精品解析：广东省清远一中、茂名一中等部分学校2026届高三上学期8月摸底检测数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合A、B，再由并集计算即可.
【详解】，
所以.
故选：D
2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先根据复数的除法运算求出复数，明确复数对应的点的坐标，即可判断其所在象限.
【详解】因为z1−i=1+i2=2，所以，
对应的点为，位于第一象限．
故选：A
3. 已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，则的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据抛物线的焦点得到，再根据的关系求，焦距为可得答案.
【详解】由题意得的焦点为，则，而，
得半焦距，焦距为.
故选：B
4. 已知圆锥的高为，它的侧面展开图的圆心角为，则此圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由弧长公式结合圆的周长公式列等量关系式得到，接着结合圆锥的高以及勾股定理依次求出圆锥底面半径和母线长即可由圆锥侧面积公式求解.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，
因为侧面展开图的圆心角为，所以，得，
所以圆锥的高为h=l2−r2=3r2−r2=22r=2，
所以，则.
故选：D
5. 设函数．已知，且当时，的最小值为3，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由题设结合正弦函数值域得到同时取最大值或最小值，进而得到函数的周期，从而求出参数，再结合即可求出.
【详解】因为的值域为，fx1fx2=1x1≠x2，
所以只有当函数值同时取最大值1或最小值-1时，才满足，
即和是函数取得相同极值（同为最大值或同为最小值）的两个不同自变量.
此时|x1−x2|的最小值为函数的最小正周期，即,解得，
因为，所以f1=sin2π3×1+φ=12，
又，所以，所以.
故选：C
6. 已知点到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（ ）
A. （－2，0）B. （－2，6）C. （0，6）D. （2，6）
【答案】C
【解析】
【分析】问题化与相交求参数范围.
【详解】以为圆心，2为半径的圆为，
以为圆心，3为半径的圆为．
若符合题设的直线恰有2条，则上述两圆相交．
又，
所以，
可得，
所以．
故选：C．
7. 若，，且都为锐角，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先求，，再根据，利用两角差的正弦公式求值.
【详解】由题意可知，由可知，所以，
从而，
若，则，
从而，
又，矛盾.
故，由得，
故选：D
8. 已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用为偶函数和的图象关于直线对称得依次得到和fx=−f−x−1，进而求出函数是周期为6的周期函数，根据周期性即可分析求解.
【详解】因为为偶函数，所以，即，
故的图象关于直线对称，
由的图象关于直线对称得
x+12fx=−1−x+12f−1−x，
即x+12fx=−x+12f−1−x对任意恒成立，则fx=−f−x−1，
所以图象关于点对称，
又，所以，即，
所以，所以是周期为6的周期函数，
又当时，fx=x,fx图象关于直线对称，
所以当时，，
所以f0=0,f1=1,f2=0，f3=-f0=0,f4=-f1=-1,f5=-f2=0,f6=f0=0，
所以f1+f2+f3+f4+f5+f6=0+1+0+0+−1+0=0，
所以=f1+f2+f3+f4+f5+f6×337+f2023+f2024+f2025
=0×337+f1+f2+f3=1+0+0=1．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量a=−1,3,b=2,−1，则（ ）
A. 向量的夹角为
B. 若λa−3b⊥b，则
C. 若2a→−b→//a→+kb→，则
D. 向量在向量上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，由向量夹角的余弦公式计算即可求解判断；对于B，由垂直关系的向量表示计算求解即可判断；对于C，由平行关系的向量表示计算求解即可判断；对于D，由投影向量定义计算求解即可判断.
【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为a→⋅b→a→⋅b→=−510×5=−22，
因为，所以向量的夹角为，故A正确；
对于B，因a→⋅b→=-1×2+3×-1=-5,b→2=22+-12=5，
所以，故B正确；
对于C，，
故若2a−b//a+kb，则，解得，故C错误；
对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD
10. 在光纤通信中，信息通过由0和1组成的有序数组（称为字）表示，字长（字的位数）为．定义为两个字长相同的字和在相同位置上不同字符的个数．例如，时，．则下列选项正确的有（ ）
A. 若字长，则存在两个字和使得
B. 若字长，则对于任意字，满足的字共有8个
C. 若，则满足的字中，有且仅有3个连续的1的的概率为
D. 若，其中，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由dX,Y的定义即可分析求解判断AB；先求出满足dX,Y=3的字的个数，接着求出3个连续的1的Y的个数即可求解判断C；举反例即可判断D.
【详解】对于A，当时，例如时，dX,Y=3，故A正确；
对于B，时，满足dX,Y=2的的个数为，故B错误；
对于C，X=000000，满足dX,Y=3的字的个数为，
3个连续的1的位置有4种（1－3，2－4，3－5，4－6），故满足题意的概率为，故C正确；
对于D，令，则，设，
于是du,w=2,dv,w=4,du,v=4，此时，故D错误．
故选：AC
11. 已知曲线．下列结论正确的是（ ）
A. 曲线关于点对称
B. 曲线与直线有两个交点
C. 曲线恰好经过两个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
D. 曲线上任意两点，当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，设点在曲线上，验证点关于的对称点2-x,2-y是否在曲线上即可判断；对于B，联立曲线与直线方程即可求解判断；对于C，由时，原方程不成立将曲线变形为x=y−1y−1，再结合均为整数时分析即可求解判断；对于D，设，依次计算BM2和AM2的最小值，再由曲线关于点成中心对称得到三点共线时最小即可求解判断.
