广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高二上学期培优班9月月考（开学考）数学试题（含答案）含答案解析

这是一份广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高二上学期培优班9月月考（开学考）数学试题（含答案）含答案解析，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|x²-3x+2=0}, B ={-2,0,1,2,4}, 则A∩B = ( )
A. {1}B.{1,2}C. {1,2,4}D.{0,1,2}
2.如图，平行六面体 ABCD−A1B1C1D1中，设 AB=a,AD=b,AA1=c,则 BD1=
A.−α+b+c B.a−b+c
C.a+b−c D.−a−b+c
3. “关于x, y的方程: x2+y2+mx+4y+8=0)表示圆”是“m>4”的( )条件
A.必要不充分 B.充要C.充分不必要D.既不充分也不必要
4.汕头市某中学为了解高二学生的期末数学考试成绩，研究人员对700名学生进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，则这700名学生期末数学考试成绩的中位数约为()
A.92.5B.95
C.97.5D.100
5.定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值. 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中, 直线AC与BC₁之间的距离是 ( )
A. 2B. 3/₃C. 12D. 13
6. 已知A(4,0), B(0,4), 从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后, 再射到直线OB上, 最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 ()
A.33B.6 C.210D.2 5
7.已知圆 C:x2+y2−4x−4y+4=0,直线l:x+y+1 = 0, Q为l上的动点. 过点Q作圆C的切线QA,QB, 切点为A,B, 当|AB|·|CQ|最小时, 直线AB的方程为 ( )A. x+y-2=0B. 5x+5y-12=0
C. x+2y-3=0D. 3x+6y-8=0
8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱AB的中点， PF=2FB,PG= λGC,D, E, F, G四点共面, 则λ= ( )
A. 1B. 12C. 23D. 34
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知事件A，B发生的概率分别为 PA=13,PB=23,则下列说法正确的是 ()
A.事件A与事件B互为对立事件B. 若A⊆B, 则 PAB=13
C. 若 PAB=14,则 PAB=112D. 若 PA∪B=79,则事件A与事件B相互独立
10.已知圆 C1:x−22+y−12=1, 圆 C2:x+22+y+12=1, 则下列是圆C₁与圆C₂的公切线的直线方程为 ()
A. y=0B. 4x-3y=0
C.x−2y+5=0 D.x+2y−5=0
11.已知棱长为2的正方体 ABCD−A1B1C1D1中， Q, R满足 BQ=λBB1,A1R= μA1C, 其中λ∈[0,1], μ∈[0,1], 则下列结论正确的是 ( )
A. 当 λ=μ=12时, |QR|=1
B. 当 μ=13时, D₁R//平面BDC₁
C. ∀μ∈[0,1], ∃λ∈[0,1], 有 AQ⟂D1R
D. ∀λ∈[0,1], ∃μ∈[0,1], 有D₁R⊥CQ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线 l1:x+ay+1=0,l2:a−1x+2y−2=0.若 l1‖l2,则实数a的值为 .
13.已知圆0 :x−32+y2=r2,一条过点 0−3)的直线将圆O分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线x =6后反射，射出的直线恰好和圆O相切，则r的值为 .14. 已知O为△ABC外心, ∣AB∣⋅∣AC∣=4,∠BAC=2π3, 若 AO=λAB+μAC, 其中λ，μ∈R, 则λ+2μ的最小值为 .
四、解答题: 本题共5小题, 第15小题13分, 第16、17小题15分, 第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本, 发现得分均在区间[30,90]内.现将100个样本数据按[30,40), [40,50),[50,60), [60,70), [70,80), [80,90]分成6组, 得到如下频率分布直方图.
(1)求出频率分布直方图中x的值；
(2)请估计样本数据的众数和平均数；
(3)学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是77分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由.
16. 在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知△ABC的外接圆半径 R=14, sin2A+sin2B+sinAsinB=2csinC.
(1)求角C;
(2)求2a+b的取值范围.17. 如图, 在三棱锥P-ABC中, AC =2, BC =4, △PAC为正三角形, D为AB的中点, ∠PCB =∠ACB =90°.
(1)求证: 平面PAC⊥平面ABC;
(2)若O为AC的中点，求平面POD与平面PBC的夹角.
18.设x₁为函数f(x)的任一零点，x₂为函数g(x)的任一零点，若| ∣x1−x2∣≤1,则称函数f(x)与g(x)是“零点近距函数”.
