湖南省湖湘名校联盟2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

这是一份湖南省湖湘名校联盟2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

如果? < ? < 0，那么下列不等式中成立的是()
的。
1.已知集合? = {−1,0,1,2,3,4}，? = {?|−1 < ? ≤ 3}，则? ∩ ? = (
)
A. {0,1,2}B. (0,1,3)C. {0,1,2,3}
2.已知复数?满足(3−?)? = 10?，则?在复平面内对应的点位于(
)
D. (−1,0,1,2,3)
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限
D. 第四象限
−?
−?
?2 < ?2B.
|?|D. 1 < 1
??
已知单位向量?,?满足? ⊥ (?−2?)，则〈?,?〉 = ()
?
6
?
3
2?
3
5?
6
1
5.若函数?(?) = (?2 +??)cs的图象关于?轴对称，则? = ()
?
A. −2B. 1C. 2D. 0
6.已知?，?都是锐角，tan(? + ?) = 3???? = 6????，则tan(?−?) = ()
1
3
2
3
2
5
4
5
7.已知?，?为样本空间?中的两个随机事件，其中?(?) = 24，?(?) = 12，?(?) = 8，?(? ∪ ?) = 16，则
()
1
− −
事件?与?互斥B. ?(??) = 2
−−2
C. 事件?与?相互独立D. ?(?? + ??) = 3
如图，棱长为2的正方体中，?，?，?均为顶点，?为所在棱的中点，若??//平面?，且?，?均在平面?
内，则平面?截正方体所得图形的外接圆面积为()
4
5?
7?
4
9?
4
9?
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数?(?) = 4
??−1
+2，则()
?(?)的定义域为(−∞,0) ∪ (0, + ∞)B. ?(?)为奇函数
C. ?(?)为?上的减函数D. ?(?)无最值
已知球?(?为球心)为正方体????−?1?1?1?1的内切球，且球?的表面积为4?，则()
3
线段??1的长为
直线??1与球?相切
2
△ ??1?的面积为
直线??与底面????所成角的正弦值为 3
3
−
1
11.设样本数据?1，?2，…，?8的平均数为?，方差为?2.设?? = 2?? +1，? = 1，2，…，8，样本数据?1，
−
2
?2，…，?8的平均数为?，方差为?2，则()
−−
2? = ?−1B. 4?2 < ?2
−
1∑8
12
−
1∑822
C. 8 ?=1(2??−?) = −1D. 8 ?=1(??−2?) = ?2 +1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知一个底面半径为1的圆锥侧面展开图形的面积是其底面面积的2倍，则该圆锥的母线长为．
13.在矩形????中，?? = 2，点?为??中点，?? ⊥ ??，则?? ⋅ ?? = ．
14.设函数?(?)的定义域为(0, + ∞)，且对于任意的正数?，?，都有?(?) + ?(?) = ?(??)，若?(1) + ?(1
95
) = 6，则?(2025) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数?(?) = ????，函数?(?)满足9?2(?) + [?(?)−2]2 = 9，且 ?．
?(2) = 5
求?(?)的值域；
(2)求函数ℎ(?) = ?(?) + ?(?)的最大值与最小值．
16.(本小题15分)
已知复数?1 = 2 + ??(? ∈ ?)，?(1−?2) = 1．
−
(1)求?2 + ?2；
求|?1−?2|的最小值；
若?1?2的实部大于0，求?的取值范围．
17.(本小题15分)
暑假过后，长沙橘子洲头旅游景区为了更好地提升旅游品质，以便给游客带来更好的旅游体验感，相关工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分(满分100分)，将评分绘制成如图频率分布直方图． (1)求图中?的值；
估计这100名游客对景区满意度评分的中位数；
若工作人员从这100名游客中随机抽取了5名，其中评分在[50,60)内的有2人，评分在[70,80)内的有3人.
现再从这5人中随机抽取2人做进一步了解，求抽取的2人评分均在[70,80)内的概率．
18.(本小题17分)
如图，三棱柱???−???中，?? = ??，?，?分别为线段??，??的中点，且?? ⊥ 平面???．
证明：??//??；
证明：∠???为二面角?−??−?的平面角；
(3)若∠??? = 60°，且?? ⊥ ??，求二面角?−??−?的大小．
19.(本小题17分)
)sin(? +
在△ ???中，?? + ?? = 4，且???? + 2???(? + 3?
4
3?
．
4 ) = 0
求?；
求 △ ???面积的最大值；
??⋅????⋅??
若?是 △ ???边??上的一点，且=
?? ⋅ ?? = 4??，并求 1 + 1 的最小值(提示：函
|??|
|??|
，证明
??
??
数?(?) = ?(1−?2)在区间( 2, + ∞)上单调递减)．
2
参考答案
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
12.2
13.8
14.−12
15.(1)由?(?) = ????，且9?2(?) + [?(?)−2]2 = 9，
可得[?(?)−2]2 = 9(1−cs2?) = 9???2?，即?(?) = 2 ± 3????，
?
当?(?) = 2 + 3????时，?(2) = 2 + 3 = 5，符合题意；
?
当?(?) = 2−3????时，?(2) = 2−3 = −1，不符合题意，舍去．
综上所述，?(?) = 2 + 3????，
结合???? ∈ [−1,1]，可知?(?) ∈ [−1,5]，即函数?(?)的值域为[−1,5]；
3
(2)由(1)的结论，可得ℎ(?) = ?(?) + ?(?) = ???? + 3???? + 2，所以ℎ(?) =10sin(? + ?) + 2，其中锐角?满足???? = 1，
10
??
