东北三省精准教学2025届高三上学期12月联考数学试卷

这是一份东北三省精准教学2025届高三上学期12月联考数学试卷，共16页。试卷主要包含了已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数（i为虚数单位），则|z|＝
A．2 B． C． D．1
2．已知，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，，且，则
A．3 B． C． D．
4．已知函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
A．直线是f（x）图象的一条对称轴
B．f（x）图象的对称中心为，
C．f（x）在区间上单调递增
D．将f（x）的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
5．正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐．在正四棱台ABCD-A′B′C′D′中，，，，则
A．2 B． C． D．3
6．已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝
A．2 B．3 C． D．
7．已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点．点P为线段FQ的中点，且，则双曲线C的离心率为
A． B． C．2 D．3
8．已知f（x）是定义在R上的函数，且，，则
A．-2 B．-3 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知，，且，则下列不等式恒成立的有
A． B． C． D．
10．如图，菱形ABCD的边长为2，，E为边AB的中点．将△ADE沿DE折起，折叠后点A的对应点为A′，使得，连接A′B，A′C，则下列说法正确的是
A．D到平面A′BC的距离为 B．四面体A′-CDE的外接球表面积为8π
C．BC与A′D所成角的余弦值为 D．直线A′B与平面A′CD所成角的正弦值为
11．已知函数f（x）为R上的奇函数，当时，，且f（x）的图象关于点（1，1）中心对称，则下列说法正确的是
A． B．直线与f（x）图象有8个交点
C．是周期为2的周期函数 D．方程所有根的和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知等差数列，，则________．
13．已知集合，，且的非空子集的个数为3，则整数b的一个可能取值为________．
14．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的周长为18，b，c，a成递增的等差数列，．点D，E和F分别在BC，AC和AB上，满足，，．
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：AD，BE和CF三线交于一点K．
16．（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，，，点E是PC的中点．
（1）证明：；
（2）当时，求二面角P-BC-A的余弦值．
17．（15分）城市活力是城市高质量发展的关键表征，其反映了城市空间治理能力现代化的水平．城市活力由人群活动和实体环境两方面构成，通过数学建模研究表明：一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，城市活力度越高．Q市基于大数据测算城市活力度，发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数来近似刻画，其中正午12点的城市活力度为20，是工作日内活力度的最高值；24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值．
（1）分别求m，n的值；
（2）求该工作日内，Q市活力度不大于10的总时长．
18．（17分）已知函数，其中，是自然对数的底数，f（x）是g（x）的导函数．
（1）当时，求曲线在点（1，g（1））处的切线方程；
（2）当f（x）存在极值时，证明：f（x）的极值小于或等于1．
