2024^2025学年江西省鹰潭市余江区高一上学期第一次月考数学检测试题【解析】

这是一份2024^2025学年江西省鹰潭市余江区高一上学期第一次月考数学检测试题【解析】，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题等内容，欢迎下载使用。
1 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 将一元二次函数向左、向下各平移1个单位长度，得到的图像的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 若命题“，”为真命题，则实数a可取最小整数值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
7. 若，则有（ ）
A. 最小值0B. 最大值2
C. 最大值D. 不能确定
8. 定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 14D. 16
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分.选对但不全对得部分分，有选错得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 命题“，”否定是“，或”
C. 若，则函数的最小值为2
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
10. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
三、填空题；本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则的取值范围是________.
13. 已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______．
14. 已知正实数，满足，则的最小值是_______．
四、解答题；本题共5个小题，共77分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）求A；
（2）若，求实数a的取值范围．
16. 设命题：关于方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根．
（1）若为真，求实数的取值范围；
（2）若、有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
17. 已知不等式.
（1）当时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当时不等式恒成立，求实数m的取值范围.
18. （1）若，且，
求：（i）的最小值；
（ii）的最小值.
（2）解关于的不等式.
19. 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为.
（1）试用表示，并求的取值范围；
（2）用表示广告牌的面积；
（3）广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？
2024-2025学年江西省鹰潭市余江区高一上学期第一次月考数学检测试题
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】解一元一次不等式与一元二次不等式求得集合，进而可求得.
【详解】，
或，
所以或=.
故选：D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】利用不等式的性质化简，即可根据逻辑关系求解.
【详解】由可得，
由可得或，
故能得到，同时也无法推出，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 将一元二次函数向左、向下各平移1个单位长度，得到的图像的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由函数图像平移的规则求平移后的函数解析式.
【详解】将一元二次函数向左、向下各平移1个单位长度，得到的图像的解析式为.
故选：D
4. 若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】分是否为0两种情况进行讨论，结合二次方程根情况列式求解即可.
【详解】当时，，故符合题意；
当时，由题意，解得，符合题意，
满足题意的值的集合是.
故选：D.
5. 已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围.
【详解】因为，
所以当时，函数取得最小值2，
因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2，
所以.
故选：D
6. 若命题“，”为真命题，则实数a可取的最小整数值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
【正确答案】A
【分析】分析可知，根据存在性问题结合配方法分析求解.
【详解】因为，即，
又因为，当且仅当时，等号成立，
若，，即，
所以实数a可取的最小整数值是.
故选：A.
7. 若，则有（ ）
A. 最小值0B. 最大值2
C. 最大值D. 不能确定
【正确答案】C
【分析】根据基本不等式求乘积的最大值，再检验最小值的情况即可得解.
【详解】由基本不等式，得，
当且仅当，即时等号成立，
故有最大值，故C正确，BD错误；
令，解得或，
又，所以取不到函数值0，故A错误.
故选：C.
8. 定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（ ）
A. 3B. 4C. 14D. 16
【正确答案】B
【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定义对集合进行划分，即可得到所有划分的个数.
【详解】依题意，，
的2划分为，共3个，
的3划分为，共1个，
故集合的所有划分的个数为4.
故选：B.
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分.选对但不全对得部分分，有选错得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 命题“，”的否定是“，或”
C. 若，则函数的最小值为2
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【正确答案】BD
【分析】特殊值法判断A,特称命题的否定判断B,应用基本不等式判断C,应用恒成立得出判别式即可求参判断D.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，命题“”的否定是“或”，故B正确；
对于C，则，
当且仅当，此时无解，故取不到等号，
所以，故C错误；
对于D，当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，，故D正确.
故选：BD
10. 对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ACD
【分析】首先讨论，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，得不等式的解集.
【详解】对于一元二次不等式，则
当时，函数开口向上，与轴的交点为，
故不等式的解集为；
当时，函数开口向下，
若，不等式解集为；
若，不等式的解集为，
若，不等式的解集为，
故选：ACD
11. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
【正确答案】AB
【分析】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD.
