绵阳市东辰学校2025届九年级上学期9月月考数学试卷(含解析)

这是一份绵阳市东辰学校2025届九年级上学期9月月考数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则此方程的根是（ ）
A．B．C．D．
4．下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若实数满足，则关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
6．若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（ ）
A．B．C． D．
7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
8．某公司年报显示，该公司2023年的利润为6600万元，受市场波动影响，2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半，若该公司2021年的利润为5000万元，则该公司2023年利润增长率为（ ）
A．B．C．D．
9．若关于x的方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，则的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．8或10
10．关于x的方程的两个根，满足 且则m的值为（ ）
A．B．1C．3D．9
11．如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（）
A．一定有两个相等实根B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等D．无实根
12．已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题
13．一元二次方程的解是 ．
14．若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为 ．
15．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
16．设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的取值是 ．
17．已知关于x的一元二次方程的两根分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则实数a的取值范围是 ．
18．若实数、、满足，，，则的取值范围是 ．
三、解答题
19．解方程
(1)
(2)
20．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象在第一象限交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，D，且．已知A（m，1），AE＝4BD．
（1）填空：m= ；k= ；
（2）求B点的坐标和一次函数的解析式；
（3）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位，使它与反比例函数图象有唯一交点，求m的值．
21．某网店热销夏季运动衫，进价每件42元，销售大数据分析表明：当每件运动衫售价为54元时，平均每月售出800件；若销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件；设销售单价下降x元，每月销售量为y件．
(1)y与x的函数关系式是_______．
(2)该网店决定降价薄利多销，在库存充足的情况下；若预计月获利恰好为9900元，求每件运动衫的售价．
22．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边．
阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2．
阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值?
其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．
请同学们根据以上所学的知识解决下列问题．
(1)若，求的最小值________；若，求的最小值________．
(2)已知且，求的最小值是?
(3)，且，不等式恒成立，求的范围?
(4)已知且，求的最小值?
23．如图，点D在的边上，以为直径作的外接圆，记为，．

