广东省深圳中学2026届高三上学期摸底考试数学【含解析】

这是一份广东省深圳中学2026届高三上学期摸底考试数学【含解析】，共13页。试卷主要包含了已知，则，已知向量与的夹角为，，则等于，若，则的元素个数为．，设等差数列的前项和为，若，，则，设，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，则( )
A．B．C．D．
2.已知向量与的夹角为，，则等于( )
A．B．C．D．
3.若，则的元素个数为( )．
A．B．C．D．
4.设等差数列的前项和为，若，，则( )
A．B．C．D．
5.设，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6.已知，将图象向左平移个单位后得到的图象，若与的图象关于原点对称，则( )
A．B．C．D．
7.已知是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率是( )
A．B．C．D．
8.水平桌面上放置了个半径为的小球，个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切，若用一个半球形的容器罩住个小球，则半球形容器内壁半径的最小值为( )
A．B．C．D．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列结论正确的是( )
A．函数的周期为B．函数的图象关于对称
C．函数的图象关于对称 D．函数为奇函数
10.已知数列满足，则下列结论正确的是( )
A．为等比数列B．
C．的前项和D．的前项和
11.某同学在学习了双曲线的定义后受到启发，研究平面上到点距离的倒数之差的绝对值等于的点的轨迹，设点为曲线上一点（即满足），则下列结论正确的是( )
A．曲线关于原点对称
B．点横坐标的取值范围是
C．当点不在坐标轴上时，点在椭圆的内部
D．设点的坐标为，则随着的增大而增大
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知正数满足，则的最大值为____________．
13.已知，函数，若恒成立，则的取值范围是____________．
14.某不透明箱子中有个除颜色外完全相同的小球，其中个白球，个红球和个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量，则____________．
解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题满分13分）
在中，角的对边分别为，．
（1）求角；
（2） 若，为锐角三角形，求的取值范围．
16.（本题满分15分）
如图，已知正方形的边长为，分别为的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，为线段上一点．
（1） 若为线段中点，设直线与直线的交点为，证明：平面；
（2） 是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时线段的长度；若不存在，请说明理由．
17.（本题满分15分）
乒乓球台被球网分成甲，乙两部分，如图，甲被划分为两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，并规定：回球一次，落点在上记分，在上记分，其他情况记分．对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为．
（1）假设每次来球都等可能地落在上，现已知小明某次回球落在乙上，求他此次回球得分的概率；
（2）假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响，求两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望．
18.（本题满分17分）
已知抛物线的焦点是，点是抛物线上一点（异于坐标原点），当时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）若是以为直径的圆，证明：与轴只有一个公共点，且直线与抛物线只有一个公共点；
（3）设，过的直线与交于另一点，交轴于点，过作的垂线交于另一点，若是的切线，求的最小值．
19.（本题满分17分）
已知函数．
（1）若函数在处的切线经过，求的值；
（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；
（3）若满足，证明：．
参考答案与详细解析
【答案】B
【解析】由复数模运算性质，，因此，故选B．
【答案】A
【解析】由题意得，解得，故选A．
【答案】C
【解析】，解得，因此，，因此，故，含2个元素，故选C．
【答案】D
