湖南省邵阳市2025届高三高考信息卷(一)数学试题

这是一份湖南省邵阳市2025届高三高考信息卷(一)数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=2i1+i−3i5在复平面内对应点的坐标为( )
A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−1,−2)
2.已知全集U=A∪B=x∈N∗|−1≤x≤4，A∩∁UB=1,2，则集合B=( )
A. −1,0B. 3,4C. 0,3,4D. 1,2,3,4
3.我国古代著名的数学专著《九章算术》中记载有几何体“刍夢”.”如图，在几何体“刍夢”EF−ABCD中，EF//平面ABCD，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，EF=12AB，O为正方形ABCD的中心，则( )
A. EO⊥平面ABCDB. EO//平面FBCC. EO//FBD. EO//FC
4.已知sinx−π24= 23，则cs2x+11π12=( )
A. −59B. −79C. 59D. 79
5.已知(3x+1)2025=a0+a1x+a2x2+⋯+a2025x2025，则43a1+432a2+⋯+432025a2025被4除的余数为( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
6.已知平面向量m=3an,−2，n=13,2n−1+n2n∈N∗.若m⊥n，则数列an的前100项和S100为( )
A. 2101+5048B. 2100+5048C. 2101+5050D. 2100+5050
7.已知函数f(x)的定义域为R，f(−2)=−1，f(1−x)为奇函数，f(x−1)为偶函数.若g(x)={2f(x)+3,010，则g(10)+g(17)的值为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
8.对于集合A中的任意两个元素x，y，若实数d(x,y)同时满足以下三个条件：
①“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”；
②d(x,y)=d(y,x)；
③∀z∈A，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z).
则称d(x,y)为集合A上的距离，记为dA.则下列说法错误的是( )
(1)d(x,y)=|x−y|为dR；
(2)d(x,y)=sinx−siny为dR；
(3)若A=(0,+∞)，则d(x,y)=lnx−lny为dA；
(4)若d为dR，则ed−1也为dR(e为自然对数的底数).
A. (1)(4)B. (1)(3)C. (2)(4)D. (2)(3)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中，正确的命题是( )
A. 某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人
B. 在 n次独立重复试验中，用 X表示事件 A发生的次数， p为每次试验中事件 A发生的概率，若E(X)=30，D(X)=20，则p=23
C. 设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)=p，则P(−10)绕原点O逆时针旋转π4所得的斜椭圆C.
(ⅰ)求斜椭圆C的离心率;
(ⅱ)过点Q( 23, 23)作与两坐标轴都不平行的直线l1交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线l2与直线l1垂直，直线l2交斜椭圆C于点G、H，判断 2|MN|+1|OH|2是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
19.(本小题17分)
如图，在三棱台ABC−DEF中，AB=BC=AC=2a，AD=FC= 22a，DF=a，N为线段DF上一点，BN⊥AC.
(1)求证：点N为线段DF的中点；
(2)若直线BN与直线AD所成角的正切值为5，BN> 3a，求证：平面ABC⊥平面ACD.
(3)设二面角D−AC−B的大小为α，直线BE与平面ABC所成角的大小为β，求tanβ关于α的函数表达式，并求tanβ的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为z=2i1+i−3i5=2i(1−i)(1+i)(1−i)−3i=1+i−3i=1−2i，
所以在复平面内，对于z=1−2i，所以其对应点的坐标为(1,−2).
故选：B.
2.【答案】B
【解析】解：由条件可知，U=A∪B=1,2,3,4，
且A∩∁UB=1,2，
所以B=3,4.
故选：B.
3.【答案】B
【解析】解：如图所示，作BC中点G，连接FG,OG，
因为O为正方形ABCD的中心，所以OG//AB,OG=12AB，
因为四边形ABFE是等腰梯形，所以EF//AB,EF=12AB，
则OG//EF,OG=EF，
所以四边形OGEF是平行四边形，所以EO//FG，
因为FG⊂面FBC，EO⊄面FBC，所以EO//平面FBC，
所以B正确；
只有FG⊥面ABCD时，EO⊥平面ABCD，因为不能保证面FBC⊥面ABCD成立，所以A错误；
因为EO//FG，EO//平面FBC，FG∩FB=B，所以EO和FB异面，所以C错误，同理可得以EO和FC也异面，所以D错误.
故选：B.
4.【答案】A
【解析】解：cs(2x+11π12)=cs [2(x−π24)+π]=−cs [2(x−π24)]=−1+2sin2 (x−π24)=−59.
