2024_2025学年内蒙古鄂尔多斯高二上学期期末考试数学试题[有解析]

这是一份2024_2025学年内蒙古鄂尔多斯高二上学期期末考试数学试题[有解析]，共19页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 下列求导结果正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册、选择性必修第二册第四章～第五章第2节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（ ）
A. 第42项B. 第41项C. 第9项D. 第8项
【正确答案】B
【分析】由递推得到通项公式，然后计算即可.
【详解】由已知数列1，，，，3，…，，…，即，，
，，，…，，…，则数列的第项为，
令，解得，所以9是该数列的第41项.
故选：B.
2. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】通过求导，利用导数求瞬时变化率求解．
【详解】因为，所以，
故当时，，
即时，“高原版”复兴号动车的加速度为，
故选：B
3. 已知直线，䒴，，则（ ）
A. 或B. C. 或D.
【正确答案】B
【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解.
【详解】已知直线，
由，得，且，解得，
由，得，故.
故选：B.
4. 已知函数，则（ ）
A. 6B. 3C. D.
【正确答案】D
【分析】先求出，通过赋值法求得代入，即可得.
【详解】因为，
所以，
令，得，
∴，
所以，故
故选：D.
5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 20B. 16C. 7D. 2
【正确答案】C
【分析】根据成等差数列，得到方程，求出答案.
【详解】由题意得成等差数列，
故，即，
解得.
故选：C
6. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据双曲线的定义及已知得，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次方程，进而求渐近线.
【详解】由双曲线定义知，又，则，，
在中，，，则，
所以，可得，则，
所以的渐近线方程为.
故选：C.
7. 经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（ ）
A. B. C. 2D.
【正确答案】B
【分析】先求得直线故直线的方程，再与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解.
【详解】解：中，，，
所以，即，
故左焦点为，而，
故直线的方程为，
联立得，
，设，，
由韦达定理得，，
则由弦长公式得．
故选：B．
8. 已知数列的首项为1，且，设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前200项和为（ ）
A. 42602B. 42609C. 42770D. 42762
【正确答案】D
【分析】应用累加法得出，进而得出,再根据等差及等比数列求和公式计算即可.
【详解】因为数列的首项为1，且，
所以，即得，
所以，
则数列的前200项和为数列的前208项的和减去数列的前8项的和，
即数列的前200项和为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AD
【分析】根据导数的运算法则直接计算即可.
【详解】对A，，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：AD
10. 在平面直角坐标系中，已知曲线，则下列说法正确的是( )
A. 若曲线表示圆，则实数取值范围是
B. 存在实数，使得点在曲线内
C. 若，直线与曲线相交于两点，则线段的长度为
D. 若，则过点且与曲线相切的直线的方程为或
【正确答案】ACD
【分析】根据计算的取值范围，判断A；根据点在圆内，列出不等式，计算判断B；首先计算圆心到直线的距离，再利用垂径定理判断C；根据切线的斜率是否存在，分别讨论判断D.
【详解】已知曲线，
对于A选项，若曲线表示圆，，即，
故，所以A正确；对于B选项，要使得点在曲线内，
只需，即不成立，故B错误；
对于C选项，当时，曲线为圆，即，
设圆心到直线的距离为，则，
又因为半径，故弦长，故C正确；
对于D选项，当时，即，
圆心，半径，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，
此时直线和圆相切；当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，
即，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离，
解得，此时切线方程为，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，在棱长均为1的平行六面体中，平面，分别是线段和线段上的动点，且满足，则下列说法正确的是（ ）

A. 当时，
B. 当时，若，则
C. 当时，直线与直线所成角的大小为
D. 当时，三棱锥的体积的最大值为
【正确答案】ABD
【分析】利用直棱柱的性质，以及空间向量的有关知识逐项计算可得结论.
【详解】对于A，当时，分别是线段和线段的中点，
所以也是中点，所以，故A正确；
对于B，当时，，
所以，，，满足，故B正确；
对于C，过作交于，

