河北省盐山中学2025届高三第三次模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份河北省盐山中学2025届高三第三次模拟考试 数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（ ）
A．B．C．D．
2．诗歌朗诵比赛共有八位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到6个有效评分，6个有效评分与8个原始评分相比，一定不变的数字特征是（ ）
A．极差B．平均数C．中位数D．标准差
3．已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（ ）
A．0.8B．0.5C．0.4D．0.1
4．设函数是奇函数.若函数，，则（ ）
A．27B．28C．29D．30
5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边与圆交于点.动点以为起点，沿圆周按逆时针方向运动到点，点运动的轨迹长为，当角的终边为射线时，（ ）
A．B．C．D．
6．若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”.下列几何体可以“一笔画”的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A．2B．3
C．6D．9
二、多选题
9．圆柱的轴截面是正方形，分别是上、下底面的圆心，是下底面圆周上两个不同的点，是母线，若圆柱的侧面积为，则（ ）
A．圆柱的体积是
B．圆柱内切球的表面积是
C．
D．点到直线距离的最大值为
10．已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则（ ）
A．B．的渐近线方程是
C．的焦距为D．的离心率为
11．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3B．的最大值为1
C．的最小值为2D．的最小值为2
三、填空题
12．设，且，函数的值域为，则实数的取值范围是 .
13．已知是等比数列，且，，则 ．
14．已知函数在处取得极小值，则 ．
四、解答题
15．若数列的前n项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，证明：.
16．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．已知向量，，
（1）若，求实数的值；
（2）若，求向量与的夹角的余弦值.
18．如图，在三棱柱中，平面．

（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
19．已知抛物线W：的焦点为F，直线l：与W相切．
（1）求W的方程．
（2）过点F且与平行的直线与W相交于M，N两点，求．
（3）已知点，直线l与W相交于A，B两点（异于点P），若直线AP，BP分别和以F为圆心的动圆相切，试问直线l是否过定点?若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，得，
所以.
故选C
2．【答案】C
【详解】根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，
得到6个有效评分，
6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变，
而最高分、最低分、平均分、标准差都有可能发生变化，
因此一定不变的数字特征是中位数.
故选C.
3．【答案】C
【详解】由，则正态密度函数关于对称，即，
则.
故选C.
4．【答案】B
【详解】由函数是奇函数可知，
因此可得；
又，因此；
两式相加可得；
又，因此.
故选B
5．【答案】C
【详解】由题得，且圆O的半径为，
所以，
所以.
故选C
6．【答案】B
【详解】在上投影向量，
，，
则，
由于，，
故选B．
7．【答案】C
【详解】根据题意，从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断，不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”，
从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，只要是偶点组成的图形一定可以一笔画，C选项正确；
从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，只要是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点才可以一笔画，
而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画.
故选C.
8．【答案】C
【详解】设抛物线的焦点为F,则|AF|=12.根据抛物线的定义,点A到抛物线准线的距离d=9+p2=12,解得p=6,故选C
9．【答案】AC
【详解】设圆柱的底面半径为，所以母线为，
因为圆柱的侧面积为，所以.
所以圆柱的体积是，故A正确；
因为圆柱的底面半径为2，所以母线为4，所以圆柱内切球的半径为，
所以圆柱内切球的表面积是，故 B错误；
建立如图所示的空间直角坐标系，
，设，，
，
，
故C正确；
设，
直线的单位方向向量为，
所以点到直线距离为
，
由题意，所以当时，，故D错误.
故选AC.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，由双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，得，解得，A正确；
对于B，双曲线的渐近线方程是，B正确；
对于C，的焦距为，C错误；
对于D，的离心率为，D正确.
故选ABD
11．【答案】ABD
【详解】因为正实数m、n，
所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；
，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.
故选ABD
12．【答案】
【详解】因为，
当时，，则在上单调递减，
所以，即；
要使得函数的值域为，
所以当时，，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
13．【答案】
【详解】因为是等比数列，设其公比为，则，
由等比数列的性质可得，故.
14．【答案】
【详解】由，又函数在处取得极小值，
则，解得，或，
当时，，
令，则，或，
当时，，当时，，则处取得极小值，
故时符合题意；
当时，，
令，则，或，
当时，，当时，，则处取得极大值，
故时不符合题意.
15．【答案】（1）
（2）证明见解析
【详解】（1）当时，，，
因为，当时，，
两式作差得：，
即，故，
又因为，所以，且
所以.
（2）由（1）可知，，
故，
，
两式作差得：.
所以，因为，所以.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求正切值，然后化简式子，再进行齐次化求解即可；
（2）先用二倍角公式展开，然后进行齐次化求解.
【详解】（1）因为 ,所以 ,
所以;
（2）.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）向量，则，
由，得，解得.
（2），由，有，
解得，则，
.
所以向量与的夹角的余弦值.
18．【答案】（1）证明见详解
（2）
【详解】（1）在三棱柱中，由平面平面，得，
又平面，则平面，
而平面，所以平面平面.
（2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

由，令，则，
，，
设平面的法向量为，则，取，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．【答案】（1）；
（2）8；
（3）直线AB恒过定点.
【详解】（1）联立整理得．
因为与W相切，所以，解得或（舍去），
故W的方程为．
（2）由（1）可知．
因为，所以的方程为．
设，．
联立整理得，则，，
．
（3）设，，则直线l的方程为，①
直线AP的方程为，直线BP的方程为．
设动圆F的半径为r，．因为直线AP和圆F相切，所以，
整理得，
同理可得，
所以a，b是一元二次方程的两个实数根，
则，，代入①式整理得．
由，得，此时，故直线AB恒过定点．