2024-2025学年河北省名校联考高三第三次模拟考试数学试题（附答案解析）

这是一份2024-2025学年河北省名校联考高三第三次模拟考试数学试题（附答案解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数 为纯虚数，则实数（ ）
A．B．1C．3D．或1
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知焦点在x轴上的椭圆 其焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为的三角形，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．函数，若的一个单调递增区间为，且，下面说法正确的是（ ）
A．B．
C．在上有2个零点D．
5．若函数，在上单调递增，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．向量的广义坐标是用于描述向量或系统状态的一组数值，其选择取决于问题的特定背景和需求．在物理学、工程学、计算机图形学等领域，广义坐标被广泛应用．比如，物理学中的振动系统可能采用角度作为广义坐标，而工程学中的结构分析可能使用特定坐标系来简化问题．通过选择适当的广义坐标，可以更自然地描述问题，简化数学表达，提高问题的可解性，并使模型更符合实际场景．已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点．对于内任意一点P，若，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的（ ）
A．点关于点O的对称点不一定为
B．A，B两点间的距离为
C．若向量平行于向量，则的值不一定为0
D．若线段的中点为C，则点C的广义坐标为
7．已知点，若圆上存在点满足，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（ ）
A．1B．0C．D．
二、多选题
9．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一个平面内，若四边形是边长为2的正方形，则（ ）

A．该八面体的表面积是
B．该八面体的体积是
C．直线与平面所成角为
D．动点在该八面体的外接球面上，且，则点的轨迹的周长为
10．已知抛物线C：的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点（A点在x轴上方），点P在C的准线上，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为9
B．
C．当为等边三角形时，的面积为
D．若点P的坐标为，且，则直线的斜率为
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（ ）
A． `B．b取值范围为
C．面积的最大值为D．周长的最大值为6
三、填空题
12．已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 .
13．已知数列 满足 若 ，表示的前n项和，则 .
14．某班级要拍毕业照，现有3名女生、2名男生要与班主任进行合影，则3名女生中有且只有2位相邻的概率为 .
四、解答题
15．交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站．
(1)为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示：
完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？
(2)根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值．
附，其中．
16．在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和．
17．如图，四棱锥中，底面，，，.
(1)若G点为的重心，求；
(2)若，证明：平面；
(3)若，且二面角的正弦值为，求.
18．定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点．
(1)求“共轭点对”中点B所在直线l的方程．
(2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点．
①求点，的坐标；
②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于．
19．设函数．
(1)证明，其中k为整数；
(2)设为的一个极值点，证明；
(3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明．
车站编号
满意
不满意
合计
10
35
50
11
30
合计
55
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
《河北省名校联考2024-2025学年高三第三次模拟考试数学试题》参考答案
1．B
【分析】利用纯虚数的概念可得所满足的条件，计算求解即可.
【详解】因为复数是纯虚数，
所以，解得.
故选：B.
2．D
【分析】解不等式及根据确定集合，根据正弦函数值域确定集合，再求即可.
【详解】，所以.
故选：D．
3．B
【分析】结合图形表示出，借助于三角形的面积公式列方程求出，利用离心率公式计算即可.
【详解】
由可得，由图知，，，
又，则的面积为，
解得，则，则椭圆的离心率为.
故选：B.
4．C
【分析】利用单调区间求出判断A；由求出判断B；求出在上的零点判断C；求出函数值判断D.
【详解】对于A，由的一个单调递增区间为，得最小正周期，，A错误；
对于B，由，得或，而，
当时，，在不单调；当时，
，符合题意，，B错误；
对于C，由，得，
解得，当时，或，C正确；
对于D，，D错误.
故选：C
5．C
【分析】根据分段函数的性质结合已知条件对函数进行分段讨论，当，根据对数函数性质得出函数单调性和最大值，当，对函数求导，结合函数单调递增，列出关于的不等式①并得出在上的最小值，再利用时的最小值不小于时的最大值，列出关于的不等式②，合并求出m的取值范围.
【详解】若，，因为底数，对数函数为单调递增函数，
在上的最大值为.
若，，求导得，
要使单调递增，则需满足①对所有恒成立，解得，
因为，则，所以，
若在上单调递增，则②，解得，
所以.
故选：C.
6．D
【分析】根据广义坐标的定义，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量共线性质逐一判断即可.
【详解】对于A，，设关于点的对称点为，则，
因为，不共线，所以，A错误；
对于B，因为，
所以，
当向量，是相互垂直的单位向量时，，两点间的距离为，否则距离不为，B错误；
对于C，当与中至少一个是时，结论成立；
当与都不为时，设（），有，即，所以，C错误；
对于D，，
所以线段中点的广义坐标为，D正确
故选：D
7．A
【分析】由题意可知，圆心，半径，则，，其中为坐标原点，可得，可知点的轨迹为以圆心，半径的圆，设为圆，由题意可知：圆与圆有公共点，则，求实数的最大值．
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，
则，，其中为坐标原点，
可得，
则，可知点的轨迹为以圆心，半径的圆，
设为圆，由题意可知：圆与圆有公共点，
则，即，
解得，
所以实数的最大值为．
故选：A．
8．C
【分析】利用函数的导数结合函数的奇偶性，对称性，周期性求解，结合函数奇偶性和对称性确定出的周期为4，即可求解．
【详解】因为为奇函数、则，则，
可知的图象关于点对称、可得，即，
可知的图象关于对称，则，
又因为为奇函数且定义域为R，则，可得，
可知的周期为4，所以，．
所以．
故选：C．
9．ACD
【分析】A选项，求出一个等边三角形的面积，从而得到八面体的表面积；B选项，作出辅助线，得到正四棱锥的高，从而得到，求出八面体的体积；C选项，找到即为直线与平面所成角，求出正弦值，得到角的大小；D选项，先找到外接球的球心和半径，作出辅助线，证明线面垂直，得到四边形截外接球的大圆即为点的轨迹，求出轨迹长度.
【详解】A选项，棱长为2的等边三角形面积为，
故该八面体的表面积，A正确；
B选项，连接，相交于点，连接，则为正四棱锥的高，
则，
由勾股定理得，
故，该八面体的体积是，B错误；

