江西省南昌市高考零模2026届高三上学期9月测试数学试卷

这是一份江西省南昌市高考零模2026届高三上学期9月测试数学试卷，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
有一项符合题目要求的．
5
设复数 z 满足 z  (1  i)i ，则| z |
2
​
2C．
D．1
已知a  (, 2) ， b  (1, 2) ， a  b ，则 
4B． 4C．1D．  1
已知函数 f ( x)  sin x  cs x ，则下列选项中是 f ( x) 的一个单调递增区间的是
[
π π
, ]
2 2
B．[
π , 3π ]
44
C．[
3π π
, ]
44
D．[ 3π , 7π ]
44
U
已知全集U {x | x 10, x N*} ，集合 A, B 是U 的子集，若(I A) ∩ B  {5, 7,9} ，
A ∩ B  {2} ， (IU A) ∩(IU B) {6,8}，则集合 A 
{2, 3, 4}B．{1, 2, 4}C．{1, 2, 3}D．{1, 2, 3, 4}
已知平面, ，直线a,b ，则下列结论正确的是
A．若a ,b//a ，则b//B．若 // , a   ,b   ，则a//b
若a//,b  ，则a  bD．若 // , a// ，则a//
已知首项为1的数列{an}，其前 n 项积是公差为 3 的等差数列，则a3 
A． 4B． 3C． 7
4
D． 10
7
已知甲、乙、丙、丁四位老师参加青年教师教学大赛，问其比赛结果，他们回答如下：
甲：丙第一，乙第二；乙：丙第二，丁第三；丙：丁最后，甲第二.
如果每个人的两个回答中，都恰有一个是正确的，而且没有并列名次，那么这次比赛获得第一、二、三、四名依次是
丙、甲、丁、乙B．丙、甲、乙、丁
C．甲、乙、丙、丁D．甲、乙、丁、丙
f (x)  2x3  3x2 12x ，已知b  0 ，若“ f (x)  a ”的充要条件是“ x  b ”，则实数
b 的最大值为
2
 5
2
1
 1
2
二、多项选择题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知 P 是圆C : (x 1)2  ( y  2)2  9 上的一个动点，过原点 O 的动直线与圆C 交于
M , N 两点，则下列说法正确的是
5
5
| OP | 的最大值为3 B． | OP | 的最小值为3 
C． | MN |最大值为6D． | MN |最小值为2
某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，从某地区随机抽取了 500 名用户进行问
卷评分调查，将评分数据按[40, 50) ，[50, 60) ，……，[90,100] 分组整理得到如右下方频
频率
组距
率分布直方图，记该样本的平均数为  ，三个四分位数分别为a, b, c(a  b  c) ，则下列判断正确的是
a  40  b  a
c  b  100  c
a, b, c 成等差数列
  b
0.035
0.025
0.015
0.005
0
40 50 60 70 80 90 100 评分
已知函数 f (x)  xex  (2  x)e2x ，则以下说法正确的是
f (x) 有对称中心B． f (x) 有对称轴
C． f (x) 的最小值为2eD． x  1, f (x) 
三、填空题：共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
1
f ()
x
已知(2  x)6  a  a x  a x2  a x5  a x6 ，则a  ．
012565
2
如图，双曲线C : x
a2
y2

