广东省揭阳2025-2026学年九年级上学期第一次月考模拟卷05数学试卷（解析版）

这是一份广东省揭阳2025-2026学年九年级上学期第一次月考模拟卷05数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了 我国古代数学家赵爽等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1. 正比例函数的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况描述准确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】∵正比例函数的图象过第二、四象限，
，
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
2. 如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，CP＝2，如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】∵OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，
∴∠AOP＝∠COP＝30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP＝∠CPO，
∴∠COP＝∠CPO，
∴OC＝CP＝2，
∵∠PCE＝∠AOB＝60°，PE⊥OB，
∴∠CPE＝30°，
∴CE＝CP＝1，
∴，
∴，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴．
故选：C．
3. 如图，在的两边上分别截取、，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据作图，，
，
，
四边形是菱形，
，四边形的面积为，
，
解得．
故选：B．
4. 我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以x=2．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】方程，即的拼图如图所示：
中间小正方形边长，其面积为9，
大正方形的面积：，其边长为7，
因此，C选项所表示的图形符合题意．
故选：C．
5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围在数轴上可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】根据题意得：，解得：．故选：A ．
6. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且，连接EF，则BF的长为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：
∴∠BAF＝∠DAG，AB=AG
∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠BAF＋∠DAE＝∠DAG＋∠DAE=45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，
在△AFE和△AGE中，
AG＝AF，∠FAE＝∠EAG，AE＝AE，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF＝EG，
即：EF＝EG＝ED＋DG，
∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，
∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，
∴设BF＝x，则CF＝6−x，EF＝3＋x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CE2＋CF2，
∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，
解得：x＝2，即BF＝2，故选：A．
7. 如图，在矩形中，，E为的中点，F为上一动点，P为中点，连接，则的最小值是（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】如图：
当点F与点C重合时，点P在处，，
当点F与点E重合时，点P在处，，
∴且．
当点F在上除点C、E的位置处时，有．
由中位线定理可知：且．
∴点P的运动轨迹是线段，
∴当时，取得最小值．
∵矩形中，，E为的中点，
∴为等腰直角三角形，．
∴．
∴．
∴．
∴，即，
∴的最小值为的长．
在等腰直角三角形中，．
∴．
∴的最小值是．
故选：C．
8. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（ ）
A. 0或B. 0或2C. 2或D. 0或或2
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
①当时，则，
∴，即，
解得：；
②当时，则，
∴，即，
解得：或（舍）；
③当时，则，
∴，即，
解得或（舍）；
④当时，，方程没有实数解；
综上所述：方程的解为或或，
故选：D．
9. 已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∵
，
当且仅当，
即，，
或，时，等号成立，
∴的最小值为，
∴最小值：，
即，
∵
，
当且仅当时，
即，，
或，时等号成立，
∴的最大值为，
∴的最大值为，
即，
∴，故选：C．
10. 如图，正方形的边长为，在正方形外，，过作于，直线，交于点，直线交直线于点，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；
④若，则
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC,∠ADC=90°，
∵DC=DE，
∴DA=DE，
∴∠DAE=∠DEA，故①正确，
∵DA=DC=DE，
∴∠AEC=∠ADC=45°(圆周角定理)，
∵DM⊥AE，
∴∠EHM=90°，
∴∠DMC=45°，故②正确，
如图，作DF⊥DM交PM于F，
∵∠ADC=∠MDF=90°，
∴∠ADM=∠CDF，
∵∠DMF=45°，
∴∠DMF=∠DFM=45°，
∴DM=DF，∵DA=DC，
∴△ADM≌△CDF(SAS)，
∴AM=CF，
∴AM+CM=CF+CM=MF=DM，
∴=，故③正确，
若MH=2,则易知AH=MH=HE=2,AM=EM=2，
在Rt△ADH中, ，
∴DM=3,AM+CM=3，
∴CM=CE=，
∴S△DCM=S△DCE，故④错误，
故选C.
