内蒙古通辽市第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含解析）含答案解析

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试卷分数：150分 考试时间：120分钟 命题人：
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号涂写在答题卡上。本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2、做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把Ⅰ卷答题卡（机读卡）上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效.
3、回答非选择题时，将答案写在Ⅱ卷答题卡上，写在本试卷上无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．1B．iC．－1D．－i
2．若直线的方向向量为,,，平面的法向量为,6,，则（ ）
A．B．
C．D．与位置关系不确定
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
4．为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年），得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30%分位数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．若是的重心，且（为实数），则（ ）
A．B．C．1D．
6．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
7．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C． D．
8．如图，该模具是一个各棱长都为2的正四棱锥，要将两个同样的模具装在一个球形包装盒内，则包装盒的最小直径为（ ）
A．2B．2C．4D．4
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知向量，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量在向量上的投影向量
10．已知事件，满足，，则下列结论正确的是( ).
A．若，则
B．若与互斥，则
C．若，则与相互独立
D．若与相互独立，则
11．在如图所示的三棱锥中，，，，两两互相垂直，下列结论正确的为（ ）
A．直线与平面所成的角为
B．二面角的正切值为
C．到面的距离为
D．作平面，垂足为，则为的重心
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）.
12．一组数据5，5，7，，10的平均数为7，则其方差为 .
13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ．
14．在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分）.
15．（13分）宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区．为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，求x的值；
(2)若采用按比例分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内的概率．
16．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积.
17．（15分）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，．
(1)用为基底表示向量，并求的长；
(2)求的值．
18．（17分）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为．
(1)求乙答对题的概率；
(2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率．
19．（17分）如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由.