安徽省六校教育研究会2025-2026学年高三上学期入学素质测试数学试题（Word版附解析）

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2025.9
注意事项：
1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A B. C. D.
3. 已知平面向量 ， 满足 且 ，则 与 夹角的大小为（ ）
A B. C. D.
4. 已知函数 的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（ ）
A. B.
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C. D.
5. 已知两条不同的直线 ，两个不同的平面 ，于是可得到（ ）
A. 若 ，则 .
B. 若 ， ，则 .
C. 若 ，则 .
D. 若 是一对异面直线，且 ，则 .
6. 已知当 时，函数 取到最大值，且 是等差数列 的第 5 项，
则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 双曲线 的左､右焦点分别为 ，以 为焦点的抛物线
与双曲线 在第一象限的交点为 ，若 ，则双曲线 的离心率大小为（ ）
A. 3 B. 2 C. D. 6
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法中，正确 是（ ）
A. 一组数据： 的第 70 百分位数是 7.5
B. 若随机变量 ，则
C. 若随机变量 ，且 ，则
D. 若三个随机事件 两两独立，则
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10. 在棱长为 2 的正方体 中，点 在正方形 内运动（含边界）且 平面
，则（ ）
A. 点 的轨迹长度大小为
B. 三棱锥 的体积始终不变
C. 异面直线 与 所成角的大小可能为
D. 当异面直线 与 所成角最大时，四面体 的外接球的表面积为
11. 已知 ，圆 ，则（ ）
A. 存在两个不同 实数 ，使圆 过原点
B. 存在正实数 ，使圆 在 轴上和在 轴上截得的线段相等
C. 存在三个不同的实数 ，使圆 与 轴或 轴相切
D. 存在唯一 实数 ，使圆 的周长被直线 平分
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设 ，则 __________.
13. 已知数列 满足 ，则数列 的前 项的和等于______.
14. 一个袋中装有形状大小完全相同的 6 个球，其中 2 个红球，4 个白球.从袋中有放回地取球，每次随机取
1 个记下颜色后放回，直到取出 3 次红球即停止，记 为 4 次之内（含 4 次）取到红球的次数，则 的数
学期望 __________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的最大项与最小项.
16. 如图 1，在边长为 4 的等边 中，点 分别在边 上，且 ，连 ，沿
将 折起得到四棱锥 （图 2），使 .
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（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 已知 的内角 满足 ，且 的面积大小
为 4.
（1）求边 长的最大值；
（2）当边 长取到最大值时，求 的周长.
18. 已知函数
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个正零点 且 ，
（i）求证： ；
（ii）当 时，不等式 恒成立，求证： .
19. 已知离心率为 的椭圆 过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）不过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，求证：直线 过定点，并求出定点坐标；
（3）在（2）的条件下，是否存在直线 ，使得 是等腰三角形？若存在，请问这样的直线 有几条？
若不存在，请说明理由.