b21 的右焦点为 F ，过点 F
作渐近线l1
: y  b x 的垂线l ，垂足为 A ，且l 与另一条
a
渐近线、 y 轴分别交于 B, C ，若 BA  AC ，则双曲线的离心率为.
如图，在ABC 中， BAC  120 ， D, E 是线段 BC 上的两个点， ADE 为正三角
形， BD  4EC ，则 tan ABC  .A
BDE C
四、解答题：共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
（本题 13 分）
已知抛物线C : x2  2 py( p  0) 的焦点为 F ，过点 F 作直线l 与抛物线C 交于 A, B 两
点. O 为坐标原点.当直线l  y 轴时， | AB | 4 ．
求抛物线C 的标准方程；
若直线 AB 的斜率为1，求△ABO 的面积．
16．（本题 15 分）
nnn1
已知正项数列{a }满足a  a 4n ．
若{an }是等比数列，求{an }的通项公式；
若a1  1 ，求数列{an }的前2n 项的和．
17．（本题 15 分）
中央政治局会议指出，要强化科技创新和产业链供应链韧性，加强基础研究，推动应用研究，开展补链强链专项行动，加快解决“卡脖子”难题．某科研院所成立攻关研究小组，准备攻克一个“卡脖子”难题，研究分两个阶段，第一阶段研究三个基础问题，第二阶段研究三个应用问题．若该攻关研究小组第一阶段内能解决这三个问题中的至少两个，就可以进入第二阶段，研究应用性问题，否则该攻关研究小组解散. 假设每个基础问题，该小组在第一阶段内解决的概率均为0.5 ．若该攻关研究小组进入了第二阶段，每个应用问题，该攻关
研究小组能解决的概率均为0.4 （假设各个阶段的每个问题均相互独立）．
求该攻关研究小组能进入第二阶段研究的概率；
在该攻关研究小组进入了第二阶段研究的前提下，记该攻关研究小组解决应用问题的个数为 X ，求随机变量 X 的分布列和期望；
第一阶段，该攻关研究小组能获得1（单位：亿元）启动经费，第二阶段，每解决一个应用问题，该攻关研究小组能获得 5（单位：亿元）费用.记该攻关研究小组在这两阶段获得的总费用和为Y （单位：亿元）.求随机变量Y 的期望值．
18．（本题 17 分）
已知 f (x)  x  1  a ln x(a  0) ．
x
讨论 f (x) 的单调区间；
若a  2 ，求证： f (x) 有且仅有三个不同的零点．
19．（本题 17 分）
如图，球O 的半径为4 ，PQ 是球O 的一条直径，C 是线段 PQ 上的动点，过点C 且与
PQ 垂直的平面与球O 的球面交于C ， A1 A2 是C 的一个内接正六边形．
若C 是OQ 的中点．
求六棱锥 P  A1 A2 的体积；
求二面角 A1  PA3  A2 的余弦值；
设 A1 A2 的中点为 M ，求证： tan MPQ  tan MQP
为定值．
2026 届高三摸底考试参考答案数学
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
二、多项选择题：共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
三、填空题：共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
B
D
C
C
A
B
题号
9
10
11
答案
ABC
BD
BCD
2 3
12．1213．
3
14．
3
5
四、解答题：共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
【解析】（1）当直线l  y 轴时， AB 为抛物线的通径，所以2 p  4 ，解得 p  2 ，故抛物线C 的标准方程为 x2  4 y .5 分
（2）设点 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，而 F (0,1) ，所以直线l : y  x  1 ，
 y  x 1