【详解】对于A，设点在曲线上，则点关于的对称点为2-x,2-y，
将2-x,2-y代入曲线的方程得2−x2−y−2−y2+2−y−2−x+1
，
则2-x,2-y也在曲线上，故曲线关于点对称，故A正确；
对于B，联立y=x−1xy−y2+y−x+1=0，消去并整理可得，此时，
故曲线与直线只有一个交点，故B错误；
对于C，当时，原方程不成立，故曲线可变形为，
若横、纵坐标均为整数，则必须为整数，故或，
当时，；当时，，
故曲线恰好经过两个整点（和，故C正确；
对于D，由C可知，设，
因为BM2=x2−12+y2−12=y2−12+y22−y2−1y2−1−12，
令，则，
∴BM2=t2+t+12−t+1−1t−12=2t2+1t2−2≥22−2，
当且仅当，即时等号成立，同理AM2≥22−2，
由A知曲线关于点成中心对称，
所以当BM2和AM2都最小时，三点共线，此时最小，
所以AB2min=4BM2=82−80，依次求出平面和平面的法向量，接着利用cs60∘=n1⋅n2n1⋅n2求出，进而得n1=1,−1,2，再利用线面角空间向量法公式直接计算求解即可.
【小问1详解】
在三棱锥中，底面．
因为平面，所以，
又因为点是的中点，，所以，
又平面，
所以平面；
【小问2详解】
如图所示，连接，
由（1）知平面，又平面，所以．
又，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
则在内，，即点落在以为直径的半圆上，
因为，所以点的轨迹长度为π×CD2=π；
【小问3详解】
由题意，以A为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
过A作轴垂直于平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，则，
则A0,0,0,B22,0,0,C0,22,0，
因为点是的中点，则，
设，因为底面，则P0,22,aa>0，
从而AD=2,2,0,AP=0,22,a．
设平面的一个法向量，
则n1⋅AD=2x+2y=0n1⋅AP=22y+az=0，取，得，
所以平面的一个法向量n1=1,−1,22a，
取平面的一个法向量，又二面角的大小为，
所以cs60∘=n1⋅n2n1⋅n2=18a2+2=12，解得（负值舍去），
所以n1=1,−1,2，
设与平面所成角为θ,AC=0,22,0，
所以sinθ=csn1,AC=222×22=12．
18. 已知双曲线的离心率为2，点在上．
（1）求的渐近线方程；
（2）若直线交双曲线的右支于两点，线段的垂直平分线过点．
（i）求与之间的数量关系式；
（ii）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）由题意列出关于的方程组求出双曲线方程即可得渐近线方程；
（2）（i）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求出中点的坐标，再利用即可与之间的数量关系式；
（ii）先由（i）依次求出、KD，接着由tan∠MKD=MDKD即可求出，再由即可得解.
【小问1详解】
因为点−2,−3在双曲线上，所以，
又离心率2，则，
联立2a2-3b2=1a2+b2a=2，解得，
故双曲线方程为，渐近线方程为；
【小问2详解】
（i）设，
联立，则，
所以，即，
且，
则，
则的中点为，即，
因为线段的垂直平分线过点，则，整理得；
（ii）由（i）知，则x1+x2=2k,x1x2=−m2+3m,Dk,3，
则，则，解得．
又MN=k2+1⋅x1+x22−4x1x2=k2+1⋅4k2+4⋅m2+3m
=k2+1⋅43−m+4⋅m2+3m=2k2+1⋅3+3m,
则MD=12MN=k2+1⋅3+3m．
又，则tan∠MKD=MDKD=3+3m∈0,3，即∠MKD∈0,π3，
又，则的取值范围为．
19. 已知数列是公比大于1的等比数列，，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）对于数列，规定为数列的1阶差分数列，其中，一般地，规定为数列的阶差分数列，其中.若，不等式对恒成立，求整数的最大值；
（3）令，其中．证明：．
【答案】（1）
（2）3 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设an=a1qn−1q>1，结合，成等差数列，即可求解；
（2）根据定义化简不等式，并构造新数列，结合其单调性，即可求解；
（3）利用指数函数性质得到，对进行缩放，再结合等比数列求和公式进行简化即可得证.
【小问1详解】
因为是公比大于1的等比数列，则设an=a1qn−1q>1.
又，成等差数列，
即a13q6=5122a1q3=2a1q2+16，解得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列．
所以an=2×2n−1=2nn∈N*．
【小问2详解】
因为，
所以Δbn=bn+1−bn=3n2−3n−16，
Δ2bn=Δbn+1−Δbn=n,Δ3bn=n+1−n=1，
不等式2Δ2bn2−Δ2bn−3Δ3bn