当? + ? = 2 +2??(? ∈ ?)时，即? = 2−? + 2??(? ∈ ?)时，ℎ(?)取得最大值
+2，
10
??
当? + ? = −2 +2??(? ∈ ?)时，即? = −2−? + 2??(? ∈ ?)时，ℎ(?)取得最小值−
+2．
1
16.(1)因为?(1−?2) = 1，所以1−?2
= ? = −?，所以?2
= 1 + ?，
−
所以?2 + ?2 = (1 + ?) + (1−?) = 2；
(2)因为?1 = 2 + ??，?2 = 1 + ?，
所以?1−?2 = (2 + ??)−(1 + ?) = 1 + (?−1)?，所以|?1−?2| =12 + (?−1)2，
当? = 1时，原式取得最小值1．
(3)因为?1 = 2 + ??，?2 = 1 + ?，
所以?1?2 = (2 + ??)(1 + ?) = (2−?) + (2 + ?)?，因为?1?2的实部大于0，则2−? > 0，即? < 2，所以?的取值范围为(−∞,2)．
17.(1)由图知：0.02 + 10? + 0.18 + 0.25 + 0.4 = 1，解得? = 0.015；
(2)由0.02 + 0.15 + 0.18 = 0.35 < 0.5，0.02 + 0.15 + 0.18 + 0.25 = 0.6 > 0.5，
所以中位数在[80,90)之间，且为80 + 0.5−0.35 = 86；
0.025
(3)设评分在[50,60)中抽取的2人分别为?，?，在[70,80)中抽取的3人分别为?，?，?，
则从这5人中随机抽取2人所得样本空间为：{(?,?)，(?,?)，(?,?)，(?,?)，(?,?)，(?,?)，(?,?)，(?,?)，
(?,?)，(?,?)}，共有10个样本点，
设选取的2人评分均在[70,80)内为事件?，则? = {(?,?)，(?,?)，(?,?)}，共有3个样本点，
所以?(?) = 3 ．
10
18.(1)证明：由三棱柱性质，四边形????为平行四边形，故 BC//??，又?，?分别为线段??，??的中点，则易有?? = ??，
即四边形????为平行四边形，则??//??，又由三棱柱性质有??//??，
故 AD//??；
(2)证明：由于?? ⊥ 平面???，?? ⊂ 平面???，故 A? ⊥ ??，又?? = ??，由三棱柱性质知△ ???≌ △ ???，则?? = ??，
又?为线段??的中点，故 EF ⊥ ??，
由于?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，且?? ∩ ?? = ?，??，?? ⊂ 平面???，故 EF ⊥ 平面???，
由(1)可知??//??，即点?在平面???内，又?? = ?? = ??，则四边形????为平行四边形，且?? ⊥ 平面????，
又?? ⊂ 平面????，故 EF ⊥ ??，
由于平面???与平面???的交线??满足?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，故∠???为二面角?−??−?的平面角．
(3)由于?? ⊥ 平面????，??//??，故 BC ⊥ 平面????，
连接??，同理可证∠???为二面角?−??−?的平面角，由于?? ⊥ ??，且?为线段??的中点，故 AE = ??， 又∠??? = 60°，故△ ???为等边三角形，
不妨设?? = ?? = ?? = 2?，则?? =3?，由于?? = ??，?? ⊥ ??，
故△ ???为等腰直角三角形，故?? = ?，即?? = 2?，
则cs∠??? = ?? = ? = 1，
??2?2
又由图有∠??? < 90°，故∠??? = 60°，则∠??? = ∠??? = 60°．
19.(1)在 △ ???中，由???? + 2???(? + 3?)sin(? + 3?) = 0，
44
得????−2???2? + 1 = 0，
解得???? = −1或???? = 1，
2
又0 < ? < ?，所以???? = −1，
2
所以? = 2?；
3
(2)由4 = ?? + ?? ≥ 2 ?? ⋅ ??得?? ⋅ ?? ≤ 4，当且仅当?? = ?? = 2时等号成立，
1
所以????? = 2?? ⋅ ?????? ≤3，
所以△ ???面积的最大值为 3；
??⋅??
(3)在 △ ???中，记角?，?，?所对的边分别为?，?，?，因为
|??|
??⋅??
= ，
|??|
所以??是∠???的平分线， 因为????? = ????? + ?????，
所以1
2
?????∠??? =
1? ⋅ ?? ⋅ sin
2
∠??? +
2
1? ⋅ ?? ⋅ sin
2
∠???，
2
所以?? = ??(? + ?) = 4??，所以?? ⋅ ?? = 4??，
因为? = 2?，
3
?
所以∠??? = ∠??? = 3，
设∠??? = ?,0 < ? < 2?，
3
中，由正弦定理得
在△ ???， △ ??? ?? =??
,??
=??，
则?? = 3? ,?? = 3? ，
sin∠???
sin∠??? sin∠???
sin∠???
2????2????
令? = 2 3 ∈ [ 3, + ∞),? = ?? + ?? = ?(? + ?) = 4?,
2????2
在△ ???中，由余弦定理可得16?2 = ?2−?2 + ?2 +?? = (? + ?)2−?? = 16−?? < 16，解得−1 < ? < 1，
所以? ∈ [ 3,1),
2
则 1 + 1 = 1 + 1 = 4 = 4 = 1，
????????????(16−16?2)4?(1−?2)
令?(?) = ?(1−?2)，
由题意可得函数?(?)在区间[ 3,1)上单调递减，
2
则?(?)??? = ?( 3) = 3，
28
所以 1 + 1 的最小值为2 3．
????3