云南省曲靖市会泽县2024_2025学年高一下学期期末教学质量检测卷数学试卷[含解析]

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1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.本卷为试题卷.考生必须在答题卡上解题作答.答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合并运算求集合.
【详解】由，，
所以.
故选：A
2. 已知命题，使，其否定命题为（ ）
A. ，使B. ，使
C. ，使D. ，使
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题的否定是将存在改为任意，并否定原结论，即可得.
【详解】由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定，使.
故选：B
3. 在中，D为BC中点，且满足，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知用表示出，结合已知确定参数值.
【详解】因为D为BC中点，所以，
由题意，即.
故选：D
4. 已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（ ）
A. 相交B. 异面C. 相交或异面D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断a与d的位置关系.
【详解】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交.
故选：C
5. 小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ）
A. 81.5B. 80C. 84D. 83
【答案】D
【解析】
【分析】应用百分位数的定义求数据的第40百分位数.
【详解】数学成绩从小到大为，
所以，故数据的第40百分位数是第四个数，为.
故选：D
6. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积.
【详解】由题设，即，又，
所以，则的面积为.
故选：A
7. 已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数，再应用投影向量的定义求解.
【详解】由，则，可得，故，
所以在方向上的投影向量的坐标是.
故选：B
8. 由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实. 同理，由此请计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用诱导公式化目标式为，结合已知及诱导公式化简求值.
【详解】由，，原式可化为，
由，故.
故选：C
二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知复数，的共轭复数为，复数在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（ ）
A. M在第一象限B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据已知复数，写出对应点坐标和共轭复数，再应用复数加法、乘法等运算依次判断各项的正误.
【详解】由，对应点为在第一象限，且，
所以，，，
所以A、D对，B、C错.
故选：AD
10. 在矩形中，AB =2，AD=1，P ，Q分别为线段上的动点，M ，N分别为线段的中点，则下列说法正确的是（）
A.
B. //
C. 当P ， Q 分别为线段 的中点时，
D. 若 则 的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，给出点的坐标可以判断ABD各项，对于C项，由四边形与四边形均为边长为1的正方形，即可判断．
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
由于P ，Q分别为线段上的动点，
可设，
对于A项，，
则，故A项正确；
对于B项，由于M ，N分别为线段的中点，
则，得，
而，则，故B项正确；
对于D项，因为，
所以，
得，
由，等号成立时，，
则，
得，
得，得，
则 的最小值为2，故D项正确；
对于C项，如图所示：
四边形与四边形均为边长为1的正方形，
则，故C项错误．
故选：ABD
11. 如图，已知长方形ABCD中，将其沿着AB旋转一圈得到一个圆柱，A，B为上下底面的圆心.圆柱内有一个半径为1的小球在其内部运动，小球的球心为O ，则下列说法正确的有（ ）
A. 该圆柱外接球的表面积为32π
B. 球心O的轨迹为一个长方体
C. 沿着圆柱的表面从点 A 到点 B 的最短路径的距离为8
D. 小球运动过程中所走过的空间的体积大于
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先确定所得圆柱底面半径、高，再求出外接球半径，即可判断A、C；根据小球在圆柱中运动，直观想象确定球心的轨迹及小球所及空间的最大体积判断B、D.
【详解】由题设，所得是底面半径为2，高为4的圆柱，则其外接球的半径为，
所以外接球的表面积为，A对；
沿着圆柱的表面从点 A 到点 B 的最短路径的距离为，C对；
由于小球半径为1，则其在圆柱中运动时轨迹是底面半径为1，高为2圆柱，B错；
小球运动过程中所走过的空间是除去球体与圆柱的底面和侧面相切时球体与圆柱所成空隙部分的其它空间，
该空间最大体积大于，D对，
(括号部分说明：表示从一个底面半径、高为2的圆柱体中去掉一个底面半径为1，高为2的圆柱体和一个底面为半圆(半径为1)，高为的柱体).
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.第14题第1个空2分，第2个空3分.
12. 已知指数函数且经过点，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】由指数函数过点求参数值，再应用对数运算求值即可.
【详解】由题设且，，可得，
所以.
故答案为：
13. 从长度为的条线段中任取条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.
【详解】从条线段中任取条，则有，，，，，，，，，，共个基本事件；
其中三条线段能够成三角形的基本事件有：，，，共个；
所求概率.
故答案为：.
14. 在边长为12的正方体 中，，分别为线段，上的点，且满足 ，，平面与正方体各表面的交线所围成多边形为______边形；该多边形的周长为_________
【答案】 ①. 五 ②.
【解析】
【分析】过点在平面内作，分别交，的延长线于两点，，连接，分别交，于，，连接各平面上的交点，即可得到平面与正方体各表面的交线所围成多边形；通过三角形相似以及勾股定理可以求出五边形各边边长，即可求出该多边形的周长.
