2026盐城七校联盟高三上学期9月第一次学情检测试题数学含解析

这是一份2026盐城七校联盟高三上学期9月第一次学情检测试题数学含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学试题
试卷分值：150分 考试时间：120分钟
第一部分 (选择题 共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 观察如图所示的“集合”的知识结构图，把“①包含关系，②描述法，③基本运算”这三项依次填入M，N，P三处，正确的是 （ ）

A. ①②③B. ①③②
C. ②①③D. ②③①
【答案】C
【详解】因集合的表示包括两种：列举法和描述法，故处为②；
集合的基本关系包括；包含关系和相等关系，故处为①；
集合之间的交、并和补集属于集合的基本运算，故为③.
故选：C
2. 已知且，下列各式中最大是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为，所以，，
所以，，
由均值不等式可知，所以，
由上可知：，
所以四个式子中最大，
故选：D.
3. 函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】由函数，可得函数的定义域为，
且满足，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项，
又由当时，，可得在上单调递增，
当时，，可得在上单调递减，
所以D选项符合题意.
故选：D
4. 设 则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为
所以，
故选：A
5. 若实数a、b满足 则 （ ）
A. -1B. 1C. D.
【答案】D
【详解】由，得；由，得，
则：，
则，
则：，
故选：D
6. 已知不等式 的解集 若对，不等式 成立，则实数m的最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 8
【答案】C
【详解】不等式的解集为，则方程的两根为，，且，
所以，解得，
不等式，即为，
故不等式对恒成立，
∵二次函数的对称轴为，则有：
①，解得；或②，无解；
综上所述：，所以实数的最大值为．
故选：
7. 已知函数 ，满足不等式 的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】当时，，则，
当时，，则，
当时，，满足，
所以函数为奇函数，
又时，，
，，，故，而，
，所以在上单调递增，
由函数为奇函数，所以在R上单调递增，
所以不等式等价于，
，即，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：A.
8. 已知可导函数的导函数为， 若对任意的， 都有 且为奇函数， 则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设，则，
由，得，又，
所以，故函数在上单调递减．
因为为奇函数，且定义域为，
所以，得，
所以，
不等式等价于，即，
又函数在上单调递减，所以，
故不等式的解集是．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合A为正偶数集，集合B为正整数集，下列表达式能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【详解】当自变量为正偶数时，由，，所得值都为正整数，故构成集合是B的子集，
而由所得y值不一定是正整数，如，所以值构成的集合不是B的子集，
故能建立从集合A到集合B的函数关系的是ABC.
故选：ABC
10. 给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A. 若，则
B.
C. 函数的最小值为
D. 已知函数且在上是减函数， 则的取值范围是
【答案】BCD
【详解】对于A，与同号，，，，
又，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，令，则，，即的最小值为，C正确；
对于D，且，当时，，，
；
当时，为减函数，又为减函数，
在上为增函数，；
综上所述，，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数， 则（ ）
A. B. 有一个零点
C. y轴是曲线的切线D. 在(1，+∞)上单调递增
【答案】ABD
【详解】由，，
则，，由于，则，故A正确；
令，解得，所以有一个零点，故B正确；
因为的定义域为，由函数定义知与函数图象无公共点，所以不可能是函数的切线，故C错误；
因为函数和在上单调递增，且时，，
所以函数在上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
第二部分 (非选择题 共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题“，”的否定是_________.
【答案】“，”.
【详解】命题“，”的否定是将条件中的“”改为“”，并将结论“”否定为“”，
所以命题“，”的否定是“，”.
故答案为：“，”.
13. 设， 已知(e为自然对数的底数)为偶函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则 _______ .
【答案】
【详解】因为是偶函数，即，
即，
整理可得，
即对成立，
因为不恒为，所以，即.
即，且，
则曲线在点处的切线斜率为，
其中直线的斜率为，
由切线与直线垂直可得，
化简可得，
令，则，即，化简可得，
即或（舍），
即，两边取对数可得.
故答案为：
14. 设A 是实数集的非空子集， 称集合 且 为集合A 的生成集. 当A={1,3,5}时，写出集合A的生成集B为___________；记集合M 中元素个数为 card(M)，若A 是由5个正实数构成的集合，则card(B)的最小值为___________.
【答案】 ①. ②. 7
【详解】（1）当A={1,3,5}时，列举出且 时的结果，
可得，
（2）设，设,
则,
所以集合B中元素个数大于或等于7，
例如当时，,
即集合B中元素个数的最小值为7，
故答案为：7.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集,集合，集合.
（1）当时，求，；
（2）若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【小问1详解】
当时，集合，且，
可得，
或
【小问2详解】
由是的充分不必要条件，则集合是的真子集，
则满足且等号不同时成立，解得，
经验证，当时，满足集合是的真子集，
所以实数m的取值范围是.
16. 已知函数 (其中)， ，记.
（1）若是的一条切线， 求a的值；
（2）当 时，设函数在坐标原点处切线为，证明：当时，函数的图象位于切线的下方.
【答案】（1）0 （2）证明见解析
【小问1详解】
由得，，令得，，
令得，；令得，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，函数是的一条切线，
∴ 切点坐标为，即切线方程为，
∴
【小问2详解】
当时，，，
∴ ，
∴ 切线为的方程为，
当时，设，
以下证明恒成立.
∵，只需证明恒成立，
设，则有，
∴ 函数在区间上单调递减，∴ ，
即当时，恒成立，此时函数的图象位于切线的下方.
17. 函数满足对任意，都有，且的图象关于直线x=1对称，当时，， 且函数恰有2025个零点.
（1）证明：函数为周期函数；
（2）求整数a的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）45
【小问1详解】
由的图象关于直线对称，得到，
又，所以，
即，从而得到函数的周期为，
所以函数为周期函数.
【小问2详解】
由可知，函数关于对称，
根据对称性、周期性及当时，，
当和时，函数图象相同，作出两函数图象（如图所示），
要使函数恰有2025个零点，
则函数的图象与图象在上恰有2025个交点，
由图象可知，第个交点为，
所以，
又，
所以由得，，
故或.
所以整数的值为45.
18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
（1）分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）关系式（利润＝销售收入－成本）；
（2）当该产品年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）答案见解析；
（2）年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元.
【小问1详解】
由题意可得当时，，
当时，
【小问2详解】
由（1）得时，，
此时（百件）时，（万元），
当时，，
因为，，所以：
，
即
当且仅当，即时等号成立，（万元），
而，故（百件）时，利润最大，
综上所述，年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元.
19. 已知函数．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）当时，试求函数的极值；
（3）若，时，对任意都有，求实数的范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析 （3）
【小问1详解】
函数的定义域为，，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得，则在上单调递增，
令，解得，则在上单调递减.
综上得，当时，上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
由条件得，，
令，则，
由（1）知，当时，在上单调递增，
此时函数无极值；
当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增.
又，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
此时函数有极小值，极小值为，函数无极大值；
当时，在上单调递减，
此时函数无极值.
综上得，当时，函数无极值；
当时，函数有极小值；无极大值；
当时，函数无极值.
【小问3详解】
当，时，由（1）知函数在上是单调递增函数，
又函数在上单调递减，
不妨设，则，，
，，
等价于，
即，
设，，
则等价于函数在区间上是减函数，
因为，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，，
又在上恒成立，所以在上是单调递增函数，
函数在的最大值为，
故，又，
所以实数的范围为.