联立直线l 与抛物线C 方程x2  4 y
，得到 x2
 4x  4  0 ，
(x  x )2  4x x
12
1 2
2
故 x1  x2  4, x1 x2  4 ，9 分
所以| x  x |
 4，
12
所以△ABO 的面积 S  S S
 1  | OF |  | x  x |
AFO
 1 1 4
2
BFO212
2
2
 2.13 分
【解析】（1）因为数列{an }是等比数列，
所以a  a qn1 ，则a a qn ，所以a  a
 a 2q2n1  4n  22n ，
n1n11
nn11
2 n1
所以a1
2, q  2 ，则an
2  2n1  2 2
；6 分
（2）因为a  1 ， a  a 4n ，所以a  4 ，
1nn12
因为a  a 4n ，所以a a 4n1 ，所以 an2  4 ，10 分
a
nn1
n1
n2
n
则 S2n  a1  a2  a3  a4   a2n1  a2n
 (a1  a2 )  (a3  a4 )   (a2n1  a2n )
 5(1 4n )  5 1 43
(4n 1) .15 分
3
【解析】（1） p  0.53  C2  0.52  (1 0.5)  0.5 ；5 分
3
（2）因为 X ~ B(3, 0.4) ，所以 P( X  k)  Ck  0.4k  (1 0.4)3k (k  0,1, 2,3) ，
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
所以随机变量 X 的分布列为
其数学期望 EX  3 0.4  1.2 . ……10 分
记进入第二阶段前提下，获得费用数为随机变量 Z （单位：亿元），则 Z  5X ，所以 EZ  5EX  6 （单位：亿元）.
33
所以 EY  1 (C2  0.53  0.53)  EZ  (1 C2  0.53  0.53)  0  4 . ……15 分
1ax2  ax 1
2
【解析】（1） f (x)  1 ，
xxx2
令 f (x)  0 ，则 x2  ax 1  0 ，  a2  4 ，
当a2  4  0 即0  a  2 时，x2  ax 1  0 ， f (x)  0 ，此时 f (x) 在(0, ) 单调递增，无单调递减区间；
a a2  4
a a2  4
…4 分
22
当 a  4  0 即 a  2 时，方程 x  ax 1  0 有两根 x1 2, x2 2，
则0  x  x1 或 x  x2 时， f (x)  0 ， f (x) 单调递增；
x1  x  x2 时， f (x)  0 ， f (x) 单调递减.
综上所述，当0  a  2 时， f (x) 在(0, ) 单调递增，无单调递减区间；当a  2 时， f (x) 在(0, x1 ), (x2 , ) 单调递增，在(x1, x2 ) 单调递减.
…8 分
（2）因为 x 2  ax 1  0(i  1, 2) ，所以a  x  1 (i  1, 2) ，
x
iii
i
所以 f (x )  x  1  a ln x  x  1  (x  1 ) ln x ，
11x11x1x1
111
同理 f (x )  x  1  (x  1 ) ln x ，10 分
22x2x2
22
因为 x1 x2  1 ，所以0  x1  1  x2 ，
设函数 g(x)  x  1  (x  1 ) ln x ，则 g(x)  ( 1
1) ln x ，
xxx2
当 x  1时， 1
x2
1  0, ln x  0 ，此时 g(x)  0 ；
当0  x  1时， 1
x2
1  0, ln x  0 ，此时 g(x)  0 .
所以x  0, g(x)  0 ，即 g(x) 在(0, ) 单调递减，…13 分
所以 f (x1 )  g(x1 )  g(1)  0, f (x2 )  g(x2 )  g(1)  0 ，且 x  0 时， f (x)   ； x   时， f (x)   ，
所以 f (x) 在(0, x1 ), (x1, x2 ), (x2 , ) 各有一个零点，即 f (x) 有且仅有三个不同的零点.
…17 分
x
（2）解法二：因为 x 2  ax 1  0(i  1, 2) ，所以a  x  1 (i  1, 2) ，
所以 f (x )  x
ii
 1  a ln x
 x  1  (x
i
i
 1 ) ln x ，
11x11x1x1
111
同理 f (x )  x  1  (x  1 ) ln x ，10 分
22x2x2
22
因为 x1 x2  1 ，所以0  x1  1  x2 ，
所以 f (x ) 1  1  x  a ln 1   f (x ) ，13 分
f ()
2xx1x1
111
由（1）可知， x  x1 为极大值点， x  x2 为极小值点，
所以 f (x1)  0, f (x2 )  0 ，且 x  0 时， f (x)   ； x   时， f (x)   ，所以 f (x) 在(0, x1 ), (x1, x2 ), (x2 , ) 各有一个零点，即 f (x) 有且仅有三个不同的零点.
…17 分
42  22
3
【解析】（1）因为O 到C 的距离为2 ，所以C 的半径为 2，
3
所以正六边形 A1 A2 的边长为2
所以正六边形 A1 A2 的面积为6
且 P 到C 的距离为6 ，
，
3
3  (2 3)2  18
4
，3 分
3
所以六棱锥 P  A A 的体积为 1 18 3  6  36
.5 分
1 263
…11 分
以C 为原点， A1 A4 为 x 轴， A1 A4 的中垂线为 y 轴， PQ 为 z 轴建系，则 P(0, 0, 6), A1(2 3, 0, 0) ，
A2 (
–––→
3, 3, 0), A3 ( 3, 3, 0) ，
所以 A1P  (2 3, 0, 6) ，
––––→
A3 P  (
––––→
3, 3, 6) ，
A2 A3  (2 3, 0, 0) ， ………7 分
–→
设平面 PA2 A3 的一个法向量n1  (x1, y1 , z1 ) ，

–→ –––→
n1  A1P  0  2 3x1  6z1  0
则–→ ––––→，
–→
n1  A3 P  0  
令 z1  1，得n1  (
3x1  3 y1  6z1  0
3, 3,1) ，
––→
设平面 PA1 A3 的一个法向量n2  (x2 , y2 , z2 )

––→ ––––→
n2  A2 A3  0  2 3x2  0
则––→ ––––→，
 23
n  A P  0  
––→
3x2  3y2  6z2  0
令 z2  1 ，得n2  (0, 2,1) ，
–→ ––→
–→ ––→
n1  n2
0  6 17 65
所以cs  n1, n2 
–→––→ .
13  5
| n1 |  | n2 |65
由已知， M 点在过 PQ 且与C 所在平面垂直的一个平面内，记这个平面为 .
在平面 内，以O 为坐标原点，以 PQ 为 y 轴，以 PQ 中垂线为 x 轴建立平面直角坐标系，
设 M (x, y) ，则| x || MC |
3 | CA |,| y || OC |，因为| CA |2  | OC |2  16
4 22
211
x2y2
所以 x  y
3
 16 ，即
 1，又 P, Q 的坐标分别为(0, 4), (0, 4) ，
1216
xxx2x23
所以 tan MPQ  tan MQP 

.…17 分
4  y
4  y
16  y2
4 x24
3