(1)已知函数 fx=2csπ3x+1x∈03,gx=lg3x−1,判断f(x)与g(x)是否为“零点近距函数”，并说明理由；
(2)设函数求证: f(x)与g(x)是“零点近距函数”的充要条件为a =-2；
(3)若函数 fx=x+1−ln1−ax−2−ax∈0+∞与 gx=ex−a+x−1−a是“零点近距函数”，求实数a的取值范围.
19. 已知点O(0, 0), A(1, 0), B(4, 0), 动点P到B的距离是P到A点距离的2倍, 记动点P的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的轨迹方程；
(2)已知动点Q在直线l:y=2x+2上, 过Q作曲线Γ的两条切线l₁, l₂分别切于C, D两点,直线 l3:y=2与l₁, l₂分别交于E, F, 连接CF, DE交于K.
(i)直线CD是否过定点，如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由；
(ii) 求|OK|的最小值高二暑期学习成果检测 数学试卷(培优班)参考答案
5.设M为直线AC上任意一点，过M作MN⊥BC₁，垂足为N，可知此时M到直线 BC1距离最短
设 AM=λAC=λAB+λAD,BN=μBC1=μAD+μAA1,
则 MN=AN−AM=AB+BN−AM=1−λAB+μ−λAD+AA1,
BC1=AD+AA1,
∵MN⟂BC1,∴MN⋅BC1=0,
即| 1−λAB+μ−λAD+μAA1⋅AD+AA1=0
∴μ−λAD2+μAA1−2=0,即μ-λ+μ=0,∴λ=2μ,
∴MN=1−2μAB−μAD+μAA1,
=1−2μ2+μ2+μ2+μ2=6μ2−4μ+1=6μ−132+13
∴当 μ=13时， ∣MN∣取得最小值 13=33,故直线AC与BC₁之间的距离是 33.
6.【详解】由题意直线AB方程为x+y=4，设P关于直线AB的对称点Q(a,b),
员 {ba−2=1a+22+b2=4,解得 {a=4b=2,即Q(4,2), 又P关于y轴的对称点为T(-2,0), ∣QT∣=−2−42+0−22=210.
故选：C
7.【详解】
因为圆( C:x2+y2−4x−4y+4=0可化为( x−22+y−22=4,所以圆心C(2,2), 半径为y =2, 因为QA,QB是圆(ˊ的两条切线, 则QA⊥AC,QB⊥BC,
由圆的知识可知, A,Q,B,C四点共圆, 且AB⊥CQ, |QA|=|QB|,
所以 QC|·∣AB∣=4S△QAC=4×12×∣QA∣×∣AC∣=4∣QA∣,又 ∣QA∣=∣QC∣2−2,所以当|QC|最小, 即QC⊥l时, |QC|·|AB|取得最小值,题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
B
B
C
B
A
BCD
ABC
题号
11
12
13
14





答案
BCD
2
3
2+223





此时QC的方程为: y-2=x-2, 即y=x, 联立 {y=xx+y+1=0,解得 x=y=−12,即 Q−12−12,
所以 ∣QC∣=2+122+2+122=522,中点为 3434,
故以|QC|为直径的圆的方程为 x−342+y−342=258,即， x2+y2−32x−32y−2=0,又圆 x2+y2−4x−4y+4=0两圆的方程相减即为直线AB的方程：5x+5y-12=0.
8.【详解】
由题意可得 DE=DA+AE=DA+12DC,
因为 PF=2FB,所以 DF=DP+PF,且 PF=23PB,PB=PD+DB,
DB=DA+AB=DA+DC,
所以 DF=DP+23PD+DA+DC=13DP+23DA+23DC,
因为 PG=λGC,所以 PG=λλ+1PC,PC=PD+DC,
所以 DG=DP+λλ+1PD+DC=1λ+1DP+λλ+1DC,
因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有 DG=xDE+yDF,
所以14+ DP+λλ+1DC=xDA+12DC+y13DP+23DA+23DC=y3DP+x+2y3DA+x2+2y3DC,
所以解得 {x=−1y=32λ=1,所以λ= 1.
