江西省赣州市南康中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含答案）含答案解析

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在长方体中，已知为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D. 6
5．已知直线与圆相交于A，B两点，则当取最小值时，（ ）
A．B．C．D．0
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知在三棱锥中，除外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9. 设l，m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列判断错误的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若直线，，且l⊥m，l⊥n，则
D. 若l，m是异面直线，，，且，，则
10. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l的一个法向量为
B. 若直线m：，则
C. 点到直线l的距离是2
D. 过与直线l平行的直线方程是
11. 中，角所对的边为下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则一定是锐角三角形
B. 若，则一定是等边三角形
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，且，则与夹角的余弦值为：______．
13．已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当△ABC的面积取得最小值时，直线的斜率为 .
14. 如图，已知正四棱锥的棱长均为2，分别是的中点，是所在平面内的一点，则的最小值为______．
四、解答题：本小题共5小题，共77分．
15. 已知三棱柱中，侧棱垂直于底面，点D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）若底面ABC为边长为2的正三角形，，求三棱锥体积．
16. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则：
（1）求圆C的方程．
（2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度．
17. 在中，，，分别是角，，的对边，向量，，且.
（1）求；
（2）若，，的平分线交于点，求的长.
18. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面AECD．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由．
19. 已知函数（，，）的图象如图所示.将函数y=fx的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作y=gx.
（1）求函数的单调减区间；
（2）求函数的最小值；
（3）若函数在内恰有6个零点，求的值.