云南省曲靖市会泽县2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

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这是一份云南省曲靖市会泽县2024-2025学年高一上学期期末教学质量检测数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
故.
故选：D.
2. 命题“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】A
【解析】根据全称命题否定是特称命题可得：
命题“，”的否定是“，”.
故选：A.
3. 的值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
故选：A.
4. “”是“为幂函数”的（）条件．
A. 充要B. 必要不充分
C. 既不充分也不必要D. 充分不必要
【答案】D
【解析】当时，为幂函数，故充分；
当为幂函数时，，
即，解得，故不必要.
故选：D.
5. 在古代的《扇艺奇谭》一书中有这样的描述：“有一扇面，其外弧和内弧所对圆心角依周天星辰之轨，为，外弧长为厘米，内弧长为厘米.”则此扇面的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作出示意图如图所示：由题意可得，，
扇形的面积是，
扇形的面积是.
则扇面（曲边四边形）的面积是.
故选：B．
6. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（）
A. 3B. C. D. 1
【答案】D
【解析】由可得，
故为周期函数，且4是函数的一个周期，
.
故选：D.
7. 设，，则则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据可得，，
令，因为和在上都是增函数，
所以在上单调递增，
因为，，，
所以，，所以.
故选：A.
8. 设函数，若关于x方程有四个实根、、、，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据分段函数可得如下图象：
因为方程有四个实根，
所以与有四个交点，交点的横坐标分别为，
此时，
由的性质可知，因为，所以，
根据对数运算法则得，即，
对于二次函数，因为，且其图象关于对称，
所以，即，其中，
根据，当且仅当即时，等号成立，
所以8x1+1x1>16，
当时，此时，则，此时，
所以的取值范围为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为，则，所以，故，故选项A正确；
对于选项B：因为，所以得到，所以，故选项B正确；
对于选项C：因为，所以，所以，故选项C错误；
对于选项D：因为，所以，故，故选项D正确.
故选：ABD.
10. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】选项A：函数的定义域为，故不是偶函数，故错误；
选项B：函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
当时，，故在上单调递减，故B正确；
选项C：函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
当时，单调递减，在上单调递增，
由复合函数可得区间上单调递减，故C正确；
选项D：函数的定义域为，
，
故函数为奇函数，故D错误.
故选：BC.
11. 设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（）
A.
B. 是偶函数
C. 若，则
D. 存在，使得
【答案】ABC
【解析】，
令，可得：，所以，
令，可得：，所以，A正确；
令，可得：，
即，偶函数，B正确；
由，可得：，
由函数是偶函数及已知单调性可得：，
易知恒成立，由，可得：，C正确；
由函数是偶函数且在上单调递增可知其最小值为，D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则__________．
【答案】
【解析】
13. 已知函数，若，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】因为，
所以是奇函数，且在R上单调递增，
所以不等式化为，
则，即，解得，
所以实数a的取值范围是.
14. 已知，且，，______，对于任意正整数n．且，记，求______．
【答案】2 4050
【解析】因为，且，，
所以，则，
所以，，
所以；
所以
，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集．集合，，．
（1）求；
（2）若，求实数m的取值范围．
解：（1），
，
则或，则.
（2）①当时，则，解得；
②当时，若，则或，解得.
综上所述，或.
16. 已知函数（且）的图象过点．
（1）求a的值；
（2）若
（i）求的定义域并判断其奇偶性；
（ii）求的单调递减区间．
解：（1）因为函数（且）的图象过点，
所以，所以.
（2）（i）根据（1）可得，
所以，，
则，
，解得，
所以的定义域为，显然定义域关于原点对称，
又，
所以为偶函数.
（ii）因，的定义域为，
令，则，
函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，
在上单调递减，
根据复合函数“同增异减”的原则，可得的单调递减区间为.
17. 在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题：
（1）当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）.
（2）要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润.
解：（1）设利润为万元，
当工厂生产4万件时，，
则工厂利润为：万元.
（2）当时，，
当时，；
当时，
，
当且仅当，即时，等号成立，，
综上：要使工厂利润最大，应生产9万件，最大利润72万元.
18. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值；
（3）若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围．
解：（1）最小正周期，
令，解得，
所以单调递增区间为.
（2）因为，所以在上单调递增，
所以当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为.
（3）当时，为增函数，
，所以，
令，则，
不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立，
令，开口向上，对称轴为，
当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去；
当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去；
当时，，
综上m的取值范围是.
19. 设函数定义域在区间连续，对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数；若在区间上为凸函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．
（1）证明：函数在上为凸函数；
（2）设，且，求的最大值；
（3）设为正实数，且，证明：．
解：（1）由，设，
则，，
因为，当且仅当时去等号，
再由在为增函数，所以则，
即，
所以函数在上为凸函数.
（2）因为函数在上为凸函数，
则，
也即，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
（3）构造函数在上为凸函数，证明如下：
，要证，
等价于；
等价于；
等价于；而此式由基本不等式可知恒成立，当且仅当取等号，
故在上为凸函数，
所以，
即，
又，
所以，
即，
即；
得证.