广东省茂名市七校联盟2024-2025学年高一下学期2月联考数学试卷（解析版）

这是一份广东省茂名市七校联盟2024-2025学年高一下学期2月联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得到，所以，
又，得到，所以，得到.
故选：A.
2. 命题：“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据特称命题的否定为全称命题知：
“”的否定是“”.
故选：B.
3. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数和函数在上都单调递增，
所以函数为增函数，
又，，，，
由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，解得，
所以.
故选：B.
5. 已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（ ）
A. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变
C. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
D. 先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】由题意可知，
所以，
所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到，
再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象，
即的图象.
故选：A.
6. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D. 12
【答案】B
【解析】由可得，
由，
故，故，由于，故.
故选；B.
7. 设，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，故；
因为，故；因为，故；
故.
故选：D.
8. 已知，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】若函数在上单调递增，
由，得，
所以，又，
取，得，
若函数上单调递减，
由，得，
所以，
又，取，得，
所以的取值范围是.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 是的必要不充分条件
B. 若，则的最小值为
C. 若，则
D. 若幂函数的图象经过点，则函数的图象恒过定点
【答案】ABD
【解析】选项A：能推出，反之可以推出或，所以是的必要不充分条件，故A正确；
选项B：由可得，，所以，
当且仅当时,等号成立，故B正确；
选项C：当或或时，不成立，故C错误；
选项D：经过点，代入，则，恒过定点，
所以恒过定点，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知，则（ ）
A. 的最小正周期是B. 的图象关于对称
C. 的值域为D. 在上单调递增
【答案】BCD
【解析】对于A，根据诱导公式可知：
，
所以也是的周期，故A错；
对于B，根据诱导公式可知：
，
所以的图象关于对称，故B对；
对于D，当时，，
所以在上单调递增，故D对；
对于C，如图：
由，所以是偶函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，
的最小正周期是，
所以时，，
所以，又的最小正周期是，
所以是一个周期，所以的值域为，故C对.
故选：BCD.
11. 定义在上的函数，且，则（ ）
A. 是偶函数
B. 的图象关于点对称
C.
D.
【答案】ACD
【解析】令，得，
令，得
，
又，所以，所以是偶函数，故A对；
令
，
令，得，
，
所以的图象不关于点对称，故B错，C对；
令，得
，
令，
令，
同理可得，
所以，故D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知函数，则____________．
【答案】
【解析】，所以.
13. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围________.
【答案】
【解析】当时，原不等式变为，显然对一切实数都成立；
当时，要想不等式对一切实数都成立，则满足：
且，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
14. 已知实数满足，则的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】由，
可得：，
设，
可得：，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点．
（1）求和的值；
（2）求的值．
解：（1）因为角的终边经过点．由三角函数定义知
，．
∴．∴．
（2）由诱导公式得
.
16. 已知函数．
（1）若的解集为，求实数的值；
（2）若在上具有单调性，求实数的取值范围；
（3）当时，对任意恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）∵的解集为．
∴是方程两根．
∴，．
（2）的对称轴方程为．
∵在上具有单调性．∴，∴或．
∴实数的取值范围为．
（3），∴，
设，任取，
且．
当时，，∴，
当时，，∴．
∴在上单调递减，在上单调递增，
且．所以当时，，
所以，即取值范围为．
17. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若，求的最小值；
（3）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围．
解：（1），
由于在上单调递增，
所以的增区间为，减区间为.
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
，即，
∴，∴，∴，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为．
（3）有四个不等实根，
即有四个不等实根，
设，得，
只需方程有两个不等正实根，
，解得，
∴的取值范围为．
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值；
（3）若的图象与直线在区间上恰有三个交点，其横坐标分别为，求的取值范围．
解：（1）因为，
由，得到，
所以的单调递增区间为，．
（2）由（1）知，则，
又，所以，
又，所以，
则，
又
．
（3）当时，由（1）知在区间和上单调递增，
在区间上单调递减，且，
则在区间上的图象如图所示，
又直线与图象有三个交点．则，
不妨设三个交点为，且，则，
又易知，所以，
所以的取值范围为．
19. 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数，是自然对数的底数（…）
（1）解方程；
（2）求不等式的解集；
（3）对于任意，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．
解：（1）即，，
设得，∴解得或（舍去），
∴，∴．
（2）∵，∴为偶函数，任取，
，
∵，∴，，
∴，
∴即在上单调递增，
又是偶函数，∴在上单调递减，
即，
∴即，解得，∴不等式的集体为．
（3），
只需，
设，
由的单调性可知在上单调递减，
∴，
（当时取等号），
∴即．∴的取值范围为．