广东省揭阳市榕城区2025年九年级上学期第一次月考数学题附答案

这是一份广东省揭阳市榕城区2025年九年级上学期第一次月考数学题附答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6，2，9B．2，-6，9C．-2，6，9D．2，-6，-9
3．在探究关于x的二次三项式的值时、小明计算了如下四组值：
则方程的其中一个解满足的范围是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．若，，则AC的长为（ ）
A．6B．9C．D．12
5．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
6．某果园2021年水果产量为100吨，2023年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，，垂足为E，若，则AD的长是（ ）
A．B．C．D．
8．国庆节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手78次，则参加聚会的人数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
9．如图，在中，．点M是斜边BC的中点，以AM为边的正方形AMEF．若，则（ ）
A．B．C．12D．16
10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为（ ）．
A．B．C．D．2
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．等腰三角形的边长都是方程的根，则此三角形的周长为 ．
12．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若，则菱形的周长为 ．
13．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为 ．
14．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是 ．
15．如图，某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行有菱形20个，每个菱形的边长为25cm．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为120°，校门部分打开时，每个菱形原来120°的角缩小为60°，则校门打开了 cm．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．解方程（用两种不同方法解）：．
17．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）用尺规作AC的垂直平分线，交BC于点E，交AD于点F．
（2）连接AE，CF，试判断四边形AECF的形状．并说明理出．
18．已知关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+2=0．
（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若方程的两个根的平方和等于5，求k的值．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元。根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元。设每天安排x人生产乙产品。
（1）根据信息填表
（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．
20．如图，中，，，，点P从A沿AC边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后， ；
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后?
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后?
21．用一根长为的铁丝围成一个矩形．
（1）当矩形面积为时，长、宽分别是多少？
（2）能围成面积为的矩形吗？请说明理由．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程” ．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、 ．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为 ，证明你的结论．
（3）已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根
23．
（1）【问题发现】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、AB上的点，且，连接DE，过点E作，使，连接FG，FC．试判断FG与CE的关系，并说明理由：
（2）【拓展探究】
如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？若成立请说明理由：若不成立，请给出结论并证明；
（3）【类比延伸】
如图3，若点E、F分别是BC、AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断
答案
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A不是一元二次方程，不符合题意；
B不是一元二次方程，不符合题意；
C不是一元二次方程，不符合题意；
D是一元二次方程，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：，即
∴二次项系数为2，一次项系数为-6，常数项为-9
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程相关量的定义即可求出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵x=1.1时，
x=1.2时，
∴当x在1.1与1.2之间取某一个数时，可使=0
故答案为：A
【分析】 根据估算一元二次方程的解即可求出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO，∠AOB=60°
∴△ABO为等边三角形
∴AO=AB=6
∴AC=2AO=12
故答案为：D
【分析】根据矩形性质可得AO=BO=CO，根据补角可得∠AOB=60°，再根据等边三角形判定定理可得△ABO为等边三角形，则AO=AB=6，即可求出答案.
5．【答案】D
【解析】【解答】解：A：，有两个不相等的实数根，不符合题意；
B：，有两个不相等的实数根，不符合题意；
C：整理得：4x2+8x-7=0，，有两个不相等的实数根，不符合题意；
D：，有两个相等的实数根，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据二次方程判别式，可得方程有两个相等的实数根，逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：设该果园水果产量的年平均增长率为x
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设该果园水果产量的年平均增长率为x，根据题意建立方程即可求出答案.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD
∴OA=OB
∵BE=EO，AE⊥BD
∴AB=AO
∴OA=AB=OB
∴△OAB是等边三角形
∴∠ABD=60°
∴∠ADE=90°-∠ABD=30°
∴
故答案为：D
【分析】根据矩形性质可得OB=OD，OA=OC，AC=BD，再根据垂直平分线性质可得OA=AB=OB，根据等边三角形判定定理可得△OAB是等边三角形，则∠ABD=60°，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：设有x个人参加聚会
由题意可得：
解得：x=13或x=-12(舍去)
故答案为：D
【分析】设有x个人参加聚会，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵正方形AMEF是正方形，
∴AM2=16，即AM=4
∵在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点
∴，即BC=2AM=8
∵
∴
故答案为：B
【分析】根据正方形面积可得AM=4，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得BC=2AM=8，根据勾股定理可得AC，再根据三角形面积即可求出答案.