可知面，与直线成角即为，
当时，，在中，
则，
所以，所以，故C错误；
对于D，易知是正三角形，
三棱锥体积为
，
当且仅当，即时取等号，故D正确；
故选：ABD.
关键点点睛：本题D选项解决的关键是，分析得是正三角形，从而得到所需各线段长，从而利用三棱锥的体积公式即可得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知等差数列的前项和为，若，则_________．
【正确答案】2
【分析】根据等差数列的求和公式，以及等差数列下标之和的性质，可直接求出结果.
【详解】因为，所以.
故2.
13. 在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为________.
【正确答案】
【分析】直线为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可.
【详解】若圆和圆关于直线对称，
则直线为两个圆心的中垂线，
的圆心为，
的圆心为.
，中点为
可得直线为 ，整理得.
故答案为.
14. 已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为______.
【正确答案】11
【分析】由题意作图，根据已知点求得抛物线方程，设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，利用斜率表示所求代数式，可得答案.
【详解】
因为点是抛物线上的一点，所以，解得，所以.
显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
由，得，所以，解得，
所以，同理可得，
所以，
所以的最小值是11，此时，解得.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知函数.
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图像在点处的切线方程.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据导数的运算法则计算可得；
（2）求出切线的斜率，再利用点斜式计算可得.
【小问1详解】
因为，所以，即；
【小问2详解】
因为点在切线上，且，
所以切线方程为，即.
16. 已知公比为正数的等比数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）设出公比后代入计算即可得；
（2）借助错位相减法求和.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
由，得，即，
所以，解得或（舍）．
又，所以．
【小问2详解】
由（1）得，
所以，
所以，
，
两式相减，得
，
所以．
17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且平面平面，，为的中点．
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）分别取的中点为，连接，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求点到面的距离；
（2）利用空间向量法求两平面夹角.
【小问1详解】
分别取的中点为，连接，
因为底面是正方形，分别为的中点，所以．
因为侧面是等边三角形，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以．
如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则令，则，
所以平面的一个法向量为，
设点到平面的距离为，则．
即点到平面的距离为．
【小问2详解】
由（1），得平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则取，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18. 已知粗圆的左、右焦点分别为，点是的上顶点，，的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，若直线与椭圆相交于两点（异于点），求证：直线的斜率之和为0．
【正确答案】（1）
（2）证明见详解
【分析】（1）根据的几何意义，结合锐角三角函数，三角形的面积公式列方程，解得的值，即可得椭圆的方程；
（2）联立直线和椭圆的方程，消去后得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出，再结合斜率公式表示出斜率之和，将代入上式，通过计算可得.
【小问1详解】

由题意，得，，，其中，
因为，的面积为，所以，且，
解得，所以，
因此，椭圆的方程为.
【小问2详解】

设，由，得，
所以，解得，
由韦达定理得，；
因为两点异于点，所以，所以，
又，
所以
，
将，代入上式，
得，
因此，直线的斜率之和为0.
19. 在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列.
（1）若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由；
（2）已知二阶等差数列满足，，.
①求数列的通项公式；
②若，记的前项和为，证明.
【正确答案】（1）是，理由见解析
（2）①；②证明见解析
【分析】（1）根据二阶等差数列的概念计算，从而判断；
（2）①根据二阶等差数列的概念结合累加法求解通项公式；②根据裂项相消法求的前项和为，再根据数列的单调性证明结论.
【小问1详解】
因为，所以，
令，则，
所以，即等差数列，
所以为二阶等差数列.
【小问2详解】
①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为，
所以，即，
所以，
，
，
……
，
将以上个式子左、右分别相加，得，
所以，
又，满足上式，
所以.
②证明：由（1）得，
所以.
因为，所以为递增数列，
所以；
又，
所以
.
因为，所以，
又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即
所以.