C选项，由B选项可知，即为直线与平面所成角，
其中，故，C正确；
D选项，由于，
故该八面体的外接球的球心为，半径为，
取的中点，的中点，连接，，
由对称性可知，相交于点，即正方形的中心，
故四点共面，
由于均为等边三角形，故⊥，⊥，
又，平面，
所以⊥平面，
故四边形截外接球的大圆即为点的轨迹，
其长度为，D正确.

故选：ACD
【点睛】关键点点睛：解决与球有关外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置，注意球心到各个顶点的距离相等，可充分利用几何体的对称性，找到球心的位置或者找到球心在某个平面的投影位置，进而求出半径，得到答案.
10．ABD
【分析】设，联立直线与抛物线的方程，求出，由基本不等式可判断A；设的中点为，由到准线的距离可判断B；当为等边三角形时，求出的面积为可判断C；由可得轴为的角平分线，根据角平分线定理求出，将，代入化简可求出直线的斜率可判断D.
【详解】因为抛物线C：的准线方程为，
所以，所以，所以抛物线C：，
设，联立，
得：，则，
，，，
对于A，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于B，设的中点为，由，则，
又因为，所以到准线的距离，
所以以为直径的圆与抛物线的准线相切，又点P在C的准线上，所以，故B正确；
对于C，，因为为等边三角形，故在的中垂线上，
当时，显然为直角三角形，不合题意，
当时，，，，
，又因为，解得：，
所以,，故C错误；
对于D，点，则，
因为，
所以，所以轴为的角平分线，根据角平分线定理：，
设直线的倾斜角为，过点作准线交准线于点，
则，所以，
同理，
所以，解得：，，故D正确.
故选：ABD.
11．BC
【分析】对于A，由三角函数恒等变形结合正弦定理边角互化可判断选项正误；对于B，
由结合A选项分析可得，然后由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合面积公式可判断选项正误；对于D，令，由B选项分析可得，然后用导数研究函数的单调性，可得周长最大值情况.
【详解】对于A，.
由正弦定理边角互化可得：，
则，故A错误；
对于B，，
则，当且仅当取等号.
由余弦定理，，又，
则，因，则，故B正确；
对于C，由B分析可知，，则，故C正确；
对于D，由B分析，，
得..
令，则，由三角形三边关系可得，
则，则.
则，令.
则，令，
因，则在上单调递减，
则，即周长无最大值，恒小于，
故D错误.
故选：BC
12．
【分析】首先利用导数分析函数的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】，，得，
当，，单调递增，，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小，
，得，即切点，
点到直线的距离为.
故答案为：
13．/
【分析】通过代入值，发现数列的周期，再利用周期性即可求该数列的前2025项和.
【详解】因，则，，
，，，，
可见4是数列的一个周期，且，
故.
故答案为：.
14．/
【分析】先对女生分组然后排列剩余男生与班主任再插空最后排相邻两女生，最后用古典概型计算概率即可.
【详解】由题意，先将2位男生和班主任排成一排，有种排法，然后将3位女生分成两组，一组2人一组1人，有种分组方法，然后2位男生和班主任排列后产生4个空有种插空方法，最后交换相邻2位女生的位置有种方法，所以3位女生中有且只有2位相邻共有种排法，
又因为6人随机排成一排有种排法，
所以所求概率为.
故答案为:
15．(1)列联表见解析，认为旅客满意程度与车站编号有关联；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）根据题目所给数据补充表格即可，先零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，接着依据表格数据计算”的值，比较与的大小，再结合独立性检验的思想方法即可下结论得解；
（2）先由题得的取值，接着依次计算每个取值相应的概率即可得的分布列，再根据均值公式即可直接计算求解的均值.
【详解】（1））补充列联表如下：
零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则，
所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为旅客满意程度与车站编号有关联.
（2）由题的可能取值为8，10，12，14，
则；；
；，
所以的分布列为
所以．
16．(1)
