2025-2026学年四川省泸州市泸县五中高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年四川省泸州市泸县五中高二（上）开学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|−1≤x≤3}，B={x|x≤0,x∈Z}，则A∩B=( )
A. {x|−10或xa2，a2+c2>b2，
即为1+c2− 2c+1>c2，c2+1>1+c2− 2c，1+c2− 2c+c2>1，
解得 220g(1)=1−(a−2)+40
或Δ=(a−2)2−16>0g(1)=1−(a−2)+4>0g(3)=9−(a−2)×3+40，可得tanα=13；
(2)根据tanα=13，可得tan2α=2×131−(13)2=2389=34．
所以tan(2α+β)=tan2α+tanβ1−tan2αtanβ=34+171−34×17=25282528=1，
因为α∈(0,π4)，2α∈(0,π2)，且β∈(0,π2)，所以2α+β∈(0,π)，可得2α+β=π4．
(1)根据二倍角的余弦公式得出csα与sinα的关系式，结合同角三角函数的基本关系求出tanα的值；
(2)出tan(2α+β)的值，结合2α+β的取值范围确定出角2α+β的大小．
本题主要考查同角三角函数的基本关系与诱导公式、两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题．
16.【答案】f(x)=3cs(2x−π6)； 4 6−518
【解析】(1)由题意可得A=3，又因为f(x)过点(0,3 32)，
所以csφ= 32，
又−π27π9，
所以2πω>7π9，解得ω0，所以ω=2，所以f(x)=3cs(2x−π6)；
(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
所以g(x)=3cs(x−π6)，
又g(α)=1，所以3cs(α−π6)=1，所以cs(α−π6)=13，
因为α∈[π2,2π3]，所以α−π6∈[π3,π2]，所以sin(α−π6)=2 23；
所以cs(α−π3)=cs[(α−π6)−π6]=cs(α−π6)csπ6+sin(α−π6)sinπ6
=13× 32+2 23×12= 3+2 26，
所以sin(2α−π6)=cs[(2α−π6)−π2]=cs(2α−2π3)=2cs2(α−π3)−1
=2( 3+2 26)2−1=3+8+4 618−1=4 6−518．
(1)由题意可得A=3，利用f(x)过点(0,3 32)，可求得φ=−π6，利用f(x)过点(7π12,−3)，结合周期可求ω=2，可求解析式；
(2)由已知要得cs(α−π6)=13，进而可求得cs(α−π3)，利用诱导公式与二倍角的余弦公式可求值．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的求法，正弦型函数的性质，三角函数的值，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
17.【答案】BN=12a−b，CM=13a+23b；
λ=34；
−45．
【解析】(1)已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=9，BM=13BA，N为AC的中点，
又CA=a，CB=b，BN与CM相交于点P，
则BN=BC+CN=−b+12CA=12a−b，
故CM=CB+BM=b+13BA=b+13BC+13CA=b−13b+13a=13a+23b；
(2)由(1)可得：CP=λCM=λ3CA+2λ3CB=2λ3CN+2λ3CB，
因为P，B，N三点共线，
设PB=mBN，
即CB−CP=mCN−mCB，
CP=(1+m)CB−mCN，
故2λ3=−m，2λ3=1+m，
所以2λ3+2λ3=1，
解得λ=34；
(3)由(1)知，BN=12a−b，CM=13a+23b，
又∠C=90°，AC=6，BC=9，故a⋅b=0，
CM⋅BN=(13a+23b)⋅(12a−b)=16a2+0−23b2=16×36−23×81=−48，
|CM|= (13a+23b)2= 19a2+49a⋅b+49b2= 19×62+0+49×92=2 10，
同理：|BN|=3 10，
则cs∠MPN=cs〈BN,CM〉=CM⋅BN|CM|⋅|BN|=−482 10×3 10=−45．
(1)利用向量基本定理得到BN=12a−b，CM=13a+23b；
(2)表达出CP=λCM=2λ3CN+2λ3CB，根据P，B，N三点共线，得到2λ3+2λ3=1，求出λ=34；
(3)在(1)基础上，得到CM⋅BN=−48，|CM|=2 10，|BN|=3 10，利用夹角余弦公式进行求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
18.【答案】3； 证明见解析； 23．
【解析】解：(1)如图，连接AC交BD于点N，连接MN，
∵PA/​/平面BDM，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BDM=MN，
∴PA/​/MN，在梯形ABCD中，∵BC/​/AD，
∴△ADN∽△CBN，
∴CNAN=CBAD=13，