(1)若的半径为11，，求的值；
(2)求证：是的切线；
(3)已知平分，交于点E，交于点F．若，，，求的值．
24．如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求两点的坐标；
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点做轴的垂线，交线段于点，求当线段最长时点的坐标；
(3)点为抛物线上的一个动点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（1）如图，在中，D为上一点，．求证：；
（2）如图2，在菱形中，E，F分别为上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若
求：①的长；②的长；
（3）如图3，在菱形中，点E为的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，请直接写出的最小值．
《四川省绵阳市东辰学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷》参考答案
1．A
解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．A
解：，
，
配方得，即，
故选：A．
3．C
解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴关于x的一元二次方程为，
解得．
故选：C
4．C
解：，，
，，
时，存在某个x的值，使得，
即方程 (,a,b,c为常数）的一个解的范围是．
故选：C．
5．B
解：，
，
，
关于的方程根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：B．
6．A
解：设关于y的方程的两根分别为，，
∵关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，
∴，，
∴，，
化简，得：，，
整理可得，，
故选：A．
7．D
解：由题可得：，
解得：且；
故选：D．
8．B
解：设该公司2023年利润增长率为，则该公司2022年利润增长率为，
由题意得：，
解得（不符合题意，舍去），
即该公司2023年利润增长率为，
故选：B．
9．B
解：，
，
解得，，
两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，
等腰三角形的三边为2、2、4或2、4、4，
2+2=4，不能构成三角形，
所以三角形三边为2、4、4，
△ABC的周长为10．
故选：B．
10．C
解：∵，是关于x的方程的两个根，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∵
∴，
∴，
∴，
故选：C．
11．A
解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴∠ADM=∠AEM，，
∴，
∵M是三条角平分线的交点
∴，
∴，
∴，
∴，
∵M是△ABC的内角平分线的交点，
∴∠1=∠2，
∴△DBM∽△MBC，
同理可得出：△BMC∽△MEC，
△DBM∽△EMC，
∴，
即：，
即．
故选：A．
12．C
解：∵，
∴，
∴，
∵
，
当且仅当，
即，，
或，时，等号成立，
∴的最小值为，
∴最小值为：，
即，
∵
，
当且仅当时，
即，，
或，时等号成立，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
即，
∴，
故选：C．
13．，
解：，
，
则，
或，
解得，，
故答案为：，．
14．-3
解：设方程的另一个根为m，则1+m=-2，
解得m=-3．
故答案为：-3．
x1•x2=．
15．2026
解：是方程的一个实数根，
，
，
，是方程的两个实数根，
，
．
故答案为：2026．
16．9.
由韦达定理可得α+β=2，αβ=1﹣m，
∵|α|+|β|=6，
∴（|α|+|β|）2=36，
即（|α|）2+（|β|）2+2|α|·|β|=36，
α2+β2+2|α·β|=36，
（α+β）2﹣2α·β+2|α·β|=36，
4﹣2（1﹣m）+2|1﹣m |=36，
当1﹣m≥0时，方程无解；
当1﹣m＜0时，方程的解为m=9.
故答案为9.
17．
解：把关于x的一元二次方程的两根分别为x1，x2，转化为抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
∵抛物线经过点（0，﹣4），﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，
∴抛物线开口向上，即a＞0，如图，
∵x＝﹣1时，y＞0，即a+a+1﹣4＞0，解得a＞；
x＝2时，y＜0，即4a﹣2a﹣2﹣4＜0，解得a＜；
x＝3时，y＞0，即9a﹣3a﹣3﹣4＞0，解得a＞；
∴实数a的取值范围为＜a＜3．
故答案为＜a＜3．
18．
由题意可得：b+c=1，bc=a-1，
∴把b、c转化为方程x2-x+（a-1）=0的两实数解，
∴，
∴．
故答案为．
19．(1)，
(2)，
（1）解：
∴
∴
∴，
解得：，
（2）解：
∴
∴
∴或
解得：，
20．（1）4，4；（2）．（3）=9或1
解：（1）由反比例函数k的几何意义知：，因为图象在第一、三象限，所以k=4，
∵点A（m，1）在上，∴m=4.
故答案为4， 4；
（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，AE＝4BD，A（4，1），
∴AE＝4，BD＝1，
∴xB＝1，∴yB＝4，
∴B（1，4），
将A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b，得，解得，k＝﹣1，b＝5，
∴；
（3）设直线AB向下平移后的解析式为，
联立：，即，整理得：
∵一次函数与反比例函数图象有唯一交点，
∴△＝0，即，
解得：=9或1.
21．(1)
(2)每件运动衫的售价为元
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
解得：，，
∵网店决定降价薄利多销，
∴，
这时售价为元，
答：每件运动衫的售价为元．
22．(1)4，6
(2)
(3)
(4)4
（1）解：当时，，
∴，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为4；
当时，，
∴，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为6；
故答案为：4，6；
（2）解：∵且，
∴，，
∴，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为；
（3）解：∵，且，则，，
∴，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为，
∵恒成立，
∴的最小值，即；
（4）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当且仅当，即时，有最小值，最小值为4．
23．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：∵是的直径，
∴．
∵的半径为11，
∴．
∵，
∴；
（2）证明：如图1，连接，则，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴．
则，
∴，即．
∵是的半径，
∴是的切线．
（3）解：设的半径为r，则，
∴，．
由（2）知，是直角三角形，，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴．
∵，
∴．
在中，，即，
解得，（负值舍去）．
∴．
如图，连接，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．

24．(1)，；
(2)当线段最长时点的坐标为；
(3)，．
（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∴抛物线，
又∵抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），
∴当时，，
整理得：，
∴，
解得：，
∴
（2）解：设直线的解析式为：，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，则点，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，
∴当线段最长时点的坐标为．
（3）解：①∵，，
∴，
∵
，
∴，
∴，
过作交抛物线于点，如图：
∴点的纵坐标为，
则
解得：，，
∴点，
②由①得，作垂直平分线交轴于点，延长，交抛物线于点，如图：
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴
解得：，
∴，
∴点，
设解析式为且过，
∴，
解得：，
∴直线解析式为
∴联立，
解得：或，
∴，
综上可知：点的坐标为或．
25．（1）见详解（2）①②（3）
解：（1）证明：∵，
∴
∴，
∴；
（2）①连接，
∵四边形是菱形
∴
∴
∵
∴
则
∵
∴，
得，
∴，
∵
∴，
∴
②由①同理得，，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵点E为的中点，四边形为菱形，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
在上取点M，使
∴，
∵
∴
∴
∴
∴当点三点共线时，最小，即最小，
连接，过点D作，交的延长线于N，
∵，
∴，
∴，
∴最小值为．
x