2026广西部分学校高二上学期开学考试数学含解析

这是一份2026广西部分学校高二上学期开学考试数学含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数，则（ ）
A．B．C．2D．4
2．已知半径为的扇形面积为3，则扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．1D．2
3．在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（ ）

A．B．C．D．
5．已知正方体的棱长为，则直线到平面的距离为（ ）
A．2B．C．1D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．位于灯塔P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔P的东北方向的C处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．30海里
8．如图，设，，线段与交于点F，且，则（ ）

A．4B．3C．D．5
二、多选题
9．若复数（），则（ ）
A．当z为实数时，
B．当z为纯虚数时，
C．当z的实部与虚部相等时，
D．z在复平面内对应的点不可能位于第一象限
10．已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则( )
A．
B．
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合
11．在正四棱柱中，，点H在棱上，且直线与直线所成的角为，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．直线与底面所成角的余弦值为
D．平面截正四棱柱所得截面的面积为
三、填空题
12．若球O的表面积为，则该球的半径为 ．
13．在矩形中，，P为边上一点，则 ．
14．若的两条中线长均为2，则面积的最大值为 ．
四、解答题
15．已知非零向量，，且．
(1)求x的值；
(2)求向量与的夹角；
(3)求向量在方向上的投影向量的模．
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B的大小；
(2)已知，证明：是等腰三角形．
17．已知，，且，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求．
18．在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．

(1)证明：平面．
(2)求二面角的正切值．
(3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．
19．已知函数，．
(1)设函数，，求的值域．
(2)设函数．已知，，，求的最小值．
1．B
根据复数的乘法运算以及复数模的计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意得，故，
故选：B
2．D
根据给定条件，利用扇形面积公式列式求解.
【详解】设扇形的圆心角为，依题意，，解得，
所以扇形的圆心角为2.
故选：D
3．A
根据给定条件，利用余弦定理直接求解即可.
【详解】在中，由余弦定理得.
故选：A
4．C
先求出平行四边形的面积，再根据直接求解.
【详解】因为四边形是平行四边形，且，，
所以平行四边形面积
根据直观图与原图面积关系，
所以.
故选：
5．C
作出辅助线，证明平面及平面，求出点到平面的距离即可.
【详解】连接交于点E，

由四边形为正方形，得，且为中点，
由⊥底面，平面，得⊥，
而，平面，则平面，
因此AE的长即为点到平面的距离，
又正方体棱长为，则，
而平面，平面，则平面，
故直线到平面的距离，即点到平面的距离.
故选：C
6．B
利用和角的正余弦公式化简求解.
【详解】由，得，
整理得，所以.
故选：B
7．B
根据题设画出示意图，利用正弦定理可得.
【详解】依题意，画出示意图如下，，，
在中，，由正弦定理得，
因此（海里），
所以乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是海里.
故选：B.
8．D
先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案.
【详解】，，
又，故，所以，
因为，，所以，
因为三点共线，所以，
故.
故选：D
9．ABD
根据给定条件，利用复数有相关概念及几何意义逐项判断.
【详解】对于A，复数是实数，则，A正确；
对于B，当z为纯虚数时，，则，B正确；
对于C，当z的实部与虚部相等时，，解得，，则，C错误；
对于D，当z在复平面内对应的点位于第一象限时，，即，无解，
因此z在复平面内对应的点不可能位于第一象限，D正确.
故选：ABD
10．BCD
对A，由图数据得边长，求出；对B，由点坐标求出；对C，代入验证最值；对D，由图象变换可得.
【详解】对于A：如图，因为 为等边三角形，且高为 ，
所以边长为，所以T2=4，T=8，ω=2π8=π4，A错误；
对于B：因为点的坐标为，所以C3,23，
所以，3×π4+φ=π2+2kπ,k∈Z，解得φ=−π4+2kπ,k∈Z
又，所以，B正确；
对于C：由上知fx=23sinπ4x−π4，而f7=23sinπ4×7−π4=23sin3π2=−23，C正确；
对于D：的图象向左平移个单位长度，解析式变为y=23sinπ4x+2−π4=23sinπ4x+π4，
即所得图象与函数gx=23sinπ4x+π4的图象重合，D正确.
故选：BCD.
11．ACD
根据给定条件，利用正四棱柱的结构特征，结合线面角求解判断AC；求出三棱锥体积判断B；作出截面并求出面积判断D.
【详解】在正四棱柱中，，
对于A，由直线与直线所成的角为，得，而，则，A正确；
对于B，连接，
则点到平面的距离等于斜边上的高，
，而是的中点，
则点到平面的距离为，
又，
则，B错误；
对于C，连接，由底面，
得是直线与底面所成的角，
，C正确；
对于D，分别取中点，连接，由，
，得四边形为平行四边形，则且，
而四边形为平行四边形，因此，
平行四边形为平面截正四棱柱所得截面，
而，即平行四边形为菱形，又，
所以，D正确.
故选：ACD