【详解】不等式解集为，
所以是的两个根，且，故A正确；
对于B，所以，
可得，
所以，
所以不等式的解集是，故B正确；
对于C，因为，，
可得，故C错误；
对于D，因为，
即解，解得，故D错误.
故选：AB.
三、填空题；本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则取值范围是________.
【正确答案】
【分析】利用不等式的性质可求的取值范围.
【详解】因为，故且，
故.
故答案为.
本题考查不等式的性质，此问题属于容易题.
13. 已知命题，使为真命题，则实数m的取值集合为B，若为非空集合，且是的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】先求出集合B，再利用充分不必要条件转化为是的真子集，利用集合关系解题即可.
【详解】由题意，可知关于x的方程无实数根，
所以，解得，即，
因为为非空集合，所以，即，
因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
则，即，所以．
故．
14. 已知正实数，满足，则的最小值是_______．
【正确答案】
【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】正实数，满足，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故
四、解答题；本题共5个小题，共77分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，．
（1）求A；
（2）若，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据已知条件，解出分式不等式即可．
（2）根据已知条件，分是否为空集讨论，即可求解．
【小问1详解】
由题意得，解得，
则.
【小问2详解】
因为，
当时，，解得，满足题意，
当时，因为，所以，解得
综上所述，实数的取值范围为．
16. 设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根．
（1）若为真，求实数的取值范围；
（2）若、有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据题意，若为真，即即可求解；
（2） 由、一真一假，分别讨论两种情况即可.
【小问1详解】
对于命题，因关于的方程无实数根，
所以，即.
因为真，故实数的取值范围为.
【小问2详解】
若命题为真，因关于的方程有两个不相等的实数根，
所以，即或.
、有且仅有一个为真命题，所以、一真一假，
当真假时， ，即或；
当假真时， ，即.
综上所述：实数的取值范围为.
17. 已知不等式.
（1）当时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当时不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分与两类进行讨论求解即可；
（2）根据二次项系数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质，分、和三类进行讨论求解即可；
【小问1详解】
①若，则原不等式可化为，显然恒成立，
②若，则不等式恒成立，
等价于 ，解得，
综上，实数m的取值范围是.
【小问2详解】
①当时，则原不等式可化为，显然恒成立，
②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线，
若时不等式恒成立，
则，解得，
③当时，函数的图象开口向下，
若时不等式恒成立，
则，解得，
综上，实数m的取值范围是.
18. （1）若，且，
求：（i）的最小值；
（ii）的最小值.
（2）解关于的不等式.
【正确答案】（1）（i）（ii）；（2）答案见解析
【分析】（1）（i）根据基本不等式即可直接求解；（ii）利用乘 “1”法即可求解；
（2）分、、、、讨论，解不等式可得答案.
【详解】（1）（i）由，及基本不等式，可得，
故，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为64；
（ii），，，
，
当且仅当且，即，时等号成立，即 取得最小值18；
（2），
当时，，即，原不等式的解集为；
若，原不等式化为，
显然，所以原不等式的解集为；
若，原不等式化为，
（i）当即时，原不等式的解集为；
（ii）当即时，原不等式的解集为；
（iii）当即时，原不等式的解集为.
综上所述，当时原不等式的解集为；
时，所以原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为；
时，原不等式的解集为.
19. 如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设广告牌的高为，宽为.
（1）试用表示，并求取值范围；
（2）用表示广告牌的面积；
（3）广告牌的高取多少时，可使广告牌的面积最小？
【正确答案】（1）
（2）
（3）140cm
【分析】（1）运用面积之和得到等式，再写成函数表达式即可；
（2）矩形面积公式写函数表达式；
（3）运用换元，结合基本不等式解题即可.
【小问1详解】
每栏的高和宽分别为，其中两栏面积之和为：，
整理得，.
【小问2详解】
；
【小问3详解】
令，
则；
当时，取最小值为24500，此时；
答：当广告牌的高取140cm时，可使广告的面积S最小.