吉林省长春市2025年中考真题数学试卷（解析版）

这是一份吉林省长春市2025年中考真题数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，四象限，当时，当时，，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如果水位下降记作，那么水位上升记作，
故选：B．
2. 下面几何体中为圆锥的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：A、该几何体为正方体，不符合题意；
B、该几何体为球，不符合题意；
C、该几何体为圆锥，符合题意；
D、该几何体为是三棱锥，不符合题意．
故选：C．
3. 下列计算一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
4. 下列不等式组无解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A、原不等式组的解集为，不符合题意；
B、原不等式组无解，符合题意；
C、原不等式组的解集为，不符合题意；
D、原不等式组的解集为，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（ ）
A 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】B
【解析】解：由题意得，四边形是矩形，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
故选：B．
6. 已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵点、在同一正比例函数的图象上，
∴，，
∴，
∵，
∴正比例函数的图象经过二、四象限，当时，当时，
∵，
∴，，
∴选项正确，选项错误，
故选：．
7. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：由折叠可得：，，
∴，故A正确，不符合题意；
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，，
∴，，
∴，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，，，
∴，故D错误，符合题意，
故选：D．
8. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（ ）
A. 24B. 27C. 45D. 50
【答案】C
【解析】解：由题意设关于的函数解析式为：，
代入点得：，
解得：，
∴关于的函数解析式为，
当时，；当时，，
∵，
∴在第一象限内，随着的增大而减小，
∴，
∴的值可以为，
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9. 8的立方根是______．
【答案】2
【解析】解：，
8的立方根是2．
故答案为：2．
10. 写出的一个同类项：_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】解：是的一个同类项，
故答案为：（答案不唯一）．
11. 已知，则代数式的值为_______．
【答案】3
【解析】解：∵，
∴
，
故答案为：3．
12. 若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是_______度．
【答案】
【解析】解：设扇形的圆心角度数为，半径为，
由题意得，
解得：，
故答案为：．
13. 图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则为_______度．
【答案】
【解析】解：∵正五边形的每一个内角为：，
∴，
故答案为：
14. 如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论：
①；
②；
③当时，；
④点与点之间的距离的最小值为．
上述结论中，正确结论的序号有_______．
【答案】①②④
【解析】解：∵正方形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，故①符合题意；
∵，，
∴，
∴，故②符合题意；
当时，，
∴，，
∴，故③不符合题意；
如图，取的中点，连接，
∵，
∴在以为圆心，为直径的圆上，
当共线时，最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意；
故答案为：①②④
三、解答题：本题共10小题、共78分．
15. 先化简．再求值：，其中．
【答案】，4
【解析】解：
，
当时，原式．
16. 长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率．
【答案】
【解析】解：由题意得，可画树状图为：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种，
∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是．
17. 如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形．
【答案】见解析
【解析】证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
18. 小吉和小林从同一地点出发跑800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．
【答案】小林跑步的平均速度为4米每秒
【解析】解：设小林跑步的平均速度为米每秒，则小吉的平均速度为米每秒，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴原方程的解为：，
答：小林跑步的平均速度为4米每秒．
19. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上．
（1）在图①中，是面积最大的等腰三角形；
（2）在图②中，是面积最大直角三角形；
（3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解；如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求．
20. 某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a．20名男生的臂展与身高数据如下表：
b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：，）
d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中、的值： ， ；
（2）该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于的男生人数；
（3）图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度．
（1）解：由表格信息可得：；
；
（2）解：该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：
（人）；
（3）解：∵，
当时，，
∴身高为男生的臂展长度约为.
21. 随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）甲机器人停工保养的时间为 分钟， ；
（2）求所在直线对应的函数表达式；
（3）若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．
（1）解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟；
∵，
∴（件）；
（2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件，
∴所在直线对应的函数表达式为：；
（3）解：当时，
∴，
解得：，
∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟.
22. 数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）．
，
，即的直径大于的直径．
是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ．
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆．
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形中，，．
（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点）
（2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ；
（3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ．
解：探究一：
理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）．
，
，即的直径大于的直径．
是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边．
故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；
探究二：∵，为的中点，
∴，
∴在上；
拓展应用：（1）如图，即为矩形的最小覆盖圆；
（2）∵矩形，，，
∴，；
（3）作的垂直平分线，交于，交于，
∴四边形，是两个全等的矩形，
∴，
∵用两个等圆完全覆盖矩形，
∴两圆一定过，
连接，交点分别为，
同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或，
∴最小直径为，
如图，作的垂直平分线交于，
同法作，，此时不是直径最小等圆；
综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为.
23. 如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．
（1）线段的长为 ；
（2）当时，求的长；
（3）当点在边上时，求证：；
（4）当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长．
（1）解：∵在中，，，
∴；
（2）解：如图，在中，，，点为边的中点，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，
∴；
（3）证明：∵旋转，
∴，
如图，∵，，
∴，
∵，，
∴；
（4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，
过作于，过作于，
∴四边形为矩形，
∴，
结合（1）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在的右边时，过作于，过作于，
同理：，
四边形四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
同理可得：，，
∴；
综上：的长为或.
24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标；
（3）设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值；
（4）连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）．
（1）将点代入中得：
解得：，
∴．
（2）根据抛物线对称轴公式可知：
抛物线的对称轴为，
∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、，
∴、中点在对称轴上，
∴，
，
解得：，
∵点是该抛物线上的点，
将代入抛物线解析式得，
，
即
设是A关于的对称点，则：
解得，，
∴点坐标为．
（3）∵抛物线顶点为，开口向上，，，
当时，包含，最低点为。
当时，，最高点为A，纵坐标差为：，
解得：；
当时，，最高点为B，纵坐标差为： ，
解得：．
综上，m的值为或．
（4）∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知：
∴，，，，
∴，，，，
当、运动到平行四边形内部时（即、、共线），如图：
过点作，如图：
此时，满足，
由一次函数的性质可的大小决定了直线的倾斜方向和函数的增减性，
所以当两条一次函数的直线平行时的大小相同，
∴
∴
解得
当、、共线时，如图，同理：
∴，
∴，
∴，
解得．
综上，．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
166
169
169
171
172
173
173
173
174
174
臂展
161
162
164
166
164
165
167
169
169
170
编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
身高
175
176
177
177
178
179
180
180
181
183
臂展
169
167
173
172
173
170
177
174
176
185
平均数
中位数
众数
身高
175
m
173
臂展
170
169