10．【答案】A
【解析】【解答】解：连接AE
∵M，N分别是EF，AF的中点
∴MN是△AEF的中位线
∴
∵四边形ABCD是正方形
∴∠B=90°
∴
当BE最大时，AE最大，此时MN最大
∵点E是BC上的动点
∴当点E和点C重合时，BE最大，最大为BC的长度
此时
∴
∴MN的最大值为
故答案为：A
【分析】连接AE，根据三角形中位线性质可得，根据正方形性质可得∠B=90°，根据勾股定理可得，当BE最大时，AE最大，此时MN最大，当点E和点C重合时，BE最大，最大为BC的长度，再根据勾股定理即可求出答案.
11．【答案】10，6或12
【解析】【解答】解：，
∴，
解得，
①当这个三角形的三边长分别为时，
，
不满足三角形的三边关系定理，舍去，
②当这个三角形的三边长分别为时，
，
满足三角形的三边关系定理，
∴三角形的周长为；
③当这个三角形的三边长分别为时，
三角形的周长为
④当这个三角形的三边长分别为时，
三角形的周长为.
综上所述：三角形的周长为10，6或12
故答案为：10，6或12.
【分析】先利用因式分解法求出方程的根，再根据三角形的三边关系确定三角形的三边长，代入三角形的周长公式，计算求解即可．
12．【答案】24
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD，BO=DO
∵点E是BC的中点
∴OE是△BCD的中位线
∴CD=2OE=6
∴菱形的周长为4×6=24
故答案为：24
【分析】根据菱形性质可得AB=BC=CD=AD，BO=DO，再根据三角形中位线定理可得CD=2OE=6，再根据菱形周长即可求出答案.
13．【答案】2024
【解析】【解答】解：将x=-1代入方程可得：
a-b-1=0，即a-b=1
∴
故答案为：2024
【分析】将x=-1代入方程可得a-b=1，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
14．【答案】24
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，
∴AH=DH=BF=CF=8，AE=BE=DG=CG=3．
在△AEH与△DGH中，
∵ ，
∴△AEH≌△DGH（SAS）．
同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，
∴S四边形EFGH=S正方形﹣4S△AEH=6×8﹣4× ×3×4=48﹣24=24．
故答案为：24．
【分析】先根据E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点得出AH=DH=BF=CF，AE=BE=DG=CG，故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，根据S四边形EFGH=S正方形﹣4S△AEH即可得出结论．本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键．
15．【答案】
【解析】【解答】解：如图
∵校门关闭时，每个菱形的钝角度数为120°，即∠BAD=120°
∴∠BAO=60°
∴∠ABO=90°-∠BAO=30°
∴
∴校门关闭时，伸缩门的宽度为
∵校门部分打开时，每个菱形原来120°的角缩小为60°，即∠B'A'D'=60°
∴△A'B'D'为等边三角形
∴B'D'=A'B'=25
∴校门打开时，伸缩门的宽度为25
∴校门打开了cm
故答案为：
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据等边三角形性质可得B'D'=A'B'=25，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】解：因式分解法：
(x-3)(x+1)=0
∴x-3=0或x+1=0
解得：x=3或x=-1
配方法：
移项可得：
配方可得：
即
两边同时开方可得：x-1=±2
∴x=3或x=-1
【解析】【分析】根据因式分解法及配方法解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图，EF即为所求
（2）解：四边形AECF为菱形，理由如下：
设EF交AC于点O
∵EF垂直平分AC
∴OA=OC，EF⊥AC
∵四边形ABCD为平行四边形
∴AF∥CE
∴∠OAF=∠OCE，∠OFA=∠OEC
∴△OAF≌△OCE
∴OE=OF
∴AC与EF互相垂直平分
∴四边形AECF为菱形
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可.