∵PA//MN，
∴PMMC=ANCN=3，
∴λ=3；
(2)证明：∵BC/​/AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BC/​/平面PAD，又∵BC⊂平面PBC，
平面PBC∩平面PAD=l，
∴BC/​/l，又∵l⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴l/​/平面ABCD．
(3)在AD上取一点O，使得DO=1，连接OP，OB，OC，
∵BC/​/AD，AD=3BC，
∴OD//BC且OD=BC，
∴四边形OBCD为平行四边形，∴CD/​/OB，
∵∠ADC=90°，∴∠BOD=90°，∴AD⊥OB，
又AB=2 2，AO=2，∴BO=2，
又△PAD≌△BAD，∴AD⊥OP，
∵OP∩OB=O，OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，
∴AD⊥平面POB，
∵BP⊂平面POB，∴AD⊥BP，
过点P作l/​/AD，由AD//BC，则l/​/BC，
∴l⊂平面PAD，l⊂平面PBC，
即平面PAD∩平面PBC=l，∴l⊥OP，l⊥BP，
∴∠BPO为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角，∴∠BPO=45°．
又由OP=OB=2，∴∠OBP=45°，∴∠BOP=90°，
∵PO⊥OB，AD⊥PO，∵AD∩OB=O，AD⊂平面ABCD，OB⊂平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，
PC= PO2+CO2= PO2+CD2+DO2= 4+4+1=3，
∴sin∠PCH=POPC=23，
因此，PC与平面ABCD所成角的正弦值为23．
(1)连接AC交BD于点N，连接MN，利用线面平行的性质可得出PA//MN，由△ADN∽△CBN，可得出CNAN=CBAD=13，再由PA//MN，可求得PMCM的值；
(2)证明出BC/​/平面PAD，利用线面平行的性质可证得结论成立；
(3)取AD的中点O，连接OP、OB，过点P作/​/AD，分析可知，∠BPO为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角，即有∠BPO=45°，证明出PO⊥平面ABCD，则∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，计算出PC、PO的长，即可计算出∠PCO的正切值．
本题考查线面平行的判定，以及线面角的计算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)=3x是“(a,b)型函数”，
所以存在实数对(a,b)使得等式3a+x⋅3a−x=b成立，
即32a=b，
代入a+lg3b=6，可得a+lg332a=6，
即a=2，b=34=81，
所以满足条件的实数对为(2,81)；
(2)由g(x)=π2x是(a,b)型函数，
得g(a+x)⋅g(a−x)=π2a+x⋅π2a−x=π2a+x+2a−x=b，
则4a(a+x)⋅(a−x)=lgπb，
因此4a=lgπb⋅a2−lgπb⋅x2对定义域{x|x≠0}内任意x恒成立，
于是−lgπb=0lgπb⋅a2=4a，解得a=0，b=1，
所以a=0，b=1；
(3)因为对任意x1∈[−2,2]时，都存在x2∈[−2,0]，使得g(x1)=ℎ(x2)成立，
所以g(x)在[−2,2]上的值域是ℎ(x)在[−2,0]上的值域的子集，
又因为当x∈[−2,0]时，ℎ(x)=|x−2|∈[2,4]，
所以对任意x∈[−2,2]，都有2≤g(x)≤4，
因为g(x)是“(a,b)型函数”，且对应的实数对为(0,8)，
所以g(x)⋅g(−x)=8．
当x∈[0,2]时，−x∈[−2,0]，
则只需满足对任意x∈[0,2]，都有2≤g(x)≤4且2≤g(−x)=8g(x)≤4成立，
即对任意x∈[0,2]，都有2≤g(x)≤4即可，
即不等式2≤x2−m(x−2)≤4对任意x∈(0,2]恒成立且2≤g(0)≤4．
①当x=0时，g(0)⋅g(0)=8，g(0)=2 2时满足条件；
②当x=2时，g(2)=4，满足条件；
③当x∈(0,2)时，该不等式等价于2−x22−x≤m≤2+x，
当x∈(0,2)时，m≤x+2恒成立，
易知m≤2；
当x∈(0,2)时，m≥2−x22−x恒成立，
所以m≥(2−x22−x)max，
m≥−(2−x+22−x)+4，−(2−x+22−x)+4≤4−2 2，
当且仅当x=2− 2取等号，即m≥4−2 2；
综上，m∈[4−2 2,2].
【解析】(1)根据“(a,b)型函数”的定义求解即可；
(2)根据“(a,b)型函数”的定义求解即可；
(3)由题意可得g(x)在[−2,2]上的值域是ℎ(x)在[−2,0]上的值域的子集，即有对任意x∈[−2,2]，都有2≤g(x)≤4，进而转化为2≤x2−m(x−2)≤4对任意x∈(0,2]恒成立且2≤g(0)≤4.分x=0、x=2和x∈(0,2)分别求解即可．
本题属于新概念题，考查了指数函数、二次函数的性质，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题．