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）得，求得的表达式，结合三角函数的诱导公式，即可求解.
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
因为，所以，即，即
又因为成等比数列，所以，即，即，
联立方程组，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）解：由（1）知，，所以，
因为，即，
可得，
，
所以，所以数列的前2n项的和为．
17．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设出空间的一组基向量，将用基向量表示，运用数量积的运算律即可求得；
（2）利用题设条件，先由线线垂直证明平面，得出，再证，在底面上，可得，最后由线线平行证线面平行即得；
（3）设，，建立空间直角坐标系，求出相关点和平面法向量的坐标，利用向量夹角的坐标公式列出方程，求得，即得.
【详解】（1）设，，，则，，
，.
如图，连接并延长交于点,连接,则
两边取平方得.
∴，∴.
（2）因为平面，而平面，所以，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以.
因为，所以，在底面上，可知，
又平面，平面，所以平面.
（3）
设，，则①，因，如图，
过点作的平行线，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
此时有
因设平面的法向量为，
则，故可取；
又设平面的法向量为，
则，故可取；
则，
由题意，，即②
联立① ② ，解得故
【点睛】关键点点睛：本题主要考查空间向量在证明线面关系，空间角等方面的应用，属于较难题.
解题的关键在于结合图形，要么选择空间的一组基底，将相关向量用基底表示，通过向量的线性运算和数量积运算求得结论；要么建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算解决问题.
18．(1)
(2)①，；②证明见解析
【分析】（1）设，根据“共轭点对”得直线方程为，化简即可；
（2）①联立直线和椭圆的方程，解出即可；②设点，，利用点差法得，设过点P且与直线l平行的直线的方程为，计算直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，则证明出面积小于.
【详解】（1）设中点B的坐标为，
对于椭圆C：上的点，由“共轭点对”的定义，
可知直线l的方程为，即l：．
（2）①联立直线l和椭圆C的方程，得解得或，
所以直线l和椭圆C的两个交点的坐标为，．
②设点，，则，
两式相减得．
又，所以，所以，
即，线段PQ被直线l平分．
设点到直线的距离为d，
则四边形的面积．
由，，得．
设过点P且与直线l平行的直线的方程为，则当与C相切时，d取得最大值．
由消去y得．
令，解得，
当时，此时方程为，即，解得，
则此时点P或点Q必有一个和点重合，不符合条件，
故直线与C不可能相切，
即d小于平行直线和（或）的距离．
故.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是设点，，代入椭圆方程，利用点差法证明出线段PQ被直线l平分，再设过点P且与直线l平行的直线的方程为，将其与椭圆方程联立，求出直线与椭圆相切时的值，即可证明面积小于.
19．(1)详见解析；
(2)详见解析；
(3)详见解析.
【分析】（1）根据函数解析式结合诱导公式即得；
（2）根据函数导数可得，然后根据同角关系式结合条件即得；
（3）由题可得极值点为第二或第四象限角，然后结合正切函数的性质讨论两极值点的差的范围即得.
【详解】（1）因为函数，
所以
；
（2）因为函数，
所以，
令，则，对满足方程的有，
所以，
由函数与函数的图象可知此方程一定有解，

故的一个极值点满足，
所以；
（3）设是的任意正实根，则，
则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角，
因为，
所以在第二或第四象限变化时，变化如下，
所以满足的正根都为函数的极值点，
由题可知为方程的全部正实根且满足，
所以，
因为，，
则，
由，可得，
所以.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
C
C
D
A
C
ACD
ABD
题号
11









答案
BC









车站编号
满意
不满意
合计
10
35
15
50
11
20
30
50
合计
55
45
100
8
10
12
14
(为奇数)
0
+
(为偶数)
+
0