北京市东城区2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）

这是一份北京市东城区2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了填空题，共10小题．等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】抛物线的顶点坐标是．
故选：D．
2. 关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A. 有最大值4B. 有最小值4C. 有最大值6D. 有最小值6
【答案】D
【解析】∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．
故选：D．
3. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为，
故选：B．
4. 抛物线与x轴交点的横坐标是（ ）
A. 2，B. ，3C. 2，3D. ，
【答案】A
【解析】令，则，
解得：或，
∴抛物线与x轴交点的横坐标是2，，
故选：A．
5. 若点，在抛物线上，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】B
【解析】由函数可知对称轴是直线，
由，可知，M，N两点关于对称轴对称，即
，
故选B．
6. 二次函数与坐标轴的交点个数是( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】∵△＝22−4×1×2＝−4＜0，
∴二次函数y＝x2＋2x＋2与x轴没有交点，与y轴有一个交点．
∴二次函数y＝x2＋2x＋2与坐标轴的交点个数是1个，
故选：B．
7. 图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设此函数解析式为：，
由题意得：在此函数解析式上，
则即得，那么．故选：C．
8. 二次函数图象上部分点的坐标满足下表：
则该函数图象的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵和时的函数值都是相等，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴顶点坐标为．故选B．
9. 已知抛物线l是二次函数的图象，且与轴相交于两点，其中，若将抛物线向上平移，平移后与轴交于，其中，则下列叙述正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】根据题意，作二次函数的图形及二次函数图象向上平移的图形如下，
∴二次函数图象的顶点坐标为，即对称轴为，
∴，
∴，
∵与是二次函数图象与轴交点之间的距离，
∴，
故选：A ．
10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于x的方程的一个根．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】∵抛物线图象开口向下，
∴，
∵抛物线图象交轴于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过点，
∴由对称性可得抛物线经过点，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线的顶点为，
∴，
∴，
∴，故③错误；
∵抛物线经过点，
∴点关于对称轴对称的点为，
∴一定是关于x的方程的一个根，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，共个，
故选：C．
二、填空题，共10小题．
11. 已知二次函数，请判断点是否在该二次函数的图象上．你的结论为________（填“是”或“否”）．
【答案】是
【解析】∵当x=1时，y=﹣（﹣1）2=﹣1，
∴点在二次函数的图象上．
故答案为：是．
12. 二次函数的图象与轴的交点坐标为______．
【答案】
【解析】令，得，
∴二次函数的图象与轴的交点坐标为，
故答案为：．
13. 若二次函数的图象经过点，则代数式的值为______．
【答案】7
【解析】∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：7．
14. 抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为_____．
【答案】9
【解析】∵抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，
∴，解得：．
故答案为：9．
15. 已知二次函数（是常数），则该函数图象的对称轴是直线________．
【答案】2
【解析】∵二次函数（a是常数），
∴该函数的对称轴是直线x＝−＝2，
故答案为：2．
16. 函数的图象如图所示，则该函数的最小值是_______．
【答案】-1
【解析】由函数图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，-1），
∵抛物线的开口向上，
∴该函数的最小值是：-1.
故答案是：-1.
17. 二次函数的图象如图所示，则______0（填“”，“”或“”）．
【答案】
【解析】由图象，可知：抛物线的开口向上：，
对称轴在的右侧：，即：，
∴；
故答案为：．
18. 已知抛物线过点，，，则这个抛物线解析式为________．
【答案】
【解析】∵抛物线过点，，，
∴，
解得，
∴这个抛物线的解析式为．
故答案为：．
19. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．垂直于y轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点．若，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】在中，当时，，即，
当时，，解得，，即，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵垂直于y轴的直线l与抛物线交于点，，与直线交于点，
∴，
在中，令，则，
画出图形如图所示：
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
20. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，称关于x的方程为点P的对应方程．如图，点，点，点．

给出下面三个结论：
①点A的对应方程有两个相等的实数根；
②在图示网格中，若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3个；
③线段上任意点的对应方程都没有实数根．
上述结论中，所有正确结论的序号是____________．
【答案】②③
【解析】∵，
∴点A的对应方程为，
解得，，
∴点A的对应方程有两个不相等的实数根，故①错误；
若点（均为整数）的对应方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∵m、n均为整数，
∴当时，，符合条件，
当时，，符合条件，
∴在图示网格中，满足条件的点P有3个，故②正确；
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线上任意一点为，
∴这个点的对应方程为，
∵
∵，
∴，即，
∴线段上任意点的对应方程都没有实数根，故③正确，
故答案为：②③．
三、解答题共4小题．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
21. 已知二次函数的图象过点，．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个函数的图象．
解：（1）∵二次函数的图象过点，，
∴，
解得，
∴．
（2）列表：
描点画图：

22. 如图，李师傅想用长为80米的栅栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区. 已知教学楼外墙长50米，设矩形的边米，面积为平方米.
（1）请写出活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；
（2）当为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？
解：（1）根据题意得：AB=x，BC=80-2x，∴S=x（80-2x）=80x-2x2．又∵x＞0，0＜80-2x≤50，解得15≤x＜40，∴S=-2x2+80x（15≤x＜40）；
（2）∵x==20，∴当x=20时，S=20×（80-20×2）=800．
答：当x=20时，活动区的面积最大，活动区的面积最大为800平方米．
23. 掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度(单位：m)与水平距离(单位：m)近似满足函数关系．某位同学进行了两次投掷．
（1）第一次投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
（2）第二次投掷时，实心球的竖直高度y与水平距离近似满足函数关系．记实心球第一次着地点到原点的距离为，第二次着地点到原点的距离为，则_____ (填“＞”“＝”或“＜”)．
（1）解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为，
所以实心球竖直高度的最大值为，
设抛物线的解析式为：，
将点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：第一次抛物线解析式为，
令，得到，（负值舍去），
第二次抛物线的解析式为，
令，得到，（负值舍去）
，
，
故答案为：>
24. 在平面直角坐标系中已知抛物线．
（1）若此抛物线经过点，求值；
（2）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点和，且，求的取值范围．
解：（1）∵抛物线经过点，
∴，
解得；
（2）∵，
∴抛物线的顶点坐标为；
（3）∵点 A和B，
∴点A和B在直线上，
由，消去得，
整理得，
∴，即，
∴或，
解得或，
由可知，
∴、同号，
∵，，
∴当时，，
∴，解得，
当时，，
∴，解得
综上，的取值范围为或
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
…
0
1
2
3
4
…
…
3
0
-1
0
3
…
水平距离x/m
0
2
4
6
8
10
竖直距离y/m