中线，所以，两边平⽅可得到边的关系，结合(1)式结论，可求得的值，从⽽得到的⾯积.
【⼩问 1 详解】
因 为 ， 由 正 弦 定 理 ,可 得
，
整理可得，由余弦定理得，所以,所以.
因为在中，，所以.
【⼩问 2 详解】
因为，由正弦定理可得，可得，.
因为,所以.
,
所以，其中.
所以，当时，取得最⼤值，最⼤值为.
【⼩问 3 详解】
由题可知，，
由(1)知，即，① 因为为边上的中线，所以，
求证：平⾯；
若，平⾯与平⾯的交线为 ，求直线 与直线所成⻆的余弦值；
若为中点，且直线与平⾯所成⻆的正弦值为，求．
【答案】（1）证明⻅解析
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据线⾯垂直的判定定理进⾏证明.
两边平⽅得：
，
所以，②
② ①可得，可得
，
所以的⾯积
．
19. 已知四棱锥
的底⾯
为边⻓为 1 的正⽅形，
平⾯
.
先把直线 与直线所成的⻆转化为直线与直线所成的⻆，即为或其补⻆，再利⽤直⻆三⻆形的边⻆关系求解.
将四棱柱补成正四棱柱，利⽤线⾯⻆的概念明确直线与平⾯所成的⻆，再利⽤直⻆三⻆形的边⻆关系求的⻓.
⼩问 1 详解】
在四棱锥中，连接，，由平⾯，
平⾯，得，由正⽅形，得，
⽽，，平⾯，所以平⾯.
【⼩问 2 详解】
由正⽅形，得，⽽平⾯，
平⾯，则平⾯，⼜平⾯，平⾯平⾯，因此.
直线 与直线所成的⻆等于直线与直线所成的⻆，即为或其补⻆.由平⾯，平⾯，得，⽽,
，，平⾯，则平⾯.
⼜平⾯，因此，，则，，，
所以直线 与直线
所成⻆的余弦值为
.
【⼩问 3 详解】在四棱锥
中，平⾯
，四边形
是正⽅形，
将四棱锥
补形为正四棱柱
，平⾯即平⾯，
则平⾯，是直线与平⾯所成的⻆.
取中点，连接，，由是的中点，则， 平⾯，⽽平⾯，则.
设，则 EG＝，DG＝，
则 DE＝，⽽ DF＝，由直线与平⾯所成⻆的正弦值为，
，
整理得，解得或，所以或.在平⾯
内过
作
于
，连接
，
由
平⾯
，得
，⽽
，
，
平⾯
，