19．（17分）记数列的前n项和为，已知．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前n项和为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）证明：．
东北三省精准教学2024年12月高三联考数学
参考答案及解析
1．【答案】C
【解析】，．
故选：C．
2．【答案】A
【解析】因为，所以，即，，则．当时，，，，则．故“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
3．【答案】B
【解析】由可得，解得，故，故．
故选：B．
4．【答案】D
【解析】由图易知，，得．
因为，，所以．
因为点在曲线上，所以，所以，又，所以，，所以函数f（x）图象的对称轴应满足，得，，故直线不是f（x）图象的一条对称轴，选项A错误；
由，得，，函数f（x）图象的对称中心为，，选项B错误；
由，，得，，当时，，选项C错误；
将f（x）的图象向左平移个单位长度后得，平移后的函数是偶函数，选项D正确．
故选：D．
5．【答案】B
【解析】在正四棱台ABCD-A′B′C′D′中，，，，可得在侧面ABB′A′中，，故，．
故选：B．
6．【答案】B
【解析】因为，所以当时，，两式相减得，即，所以公比为2，，又当时，，得，所以等比数列的通项公式为，，所以，，公差为．
故选：B．
7．【答案】C
【解析】方法一：，且P为线段FQ的中点，，，直线FQ的方程为，与渐近线方程联立，得Q的坐标，
，化简可得即，双曲线C的离心率．
方法二：因为P为FQ中点，，所以，又直线OP与直线OQ分别为双曲线C的两条渐近线，得，所以，故．
故选：C．
8．【答案】C
【解析】因为，所以当时，，
又，所以．
又由，可得，
所以，
，函数f（x）是以4为周期的函数，所以．
故选：C．
9．【答案】ABC
【解析】对于A，，恒成立，选项A正确；
对于B，由基本不等式可得，因为，所以取不到等号，即，选项B正确；
对于C，由，，可得，由指数函数性质易得，选项C正确；
对于D，令，，，选项D错误．
故选：ABC．
10．【答案】BCD
【解析】因为菱形ABCD中，E为AB的中点，所以，即将△ADE沿DE折起后，，，
又，，，
所以，则EB，ED，EA′两两垂直，
以E为坐标原点，EB，ED，EA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Exyz，则
A′（0，0，1），B（1，0，0），，，，，，．
对于A，设平面A′BC的法向量为，取，，D到平面A′BC的距离为，选项A错误；
对于B，取CE中点F，连接DF，，，
过F作直线，则四面体A′-CDE的外接球球心O在直线l上，设，该外接球的半径为R，由，得，解得，，四面体A′-CDE的外接球的表面积为，选项B正确；
对于C，BC与A′D所成角的余弦值为，选项C正确；
对于D，设平面A′CD的法向量为，
取，，，选项D正确．
故选：BCD．
11．【答案】ACD
【解析】对于A，f（x）的图象关于点（1，1）中心对称，，当时，，可得，又，，选项A正确；
对于B，因为f（x）为R上的奇函数，且（0，0）为直线与f（x）图象的一个交点，所以直线与f（x）图象交点为奇数个，选项B错误；
对于C，由f（x）的图象关于点（1，1）中心对称，
，，，
，所以是周期为2的周期函数，选项C正确；
对于D，因为f（x）为R上的奇函数，所以当时，，由g（x）的周期为2，可得，函数图象如图所示，当时，令，解得，当时，f（x）有最小值，因为函数f（x）为奇函数且图象关于（1，1） 中心对称，所以图象也关于（-1，-1）中心对称，当，有两个解，且关于对称，所以当时，所有根的和为，结合正弦型函数的周期性和f（x）的图象，所有根的和为，选项D正确．
故选：ACD．
12．【答案】21
【解析】设等差数列的公差为d，由，可得，即，．
故答案为：21．
13．【答案】-5/-6/-7（写出一个即可得满分）
【解析】由可知其图象是以原点为圆心，以5为半径的右半圆（含（0，±5）），如图，
，
的非空子集的个数为3等价于直线与半圆有2个公共点，当直线经过点（0，-5）时，，当直线与半圆相切时，可得，解得或（舍），故．故整数b的可能取值为-5，-6，-7．
故答案为：-5/-6/-7（写出一个即可得满分）．
14．【答案】（0，1）
【解析】由题意，得，恒成立即，恒成立．
，恒成立，化简可得，，
，，
令，，故g（x）单调递增，
，，令，，
当时，，当时，，时，h（x）取最大值，，即．