故选：A.
5.【答案】D
【解析】解：令x=0，由已知可得，a0=12025=1，
令x=43，可得52025=a0+43a1+432a2+⋯+432025a2025，
所以43a1+432a2+⋯+432025a2025=52025−1，
因为52025=(4+1)2025=C20250⋅42025⋅10+C20251⋅42024⋅11+⋯+C20252024⋅41⋅12024+C20252025⋅40⋅12025
=C20250⋅42025⋅10+C20251⋅42024⋅11+⋯+C20252024⋅41⋅12024+1，
所以52025被4除的余数为1，则52025−1被4除的余数为0.
故选：D.
6.【答案】A
【解析】解：由m⊥n，则有m⋅n=3an×13−2×2n−1+n2=an−2n−n=0，
即an=2n+n，
则S100=21+22+⋯+2100+1+2+⋯+100
=21−21001−2+(1+100)×1002=2101−2+5050=2101+5048.
故选：A.
7.【答案】D
【解析】解：因为f(1−x)为奇函数，则f(1−x)=−f(1+x)，
用x+1代替x可得，f(−x)=−f(x+2)，
因为f(x−1)为偶函数，则f(x−1)=f(−x−1)，
用x+1代替x可得，f(x)=f(−x−2)，
用−x代替x可得，f(−x)=f(x−2)，
故−f(x+2)=f(x−2)，
用x+2代替x可得，即f(x)=−f(x+4)，
再用x+4代替x，则f(x+4)=−f(x+8)，
所以f(x)=f(x+8)，即函数f(x)的一个周期为8，
因为函数f(x)的一个周期为8，所以f(10)=f(2+8)=f(2)，
由f(−x)=−f(x+2)，令x=0，可得f(0)=−f(2)，
又f(x−1)=f(−x−1)，令x=1，则f(0)=f(−2)=−1，
所以f(2)=−f(0)=1，即f(10)=1，
因为函数f(x)的一个周期为8，所以f(17)=f(1+2×8)=f(1)，
由f(1−x)=−f(1+x)，令x=0，可得f(1)=−f(1)，
即2f(1)=0，所以f(1)=0，即f(17)=0，
已知g(x)=2f(x)+3,010，
则g(10)=2f(10)+3=21+3=5，
g(17)=lg2[f(17)+8]=lg2(0+8)=lg28=3，
所以g(10)+g(17)=5+3=8.
故选：D.
8.【答案】C
【解析】解：对于(1)，d(x,y)=|x−y|，
①d(x,y)=0，即d(x,y)=|x−y|=0，即x=y，
若x=y，则d(x,y)=|x−y|=|x−x|=0，
所以“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”，
②d(x,y)=|x−y|=|y−x|=d(y,x)，成立，
③∀x,y,z∈R，|x−y|=(x−z)+(z−y)≤|x−z|+|z−y|，故(1)正确；
对于(2)，d(x,y)=sinx−siny，
①d(x,y)=0，即d(x,y)=sinx−siny=0，即sinx=siny，
此时若x=0，y=π，则x≠y，故(2)错误；
对于(3)，d(x,y)=lnx−lny，
①d(x,y)=0即lnx−lny=lnxy=0，即xy=1，得x=y，
若x=y，则d(x,y)=lnx−lny=lnx−lnx=0，
所以“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”.
②d(x,y)=lnx−lny=lny−lnx=d(y,x)，成立；
③d(x,y)=lnx−lny=lnx−lnz+lnz−lny
≤lnx−lnz+lnz−lny=d(x,z)+d(y,z)，故成立，故(3)正确；
对于(4)，设∀x,y∈R，d(x,y)=|x−y|，则ed(x,y)−1=e|x−y|−1，
①若d(x,y)=0，则|x−y|=0，即x=y,ed−1=e|x−y|−1=e−1≠0，故(4)错误.
故选：C.
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查分层随机抽样，正态分布的概率，独立重复试验的期望和方差，属中档题.
根据分层抽样判断A选项，根据独立重复试验中数学期望和方差公式计算判断B选项，根据正态分布对称性求出对应概率判断C选项，根据互斥事件和的概率公式计算可判断D选项.
【解答】
解：对于A选项：根据分层抽样可得高一抽取20人，高二抽取18人，高三抽取19人，故A选项正确；
对于B选项：在n次独立重复试验中，E(X)=np=30，D(X)=np1−p=20，1−p=23,p=13，故B选项错误；
对于C选项：随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)=p，则P(0