10. ABC
【详解】根据题意可知，两圆心C₁(2,1),C₂(-2,-1)关于原点对称,在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：
显然，圆心距| ∣C1C2∣=25>1+1,即两圆外离，共有4条切线；
又两圆心到x轴的距离都等于其半径，所以x轴是其中一条公切线，即A 正确；
利用对称性可知，其中一条切线l₁过原点，设其方程为y=kx，
又C₁(2,1)到切线l₁的距离为l,即 ∣2k−1∣1+k2=1,解得k =0或 k=43;
当k =0时，切线即为x轴，当 k=43时，切线方程为 y=43x,即4x-3y=0, B正确;
由对称性可知，切线l₂，l₃与直线C₁C₂平行，易知 kC1C2=1+12+2=12,所以直线C₁C₂的方程为 y=12x,可设l₂，l₃的方程分别为 y=12x+c,y=12x−c,c0)由两平行线间距离公式可得 ∣c∣1+122=1,解得 c=52,
即切线l₂，l₃的方程分别为 y=12x+52,y=12x−52;
整理可得两切线方程为 x−2y+5=0和 x−2y−5=0,故C正确，D错误；
11.【详解】以D为原点，分别以 DA,DC,DD1所在直线为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则正方体各顶点坐标为D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), D₁(0,0,2), A₁(2,0,2), B₁(2,2,2),C₁(0,2,2),
因为 BQ=λBB1,BB1=002,所以点Q坐标为(2,2,2λ),
又因为 A1R=μA1C,A1C=−22−2,A1202,
所以点R坐标为(2-2μ,2μ,2-2μ),
对于A，当 λ=μ=12时, 点Q(2,2,1), 点R(1,1,1),
则 ∣QR∣=2−12+2−12+1−12=1+1+0=2≠1故A 错误；
对于B，当 μ=13时，点 R432343,
设平面BDC₁的法向量为i n=xyz,DB=220,DC1=022,
由 {n→·DB→=2x+2y=0n→·DC1→=2y+2z=0,取x=1, 可得y=-1, z=1,
所以n=(1,-1,1)为平面BDC₁的法向量,
所以 D1R⊥n,
叉D₁R⊄平面BDC₁, 所以D₁R//平面BDC₁, 故B 正确;
对于 C,
当μ=0时, AQ⋅D1R=0恒成立，当μ≠0时，令 AQ⋅D1R=0,得λ=1,
所以∀μ∈[0,1], ∃λ∈[0,1], 有AQ⊥D₁R, 故C 正确;
对于D,(
令 CQ⋅D1R=0,即 4−4μ1+λ=0,μ=11+λ,
因为λ∈[0,1], 所以 μ=11+λ∈121,
所以∀λ∈[0,1], ∃μ∈[0,1], 有 D1R⟂CQ,故D正确.
14.2+223
【详解】设 ∣AB∣=c,∣AC∣=b,则 ∣AB∣⋅∣AC∣=bc=4,，如下图所示：
取线段AB的中点E，连接OE，由垂径定理可知OE⊥AB，所以， AO⋅AB=AE+EO⋅AB=AE⋅AB+EO⋅AB=12AB2,
同理 AO⋅AC=12AC2,AC⋅AB=∣AC∣⋅∣AB∣cs2π3=−2
因为 AO=λAB+μACλμ∈R,则 AO⋅AB=λAB2−2μ,
即 12c2=λc2−2μ,所以， λ=22c2+2μc2=12+2μc2,(①
AO⋅AC=λAB⋅AC+μAC2,即 12b2=−2λ+μb2,
所以， μ=22D2+2λb2=12+2λb2,②联立①②可得 λ=12b2c2+b2b2c2−4,μ=13b2c2+c2b2c2−4,
所以 λ+2μ=12b2c2+b2b2c2−4+b2c2+2c2b2c2−4=32b2c2+b2+2c2b2c2−4
=24+b2+2c212≥24+2b2×2c212=2+223,当且仅当 b=2cc时，等号成立，故λ+2μ的最小值为 2+223
15. (1)x = 0.02;(2)众数、平均数依次为62分、65 分；(3)学生甲能得到奖励，理由见解析.
【详解】(1) 由直方图知(0.01×3+2x+0.03)×10=1,所以x=0.02;
(2) 平均值为: (35×0.01+45×0.01+55×0.02+65×0.03+75×0.02÷85×0.01)×10=62分，众数为： 60+702=65分；
(3)成绩低于70分的频率为0.7，成绩低于80分的频率为0.9，则得到奖励的最低成绩为70+ 0.8−0.70.9−0.7×10=75