二．填空题（共5小题）
11. 如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点M，N．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 _____ ．
【答案】9
【解析】∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
在与中，
∠OBM=∠OCNOB=OC∠BOM=∠NOC，
∴△OBM≌△OCNASA，
∴S△OBM=S△OCN，
∴S1+S2=S1+S△OBM=S△OAB=14S正方形ABCD=14×10×10=25，
∴，
故答案为：9．
12. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为________．
【答案】k＞1
【解析】由题意得：，
解得k＞1．
故答案为：k＞1．
13. 如果恰好只有一个实数 a 是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0 根，则 k 的值__________．
【答案】±3 或﹣5
【解析】当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2-9=0，
解得k=±3，
当原方程是一元二次方程时，
△=b2-4ac=0，
即：4（k+1）2-4（k2-9）=0
解得：k=-5．
故答案为±3或-5．
14. 如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°，延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝5，则FD的长为_____．
【答案】
【解析】如图，过C点作CH⊥BF于H点，过B点作BK⊥CM于K，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q．

∵∠CFB＝45°
∴CH＝HF，
∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°，
∴∠BAG＝∠FBE，
∵AG⊥BF，CH⊥BF，
∴∠AGB＝∠BHC＝90°，
在△AGB和△BHC中，
∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，
∴△AGB≌△BHC（AAS），
∴AG＝BH，BG＝CH，
∵BH＝BG+GH，
∴BH＝HF+GH＝FG，
∴AG＝FG；
∵CH⊥GF，
∴CH∥GM，
∵C为FM的中点，
∴CH＝GM，
∴BG＝GM，
∵BM＝5，
∴BG＝，GM＝2，
∴AG＝2，AB＝5，
∴HF＝，
∴CF＝×＝，
∴CM＝，
∵CK＝CM＝CF＝，
∴BK＝，
∵在△BKC和△CQD中，
∵∠CBK＝∠DCQ，∠BKC＝∠CQD＝90°，BC＝CD，
∴△BKC≌△CQD（AAS），
∴CQ＝BK＝，
DQ＝CK＝，
∴QF＝CQ﹣CF＝﹣＝，
∴DQ＝QF＝，∴DF＝×＝．
故答案为．
15. 如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ．
【答案】
【解析】如图所示：∵是定值，长度取最小值时，即在上时，
过点M作于点F，
∵在边长为2的菱形中，，M为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
16. 先化简，再求值：，其中x满足方程：．
解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
17. 已知2是关于x的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长．
（1）求m的值；
（2）求的周长．
解：（1）把x=2代入方程得：，解得：；
（2）当时，原方程变为，解得．
∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形，
∴的腰为6，底边为2，
∴的周长为6+6+2=14．
18. 如图，在矩形中，连接，O为中点，在延长线上取一点E使得，且，在反向延长线上取一点F使得，连接，过点C作．
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，求的长．
（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
连接，
∵矩形，O为中点，
∴与交点为，，，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，
∴．
19. 如图，在中，交于点E，交的延长线于点F，且，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴
∵，
∴．
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴．
∴
在中，，，，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
20. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：
无论取何实数，都有，
，即的最小值为2．
试利用配方法解决下列问题：
（1）直接写出的最小值 ；
（2）比较代数式与的大小，并说明理由；
（3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值．
（1）解：，
无论取何实数，都有，
，即的最小值为，
故答案为：；
（2）解：，
；
（3）解：四边形的面积为：
，
四边形面积的最大值为．
21. 已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点E，延长到点F，使，连接，交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）求长；
（3）如图2，在上取一点H，且，若以为x轴，为y轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
（1）证明：如图1，
在和中，
BC=DC∠BCE=∠DCF=90°CE=CF，
∴；
（2）证明：如图1，
∵平分∠DBC，BD是正方形的对角线，
∴∠EBC=12∠DBC=22.5°，
由（1）知，
，
，
在和中，
，
，
∴BD=BF，DG=FG，
，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
如图2，
∵CF=2-1，BH=CF，
，
当时，则，
，
设，
，
解得或，
P的坐标为或；
当时，则HP=BP=2-1，
，
是等腰直角三角形，
P的坐标为；
当时，
，
是等腰直角三角形，
P的坐标为 ，
综上所述，在直线上存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为或或或．
22. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一个根为2t，因此，所以有；我们记“”即时，方程为倍根方程．下面我们根据此结论来解决问题：
（1）方程；方程这两个方程中，是倍根方程的是_______（填序号即可）
（2）若是倍根方程，求的值；
（3）关于的一元二次方程是倍根方程，且点在一次函数的图象上，求此倍根方程的表达式．
（1）解：在方程中，，
在方程中，，
∴是倍根方程的是，
故答案为：；
（2）解：整理得：，
∵是倍根方程，
∴，
∴；
（3）解：∵是倍根方程，
∴，
整理得：，
∵在一次函数的图象上，
∴，
联立，
解得：，
∴此方程的表达式为．
23. （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，交于点O，．求证：．
（2）如图2，在正方形中，点E、H、F、G分别在边上，交于点O，．求的长．
（3）如图3，在矩形中，，点E、H、F、G分别在矩形的边上，交于点O，，求的长．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴．
又∵，，
∴．故．
（2）解：∵图2中的线段是由图1中的线段平移得到，
即平移后得到，平移后得到，
∴，
故．
（3）解：
把三等分，得到三个正方形，正方形，正方形，正方形，
将线段平移得到、，则，
由（2）可知，
，．