【详解】如图，连接，，，过点在平面内作，分别交，的延长线于，，连接，分别交，于，，连接，，，，所以五边形为平面与正方体各表面的交线所围成多边形，
过点作，过点作，所以，
由正方体，知，
因为，，所以，
所以为上靠近的三等分点，为上靠近的三等分点，
所以，因为，所以根据勾股定理可得：，
因为，为对角线，所以，
又因为，所以为等腰直角三角形，所以，
同理，又因为，，所以，
所以与相似，因，所以，
所以，同理与相似，所以，
所以，所以根据勾股定理可得：，，
所以五边形周长为.
故答案为：五；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，其中m、n均为实数，在复平面中对应的点分别为，且为实数.
（1）求n值;
（2）若与的夹角为钝角，求m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）且.
【解析】
分析】（1）由复数加法及复数类型求参数值即可；
（2）写出复数对应向量的坐标表示，根据夹角为钝角及向量夹角的坐标运算求参数范围，注意反向共线情况.
【小问1详解】
由题设为实数，则；
【小问2详解】
由题设及（1）知，则，
由与的夹角为钝角，
则，所以，
若与反向共线时，有，
综上，且.
16. 在中，三个内角所对的边分别为，已知，且.
（1）求角B ;
（2）若的周长为，D为BC的中点.求中线AD的长度.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由向量平行坐标表示得，应用正弦边角关系、三角恒等变换整理化简得，进而求角；
（2）由题设、，应用向量数量积的运算律、余弦定理得、，进而求边长，代入即可得.
【小问1详解】
由题设，可得，
由正弦边角关系知，
所以，
即，
所以，而，故，
由，则；
【小问2详解】
由题设，则，
又，则，
所以，
由，，则，可得，
综上，，所以，即.
17. 在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了.
（1）求m的值;
（2）设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）；
（3）从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少?
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数；
（2）由频率直方图及题设，求平均值，比较大小即可；
（3）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率.
【小问1详解】
由图知，可得；
【小问2详解】
由图，，
，
所以；
【小问3详解】
由题意，，的人数比为，故6人中4人来自，2人来自，
令中4人为，中2人为，
所以，6人任意抽取2人有，共15种，
其中2人来自同一区间有，共7种，
所以这2人的成绩在同一区间内的概率为.
18. 已知函数.
（1）求f（x）的对称中心的坐标；
（2）若 对 成立，求n的取值范围；
（3）设函数 求的值域.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由，利用进行求解；
（2）转化为进行求解；
（3），令，则，因为，所以，令，得，对称轴方程为：，进行分类讨论求解函数的单调性进行求解．
【小问1详解】
，
由，得，
得f（x）的对称中心的坐标为：
【小问2详解】
因为，，而，
所以，
若 对 成立，
则，
得，
即，
得，或，
故n的取值范围为：．
【小问3详解】
，
令，得，
则
，
因为，所以，
得，
令，
得，
对称轴方程为：，
当，即，得函数在上单调递增，而，得，
当，即，得函数在上单调递减，在上单调递增，且
而，
得．
当，即，得函数在上单调递减，在上单调递增，且，
而，
得．
当，即，得函数在上单调递减，而，得，
综上知：
当时，的值域为：；
当时，的值域为：；
当时，的值域为：；
当时，的值域为：．
19. 如图，长方体中，，E为BC中点，沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面的过程中，的顶点为动点P.
（1）证明:平面平面.
（2）求直线PE与平面所成角的正弦值的最大值.
（3）若异面直线PE与AC所成角的余弦值为时，求点P到底面ABCD的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的判定证明结论即可；
（2）由（1）及已知得平面平面，则在运动过程中在平面上的投影在上，即直线PE与平面所成角为或其补角，再由、的变化情况求正弦值的最大值即可；
（3）若为中点，连接，并延长交延长线于，异面直线PE与AC所成角为锐角，于，结合面面垂直的性质有平面，最后由已知求的长度，即可得.
【小问1详解】
由于沿着EC将顺时针翻折到与底面ABCD共面，顶点为动点P，
所以在平面，即平面内运动，又E为BC中点，
而平面，则平面，平面，
所以平面平面，则平面平面；
【小问2详解】
由（1）及平面，则平面平面，即平面平面，
平面平面，则在运动过程中在平面上的投影在上，
所以直线PE与平面所成角为，，
当且仅当与重合时取等号，所以所求正弦值最大为；
【小问3详解】
若为中点，连接，并延长交延长线于，
由E为BC中点，则，故异面直线PE与AC所成角为锐角，
由，即，则为平行四边形，故，
所以，又，，
所以，而，
所以为等边三角形，若于，则，
平面平面，平面，平面平面，
则平面，故点P到底面ABCD的距离.