【解析】设公差为，，因此，，，故选D．
【答案】A
【解析】若，则，反之，取，满足但，因此“”是“”的充分不必要条件，故选A．
【答案】D
【解析】，由与的图象关于原点对称可得，因此，解得，由可得，故选D．
【答案】C
【解析】设为中点，由几何关系可得，由双曲线定义，，解得，故选C．
【答案】C
【解析】若容器内壁半径最小，只需每个小球均与其所在的球体相切即可，如图所示，设为半球形容器的球心，为小球球心，则是棱长为2的正方体的体对角线，故所求半径的最小值为，故选C．
【答案】ABC
【解析】A选项，，因此函数的周期为4，A正确．B选项，由为偶函数可得恒成立，即的图象关于对称，B正确．C选项，，即，因此的图象关于对称，C正确．D选项，，因此为偶函数，D错误．故选ABC．
【答案】ACD
【解析】A选项，取倒数可得，因此，且，所以是首项为2，公比为2的等比数列，A正确．B选项，易知各项为正，有，因此，B错误．C选项，由上述分析可得，因此，C正确．D选项，，因此，D正确．故选ACD．
【答案】ACD
【解析】A选项，设关于原点对称，则，因此若在曲线上，则，即也在曲线上，说明曲线关于原点对称，A正确．B选项，对于轴上的点，有，因此不会在曲线上，这意味着点横坐标的取值范围不可能为，B错误．C选项，不妨设，则，由三角不等式，因此，若，则有，，矛盾，因此，由于，可得，其中，由于在上单调递增，可得，这说明除了坐标轴上的和外，点在以为焦点，长轴长为的椭圆内部，即点在椭圆的内部，C正确．D选项，不妨设，记由上述分析可得，，因此，由两点距离公式易得，因此，当增大时，增大，D正确．故选ACD．
【答案】4
【解析】由均值不等式，，因此，解得，当即时取得．
【答案】
【解析】易知当时，当时，因此题意可转化为在时恒成立，且在时恒成立．设，，若，则在上单调递减，时，不合题意；若，则在上单调递增，时，符合题意．设，若在时恒成立，必有，此时是增函数，当时，符合要求．综上所述，的取值范围是．
【答案】
【解析】摸5个球共种不同方法，若恰好在第5次摸球后将所有球都摸到，分为如下情况：①第5次摸到的是黄球，则前4次摸到的均为白球和黄球，共种方法；②第5次摸到的是白球，则前4次摸到的球可能为2红2黄或1红3黄，2红2黄的摸法有种，1红3黄的摸法有种；③第5次摸到的是红球，与摸到白球的情况同理，因此所求概率．
【解析】
= 1 \* GB2 ⑴ 由题意得
由正弦定理，
在△中，，因此
因此，且
故，即
由可得，因此．
= 2 \* GB2 ⑵ 由正弦定理，，因此
由△为锐角三角形，有，因此
易知在上单调递减，因此
故的取值范围为．
【解析】
= 1 \* GB2 ⑴ 证明：连接，设
由四边形是平行四边形可得为的中点
在△与△中，
因此，故
∵平面平面 ∴平面．
= 2 \* GB2 ⑵ 过作于点
由可得平面，且平面，因此
∵平面平面
∴平面，如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系
由题意得即为二面角的平面角，因此，故△是边长为2的正三角形，
设，
设平面的法向量
，可取
设直线与平面的夹角为，则
若，则，解得或
因此当的长度为1或3时，直线与平面所成的角为．
【解析】
= 1 \* GB2 ⑴ 设事件表示来球落在A上，事件表示来球落在B上，事件表示小明回球落在乙上，事件表示小明回球得3分
由题意得
由全概率公式，
因此
故小明此次回球得3分的概率为．
= 2 \* GB2 ⑵ 可能取值为，由两次回球结果相互独立可得
，，
，，
分布列如下
．
【解析】
= 1 \* GB2 ⑴ 当时，，由题意得
由，解得，因此抛物线的方程为．
= 2 \* GB2 ⑵ 由题意，设中点为，则
而的半径，因此到轴的距离等于的半径，说明与轴相切，有唯一公共点
直线的斜率，因此
，
故直线与抛物线相切，只有一个公共点．
= 3 \* GB2 ⑶ 设
的斜率，同理斜率
由于，有
直线的方程为，令，
因此，由 = 2 \* GB2 ⑵可得，若是抛物线的切线，有
即，整理得
由可得，因此．
综上所述，的最小值为．
【解析】
= 1 \* GB2 ⑴ ，由题意
因此函数在处的切线为，令，有．
= 2 \* GB2 ⑵ 由题意，方程在上有两个不同的根，即在上有两个不同的根．令，
因此在上单调递增，在上单调递减，
当及时，均有
因此若在上有两个不等实根，则．
= 3 \* GB2 ⑶ 由 = 2 \* GB2 ⑵，当时，在上单调递减
由于，所以
待证不等式
设，则
令，易知当时，即
故
设，，可得
因此时，
由于，可得即．
当时，有两极值点，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
，因此
因此在上有唯一零点，有
且，这说明时，，由可得
此时，，显然．综上所述，
0
1
2
3
4
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