专题02 二次函数与一元二次方程、不等式（题型清单）（原卷版）2026高考数学一轮复习知识清单（全国通用）

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题型1 不等式的性质及应用
1．（24-25高三上·山东·月考）下列选项说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2025·云南昭通·模拟预测），，下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高三上·广东江门·月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．，则D．若，则
4．（24-25高三上·陕西西安·月考）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
题型2 利用不等式求代数式范围
5．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·安徽淮南·月考）已知则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（24-25高三上·江苏南通·月考）若变量x，y满足约束条件，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（ ）
A．27B．24C．12D．32
题型3 比较两个数（式）的大小
9．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知，则与大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2025高三下·全国·专题练习）已知，，则，的大小关系为 ．
题型4 解不含参一元二次不等式
13．（24-25高三下·江苏宿迁·月考）不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
14．（24-25高三上·宁夏银川·月考）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2025·湖北武汉·三模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
16．（2025·湖南永州·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．或B．
C．D．或
题型5 解含参一元二次不等式
17．（24-25高三上·安徽·月考）设实数满足，则关于的不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．D．
18．（24-25高三上·福建厦门·月考）（多选）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A．B．C．D．
19．（24-25高三上·甘肃天水·月考）关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是 ．
20．（24-25高三上·北京·月考）若不等式的解集是，则不等式的解集为 ．
题型6 三个“二次”关系的应用
21．（24-25高三上·安徽·月考）关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A．或B．
C．D．或
22．（24-25高三下·广东深圳·月考）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
23．（24-25高三下·江苏宿迁·月考）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．4B．C．2D．1
24．（24-25高三上·甘肃陇南·期中）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．或D．
题型7 一元二次不等式恒成立问题
25．（25-26高三上·河北衡水·月考）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
26．（24-25高三上·山西·月考）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．4C．5D．
27．（24-25高三下·上海·月考）若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 .
28．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是 ．
题型8 利用基本不等式求最值
29．（2025·辽宁盘锦·三模）已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
30．（2025·山东·二模）若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
31．（2025·四川成都·模拟预测）已知正数a，b满足，则的最小值为 .
32．（2025·天津和平·三模）已知实数与满足，且，则的最小值为 ．
题型9 基本不等式恒成立问题
33．（24-25高三上·湖南·开学考试）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
34．（24-25高三上·江西上饶·月考）若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
35．（24-25高三上·吉林四平·期末）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．64B．25C．13D．12
36．（24-25高三上·河北承德·月考）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（ ）
A．B．
C．D．
题型10 基本不等式的实际应用
37．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．米B．米C．米D．米
38．（24-25高三上·河北唐山·期中）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过（ ）后池水中药品的浓度达到最大．
A．B．C．D．
39．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知、两地的距离是．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在．假设油价是元，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是元，那么最经济的车速是（ ）.
A．B．C．D．
40．（24-25高三上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站6km处建仓库，则.要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站（ ）
A．2kmB．3kmC．4kmD．5km
判断不等式是否成立的常用方法
（1）利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件；
（2）利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项；
（3）根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断．
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下：
已知，，求的取值范围
第一步：设；
第二步：经过恒等变形，求得待定系数；
第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得的取值范围．
1、作差法：
（1）原理：设，则；；；
（2）步骤：作差并变形判断差与0的大小得出结论。
（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形．
2、作商法：
（1）原理：设，则；；
（2）步骤：作商并变形判断商与1的大小得出结论。
（3）注意：作商时各式的符号应相同，如果均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形．
第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
第二步：写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）；
②时，求根；
③时，方程无解
第三步：根据不等式，写出解集．
对求含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：
（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类；
（2）根据判别式与0的关系判断根的个数；
（3）有两个根式，有时还需根据两根的大小进行讨论．
1、一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值；
2、给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与轴的交点，可以代入根或利用根于系数的关系求待定系数．
1、一元二次不等式正在R上恒成立，可以利用判别式判断；
2、一元二次不等式在给定区间上恒成立，一般分离参数求最值或分类讨论；
3、一元二次不等式在给定参数范围恒成立，可变换主元求解，一般情况，求谁的范围，谁就是参数．
法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系．
法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式．
法三、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况．
类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；
类型2：分母为多项式时
方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；
方法2：待定系数法，适用于所有的形式，
如分母为与，分子为，
设
∴，解得：
法四、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题．
法五、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值．
1、，使得，等价于；
2、，使得，等价于；
3、，都有，等价于；
4、，都有，等价于．
解实际应用题的三个注意点：
1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；
3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．