12．
利用球的表面积公式列式求解.
【详解】设球O的半径为，由球O的表面积为，得，解得，
所以该球的半径为.
故答案为：
13．9
根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算得解.
【详解】在矩形中，，，
由P为边上一点，得，，
所以.
故答案为：9
14．
设两中线相交于点，设，并利用重心性质得到，，表达出S△ABC=83sinα，并求出最值.
【详解】不妨设边边上的中线长分别为，即，
相交于点，为的重心，设，
其中，，则，
故，故S△BCD=43sinα，S△ABC=2S△BCD=83sinα，
显然当时，S△ABC=83sinα取得最大值，最大值为.
故答案为：
15．(1)1
(2)
(3)
（1）根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案.
（2）根据向量的夹角公式求解即可.
（3）求出向量在方向上的投影向量，即可求得答案.
【详解】（1）已知非零向量，，故，
而，故，解得或，
由于为非零向量，故，故；
（2）结合（1）可知，，则，
故，
故向量与的夹角为；
（3）向量在方向上的投影向量为，，
故向量在方向上的投影向量的模为.
16．(1)
(2)证明见解析.
（1）利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求解即得.
（2）由（1）的结论，利用正弦定理边化角即可推理得证.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
整理得，由余弦定理得，而，
所以.
（2）由及正弦定理，得，由（1）知，
因此，即，所以是等腰三角形.
17．(1)；
(2)；
(3).
（1）根据给定条件，利用差角的正切公式计算即可.
（2）利用二倍角的正余弦公式化简得解.
（3）确定角的范围，再利用和角的正切公式求解.
【详解】（1）由，，得.
（2）由，得.
（3）由，，得，由（1）知，
则，，，
所以.
18．(1)证明见解析；
(2)
(3)存在，，理由见解析.
（1）由线面垂直的判定定理可证；
（2）作出二面角的平面角，在中求值；
（3）当时满足条件，由正弦定理求出即得比值.
【详解】（1）因为底面，所以底面，平面，
所以，所以，
又，是中点，所以.
因为底面，平面，所以，
又底面是正方形，所以，，平面，
所以平面，平面，所以，
又，平面，所以平面.
（2）因为底面，平面，所以平面⊥底面，
过点作，因为平面平面
所以平面，过作，连接，则，
所以是二面角的平面角.

因为是中点，所以，
设，则GFOD=34，所以GF=34×12×82=32，
所以tan∠EGF=EFGF=2332=63，即二面角的正切值是.
（3）对线段上的点，因为平面，平面，
所以，则当时，满足条件.
如图，在四边形中，过作，垂足为，交于，
则∠ECD=∠EDT=∠D1DH，
设D1H=x，则D1Hsin∠D1DH=D1Dsin∠D1HD
因为DE=4,CD=8，所以，所以sin∠D1DH=445=55，
又∠HD1D=45°，所以sin∠D1HD=sin45°+∠D1DH=31010
所以D1H=D1D·sin∠D1DHsin∠D1HD=8×5531010=823，又CD1=82，
所以，此时时，，，AE,CE⊂平面，
所以平面，平面，所以平面⊥平面.

19．(1)；
(2).
（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简函数，再利用余弦函数性质求出值域.
（2）求出函数并确定其周期，再分段探讨函数的性质，确定最小正周期及最小值、最大值，并作出部分图象，借助图象求出的最小值.
【详解】（1）依题意，
，
由，得，则，
所以的值域为.
（2）函数定义域为，
，则是函数的一个周期，
当，即时，，
函数在上单调递增，函数值从增大到1；
当，即时，，
函数在上单调递增，函数值从1增大到2，在上单调递减，函数值从2减小到1；
当，即时，，
函数在上单调递减，函数值从1减小到；
当，即时，，
函数在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到，
当时，函数在上单调递增，函数值从增大到2；在上单调递减，
函数值从2减小到；在上单调递增，函数值从增大到0，在上单调递减，函数值从0减小到，如图，
函数的最小正周期为，当时，，
当或时，，
由，，得，
观察图象知，所以的最小值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
A
C
C
B
B
D
ABD
BCD
题号
11









答案
ACD