2025-2026学年广东省江门一中高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年广东省江门一中高二（上）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z满足z1+3i=1+i1−i(i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A. −3+iB. iC. −3D. 1
2.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用样本估计总体，以下四个选项不正确的( )
A. 丁险种最受参保人青睐
B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越高
C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20%
D. 30～41周岁参保人数最多
3.若圆锥的底面半径为1，体积为π3，则该圆锥的侧面展开图的面积是( )
A. πB. 2πC. 3πD. 2π
4.某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94，96，98，96，95，97.则这组数据的( )
A. 众数为98B. 平均数为95C. 方差为53D. 标准差为53
5.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若9sin2B=4sin2A,csC=−14，则ca=( )
A. 3 24B. 54C. 2 33D. 43
6.设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂β，且α//β，则m//n B. 若m⊂α，n⊂β，且m⊥n，则α⊥β
C. 若α⊥β，α∩β=n，且m⊥n，则m⊥β D. 若m//n，n//β，且m⊥α，则α⊥β
7.如图，欲测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，在C，D两观测点处测得塔顶A的仰角分别为30°，45°，并测得∠BDC=120°，CD=30m，则塔高AB为( )
A. 15 3m
B. 15m
C. 30 2m
D. 30m
8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0B，则sinA>sinB
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
C. 若sin2A+sin2B>sin2C，则△ABC是锐角三角形
D. 若a=10，b=9，B=60°，则符合条件的△ABC有两个
11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A. BP的最小值为 62
B. 当P在A1D上运动时，都有C1P⊥BD1
C. 当P在直线A1D上运动时，三棱锥A−B1PC的体积不变
D. PA+PC的最小值为 2− 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某机构研究得出10名肺炎病患者的潜伏期(单位：天)分别为8，12，11，7，9，17，14，13，12，15，则这10个数据的第70百分位数是______．
13.已知复数z满足|z−1+i|=1，其中i为虚数单位，则|z|的最小值为______．
14.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑A−BCD中，BC=CD=4，AB⊥平面BCD，当该鳖臑的外接球的表面积为48π时，则它的内切球的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行四边形ABCD中，BE=12BC，CF=2FD．
(1)若EF=xAB+yAD，求3x+2y的值；
(2)若|AB|=6，|AD|=4，∠BAD=60°，求AC⋅EF的值．
16.(本小题15分)
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数；
(2)在样本答卷成绩为[70,80)，[80,90)，[90,100]的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在[70,80)中的市民应抽取多少人？
(3)若落在[50,60)的平均成绩是57，方差是2，落在[60,70)的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数z−和总方差s2．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sinxcsx−2 3sin2x+ 3．
(1)设α∈(π2,π)，f(α2)=1013，求sinα的值；
(2)若x∈[0,π2]时，m0且c>0，可得ca=43．
故选：D．
根据正弦定理化简所给等式，可得b=23a，然后运用余弦定理建立关于a、c的等式，算出ca的值．
本题主要考查运用正弦定理与余弦定理解三角形的知识，考查了计算能力，属于基础题
6.【答案】D
【解析】解：若m⊂α，n⊂β，且α/​/β，则m/​/n或m与n异面，所以A选项错误；
若m⊂α，n⊂β，且m⊥n，则α与β平行或相交，所以B选项错误；
若α⊥β，α∩β=n，且m⊥n，则m与β相交或m⊂β，所以C选项错误；
若m/​/n，m⊥α，则n⊥α，又n/​/β，所以存在n1⊂β使得n//n1，
所以n1⊥α，n1⊂β，所以α⊥β，所以D选项正确．
故选：D．
根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：设AB=ℎ，则在直角三角形ABC以及直角三角形ABD中，
由∠ACB=30°，∠ADB=45°得BC= 3ℎ,BD=ℎ，
又∠BDC=120°，CD=30，由余弦定理得BC2=DC2+DB2−2DB⋅DBcs∠BDC，
即3ℎ2=900+ℎ2−2×30ℎcs120°，解得ℎ=30(负值舍去)，
所以AB=30m．
故选：D．
由余弦定理求解．
本题考查了解三角形问题以及余弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由图看的点C的横坐标为π3，
所以f(x)的最小正周期T=2[π3−(−π6)]=π，故B正确；
所以ω=2，又f(−π6)=0，由五点作图法可得2⋅(−π6)+φ=0，
所以φ=π3，因此f(x)=Asin(2x+π3)，
由x∈(−7π12,−π3)，可得2x+π3∈(−5π6,−π3)，
所以函数f(x)在(−7π12,−π3)上不单调，故A错误；
函数f(x)的图象向左平移π12个单位后，得到函数y=Asin(2x+π2)=Acs2x，
对称轴为2x=kπ，k∈Z，即x= kπ2，k∈Z，故关于直线x=π2对称，故C正确；
若圆半径为5π12，则 32A= (5π12)2−(π3)2，所以A= 3π6，
函数f(x)解析式为f(x)= 3π6sin(2x+π3)，故D正确．
故选：A．
由函数图象可求f(x)的周期，利用周期公式可求ω=2，由五点作图法，可求φ的值，求得函数解析式，利用正弦函数的图象和性质即可求解．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查了三角函数的图象与性质，三角函数的平移变换，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当a/​/b时，则有2x=1，解可得x=12，A正确；
对于B，向量a=(2,1)，b=(1,x)，即a+2b=(4,1+2x)，
当|a+2b|=5时，即42+(2x+1)2=25，解可得：x=1或−2，B错误；
对于C，当x=1时，b=(1,1)，a在b方向上的投影向量为a⋅b|b|2b=32b，C正确；
对于D，当x=12时，向量a=2b，两个向量夹角为0，不是锐角，D错误．
故选：AC．
根据题意，由向量平行的坐标表示方法分析A，由向量模的计算公式分析B，由投影向量计算公式分析C，举出反例可得D错误，综合可得答案．
本题考查向量数量积的性质和应用，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：在△ABC中，若A>B，则a>b，结合正弦定理得sinA>sinB，可知A项正确；
由sin2A=sin2B，且A、B为三角形的内角，可得2A=2B或2A+2B=π，
所以A=B或A+B=π2，可得△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B项正确；
△ABC中，若sin2A+sin2B>sin2C，结合正弦定理得a2+b2>c2，
所以csC=a2+b2−c22ab>0，可知C为锐角，但无法确定A、B是否为锐角，
因此不能判断出△ABC是锐角三角形，故C项错误．
△ABC中，a=10，b=9，B=60°，根据正弦定理可得sinA=asinBb=5 39> 32，
所以π30,b>0，当且仅当a=b时等号成立)确定m的最小值，进而求出相应的其他参数，代入三角形面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式的应用，还考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．