山东省济南市2025-2026学年高三上学期9月开学考试数学试题（Word版附解析）

这是一份山东省济南市2025-2026学年高三上学期9月开学考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了 已知集合，则“”是“”的， 已知的面积为，若，，则等内容，欢迎下载使用。
数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】，
又，所以.
故选：D
2. 已知向量，满足与垂直，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意知向量，满足与垂直，
故，，即得，
则，解得，
故选：A
3. 记为等差数列的前项和.若，则（ ）
A. 12B. 24C. 36D. 48
【答案】C
【详解】，，，
.
故选：C.
4. 已知集合，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件
【答案】A
【详解】由可得，则；
由，得，故，
由于是的真子集，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
5. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【详解】
在中，而，则，
所以，故，
所以.
故选：B
6. 的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【详解】的展开式的通项公式为，
则的展开式中的奇数次幂项的系数和为，
故，则，
故选：B
7. 已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意知函数的定义域为R，
则，则，
又，
故在R上单调递增，
故，即，即，
则，解得，
即实数的取值范围是.
故选：C
8. 如图所示的六面体中，平面平面，，若，则（ ）

A. B.
C. D. 2
【答案】C
【详解】如下图，取上一点，使，连接，
由平面平面，平面平面，
由平面平面，则，，
故为平行四边形，即且，
由平面平面，平面平面，
由平面平面，则，，
故平行四边形，即且，
综上，，故为平行四边形，则，
由，则，故，
由，则，
所以，则，可得.
故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设是复数，则下列命题中正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【详解】，对于A，，则，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，，则，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD
10. 已知的面积为，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
所以或.
即或.
若，则显然不成立，所以不成立，故A错误；
若，则，所以，
所以，因为，所以，所以，
所以，故B正确；
因为，所以为锐角，所以.
所以，
.
因为的面积为，所以，所以，即，故C正确；
由余弦定理，，所以，故D错误.
故选：BC
11. 已知平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，满足，点满足，记的轨迹为，则（ ）
A.
B. 的方程为
C. 当直线与相切时，
D. 存在线段，使得内心在外部
【答案】AC
【详解】由题意可设，
而，故，
由，得，则可得，
所以，故，即，
故的方程为，B错误；
由，得，
故，当且仅当时等号成立，A正确；
当直线与相切时，设直线的方程为，
联立，得，
则，即得，
又因为在直线上，故，
代入，得，联立，
解得，
由，得，则，C正确；
由椭圆的对称性，不妨取内心在第一象限内情况，
为直角三角形，设其内切圆半径为r，则内切圆圆心为，
若内心在外部，则需满足，即；
又，则，
由于，设，由于考虑的是第一象限情况（可包含坐标轴），
故，则，
设，则，
则，
由于，故与矛盾，
即不存在线段，使得内心在外部，D错误，
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若一组样本数据的平均数为8，则数据，的平均数为___________.
【答案】14
【详解】由于样本数据的平均数为8，故，
的平均数为，
则，
故数据，的平均数为，
故答案为：14
13. 在正四棱台中，，设正四棱台的体积为，三棱锥的体积为，则___________.
【答案】
【详解】设四棱台的上底面面积为，下底面面积为S，高为h，

由于，四边形和四边形相似，故，
则；
又，
所以，
故答案为：
14. 已知函数，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】由
，
所以，
令，则，
所以，当时，当或时，
所以在上单调递减，在、上单调递增，
由，故的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知正项数列的前项积为，且满足.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【小问1详解】
证明：当时，，又，，所以，
当时，，又，所以，即，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列.
【小问2详解】
由（1）知数列是首项为3，公差为2的等差数列，
则，，
，
所以数列的前项和.
16. 有四个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，将这些小球随机排成一列.
（1）求标有数字2和4的小球不相邻的概率；
（2）一个排列中，若两个相邻小球上的数字之和为5，则称这两个小球为一组“友好球”.设表示排列中“友好球”的组数，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为.
【小问1详解】
记“2和4的小球不相邻”为事件,
则，
所以2和4的小球不相邻的概率为.
【小问2详解】
的所有可能取值为.
，，
的分布列如下：
数学期望.
17. 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，.

（1）证明：；
（2）若直线与直线所成角的余弦值为，且，求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
连接交于O，因为为菱形，故；
又因为，O为的中点，故，
平面，故平面，
而平面，故.
【小问2详解】
以O为坐标原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
结合（1）可设，因为，所以，即，
而，故，
解得，因为，则，故，故，
则，
设平面的法向量为，则，
则，令，则，则，
又，则，
即直线与平面所成角的余弦值为.
18 已知函数.
（1）讨论函数的极值点个数；
（2）若函数有两个不同的极值点，其中.
（i）证明：；
（ii）证明：.
【答案】（1）答案见解析；
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【小问1详解】
由题设，令，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由，
当时，，则在R上单调递增，无极值点；
当时，，或时，
所以在、上各存在一个零点，分别取，
所以、上，上，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
此时有两个极值点，
综上，在时无极值点，在时有两个极值点；
【小问2详解】
（i）令且，则，
所以在上单调递增，则，
所以，当有，结合（1）及已知，则，且，
又在上单调递减，则，所以，得证；
（ii）令且，则，
令，则，即在上单调递增，
所以，则在上单调递增，，
由，且，又，
结合（1）上单调递减，则，
所以，得证.
19. 已知抛物线的焦点为是上第一象限内的点.且到距离与到的距离相等.过作的切线交轴于点.
（1）求的标准方程；
（2）求证：；
（3）记关于轴的对称点为关于轴的对称直线为为上第四象限的点（与不重合），过做的切线，分别交于两点，若，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若为定值，求的值，若不为定值，请说明理由.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）为定值，
【小问1详解】
由题意，抛物线准线方程为，故，
所以抛物线的标准方程为.
【小问2详解】
设，由于在第一象限，故斜率存在，
设直线的方程为，
由于在第一象限，可得，，
所以切线斜率为，即直线的方程为，
令得，由题意知，
故，，
故
【小问3详解】
如图，

设，
由关于轴对称，可得，
由，，可得，
所以，即，
联立与，，解得
同理，故，
设直线与轴交于，则关于点对称，即，
由，令，得，所以，
故，则，
可得垂直于，故，可得，
延长交轴于，则，
又，故，从而与重合，即共线，
进而，注意到，故.0
1
2