故答案为：（0，1）．
15．【答案】（1），，（6分） （2）证明见解析（7 分）
【解析】（1）因为△ABC的周长为18，所以，
由于b，c，a是递增的等差数列，故，
所以，①，
又②，
由①②，解得，，．
（备注：推导出①得3分，否则按考点给分；推导出②得1分；联立①②得出a，b，c得2分）
（2）由题意可得，，，
所以，，
设BE和CF交于点K，由B，K，E三点共线，得，
由C，K，F三点共线，得，
所以解得
所以，
又，所以，
所以AD过点K，即AD，BE和CF三线交于一点K．
（备注：按考点给分，漏步骤相应扣分；可使用建系方法解题，过程酌情给分）
16．【答案】（1）证明见解析（6分） （2）（9分）
【解析】（1）由勾股定理，，
满足，所以．
因为，，，，
所以，
又，所以．
因为，且，所以．
（备注：证明得2分，证明得3分，证明得1分）
（2）方法一：取AD的中点O，作交BC于M，连接OP，则，
因为，，，所以，以O为原点，OA，OM，OP 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
所以A（1，0，0），P（0，0，1），，，设B（a，b，0），，，
则，，，．
易知平面PAD的一个法向量为，因为，
所以，解得．
因为，所以，解得或（舍），即．
设平面PBC的一个法向量为，
则令，得，，可得，
易知平面ABC的一个法向量，
则，
因为二面角P-BC-A为锐二面角，所以二面角P-BC-A的余弦值为．
（备注：建系给1分，写出点的坐标给1分，计算出平面PBC的法向量给4分，求出二面角的余弦值给3分，过程酌情给分）
方法二：取AD的中点O，连接OP和OC，再取OC的中点Q，连接QE，
在平面ABCD内过点Q作BC的垂线，垂足为点N，连接EN，
因为，且O是AD的中点，所以．
又，，，
所以．
因为EQ是△POC的中位线，则，
所以．
因为，所以．
因为，，且，
所以．又，所以，
由二面角的平面角的定义可知，∠ENQ即为二面角P-BC-A的平面角．
连接BQ，并延长BQ交CD于点T．
由，，，所以．
当时，，且，
所以．
由平面与平面平行的性质定理可知．
记AC交BT于F，因为点Q是OC的中点，，所以F是AC的中点，
由此可知，，
因为，所以，且．
由，可知，
由得，所以，
，因此，
，
所以二面角P-BC-A的余弦值为．
（备注：分析出∠ENQ为二面角给3分，分析出给2分，计算出∠ENQ的余弦值给3分，过程酌情给分）
17．【答案】（1），（6分） （2）14小时（9分）
【解析】（1）由正午12点的城市活力度为20，知，
代入数据得，解得，
24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值，
故，代入数据得，解得．
（2）由（1）知
当时，令，解得，
当时，令，则，
，，
解得，故一日内只有时活力度大于10，
即该工作日内有14个小时活力度不大于10．
（备注：（1）问求得m给3分，求得n给3分；（2）问求出给2分，求出给5分，答案给2分）
18．【答案】（1）（6分） （2）证明见解析（11分）
【解析】（1）对g（x）求导可得，当时，，
故，，
故曲线在点（1，g（1））处的切线方程为，
化简得．
（备注：求导给1分，求出切线方程给3分，化简给2分）
（2）由第（1）问得，求导得，
当时，f（x）单调递增，故f（x）不存在极值，
当时，存在，使得，且，
此时在上，，f（x）单调递减，在上，，f（x）单调递增，此时f（x）存在极值，
由计算得，
设，，则，
当时，，，
当时，，
所以当时，h（a）取得最大值，
故，即f（x）的极值小于或等于1．
（备注：讨论极值存在情况得5分，未讨论扣2分；构造函数给1分，求最大值给3分，答案给1分）
19．【答案】（1），（7分） （2）（ⅰ），（7分）；（ⅱ）证明见解析（3分）
【解析】（1）当时，，解得，
当时，，所以，
即，是首项和公比均为2的等比数列，，．
（备注：求时的值得2分，求出公比得2分，写出的通项公式得3分）
（2）方法一：（ⅰ）由，
得，
故．
（ⅱ）因为，故．
（备注：（ⅰ）三角恒等变换拆分给2分，移项构造裂项相消得到给5分；（ⅱ）证明给3分）
方法二：（ⅰ）设数列的通项公式为，则，
当n为6的倍数时，
当n除6余1时，，
当n除6余2时，，
当n除6余3时，，
当n除6余4时，，
当n除6余5时，，
综上所述：
（ⅱ）
（备注：过程酌情给分）