江西省宜春市丰城中学2024-2025学年下学期高一创新班入学考试数学试卷

这是一份江西省宜春市丰城中学2024-2025学年下学期高一创新班入学考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知点关于轴的对称点为A，则等于（ ）
A. B. C. D. 2
2. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量满足，且，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
4．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B． C． D．
5. 设函数，若的图象经过点，且在上恰有2个零点，则实数ω的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的最大值为（ ）
A. B. C. 10 D.
7. 在直角坐标系内，圆，若直线绕原点顺时针旋转后与圆存在公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 若角，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 有一组样本数据，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为.由这组数据得到新样本数据，其中，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（ ）
A. 椭圆的中心在直线上 B.
C. 椭圆的离心率为 D. 直线与椭圆所在平面所成的角为
11. 已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，，，则（ ）
A. 当为底面的中心时， B. 当时，长度的最大值为6
C. 当时，长度的最小值为 D. 当时，为定值
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知复数z与复平面内的点对应，则_________.
13. 双曲线的左，右焦点分别为、，是双曲线的右支上的一点，的内切圆圆心为，记、的面积分别为、，则_________.
14. 已知是定义在上的函数，若，且，使得，都有，则称函数具有性质．给出下列四个结论：
①函数具有性质；
②函数具有性质；
③若函数具有性质，且是偶函数，则是周期函数；
④若函数具有性质，且是奇函数，则是的一个对称中心．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
15．（本小题满分13分）已知空间中三点，，，设，．
(1)求向量与向量的夹角的余弦值；
(2)若与互相垂直，求实数的值．
16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为6的正三角形，，分别是线段和上的点，.
（1）试确定点的位置，使得平面，并证明；
（2）若直线与平面所成角正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.

17．（本小题满分15分）如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，．
(1)证明：；
(2)若，求．
18．（本小题满分17分）已知点，，曲线上的点与两点的连线的斜率分别为和，且，在下列条件中选择一个，并回答问题（1）和（2）．
条件①：；条件②：．
问题：
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在一条直线与曲线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分17分）如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，且为的中点，点在平面内的射影为点，且.
（1）求证：；
（2）当为等边三角形时，求点到平面的距离；
（3）若，记三棱锥的外接球表面积，当函数取最小值时，平面与平面夹角的大小为，求实数的值.