（2）设EF交AC于点O，根据垂直平分线性质可得OA=OC，EF⊥AC，再根据平行四边形性质可得AF∥CE，再根据全等三角形判定定理可得△OAF≌△OCE，则OE=OF，再根据菱形判定定理即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵方程kx2+（2k+1）x+2=0为一元二次方程，
∴k≠0．
∵△=（2k+1）2﹣4×2k=（2k﹣1）2≥0，
∴无论k取任何实数时（k≠0），方程总有实数根
（2）解：设方程kx2+（2k+1）x+2=0的两个根为x1、x2，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=5，即（﹣ ）2﹣ =5，
整理，得：k2=1，
解得：k=±1．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断求解即可；
（2）先求出 x1+x2=﹣ ，x1x2= ，再利用完全平方公式计算求解即可。
19．【答案】（1）65-x；130-2x；130-2x
（2）解：由题意可得：
15×2(65-x)=x(130-2x)+550
解得：x=10或x=70(舍去)
则130-2x=110元
∴每件乙产品可获得的利润为110元
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有(65-x)人，共生产甲产品2(65-x)=(130-2x)件
在乙每件120元获利的基础上，增加x人，利润减少2x元每件，则乙产品的每件利润为120-2(x-5)=130-2x
故答案为：65-x；130-2x；130-2x
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）8
（2）解：设P出发ts时，，则Q运动的时间为(t-2)s
∴AP=t，CQ=2(t-2)
∴PC=6-t
∴
解得：t=4
∴ 点Q移动4秒钟后
（3）解：设经过x秒后PQ=BQ，则PC=6-x，QC=2x，BQ=8-2x
由题意可得：
解得：或（舍去）
∴经过秒钟后
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：PA=2，CQ=4
∴PC=AC-AP=4
∴
故答案为：8
【分析】由题意可得：PA=2，CQ=4，根据边之间的关系可得PC，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）设P出发ts时，，则Q运动的时间为(t-2)s，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设经过x秒后PQ=BQ，则PC=6-x，QC=2x，BQ=8-2x，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
21．【答案】（1）解：设矩形的长为，则宽为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，
，不合题意，舍去；
当时，
，符合题意，
答：当矩形面积为时，长为，宽为；
（2）不能围成，理由如下：
设矩形的长为，则宽为，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程无解，
不能围成面积为的矩形．
【解析】【分析】（1）设矩形的长为，则宽为，根据矩形面积计算公式可得出方程，解方程求解，进一步得出长和宽；
（2）设矩形的长为，则宽为，根据矩形面积计算公式可得出方程，根据根的判别式可知该方程无实数解，进一步即可得出结论。
（1）解：设矩形的长为，则宽为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，
，不合题意，舍去；
当时，
，符合题意，
答：当矩形面积为时，长为，宽为；
（2）不能围成，理由如下：
设矩形的长为，则宽为，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程无解，
不能围成面积为的矩形．
22．【答案】（1）
（2）；倒数
（3）∵方程的两根是，
∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x1=-1，x2=2021
将，整理得
∴x-1=-1或x-1=2021
解得：x=0或x=2022
∴关于x的方程的两根为x=0或x=2022
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
一元二次方程的“友好方程”为
即为
故答案为：
（2）由（1）可知一元二次方程的“友好方程”为
解方程可得：，
观察可得：
∴猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为互为倒数
故答案为：；倒数
【分析】（1）根据“友好方程”的定义即可求出答案.
（2）求出该方程的“友好方程”，再解方程可得x4，再根据根之间的关系可得“友好方程”的根互为倒数.
（3）根据题意可得该方程的“友好方程”的根，化简二次方程，根据整体思想再解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：FG=CE，FG∥CE，理由如下：
过点G作GH⊥CB的延长线于点H，则GH∥BF，∠GHE=90°
∵EG⊥DE
∴∠GEH+∠DEC=90°
∵∠GEH+∠HGE=90°
∴∠DEC=∠HGE
在△HGE和△CED中
∴△HGE≌△CED(AAS)
∴GH=CE，HE=CD
∵CE=BF
∴GH=BF
∵GH∥BF
∴四边形GHBF是矩形
∴GF=BH，FG∥CH
∴FG∥CE
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=BC
∴HE=BC
∴HE+EB=BC+EB
∴BH=EC
∴FG=EC
（2）证明：FG=CE，FG∥CE仍成立，理由如下
过点G作GH⊥CB的延长线于点H，
∵EG⊥DE
∴∠GEH+∠DEC=90°
∵∠GEH+∠HGE=90°
∴∠DEC=∠HGE
在△HGE和△CED中
∴△HGE≌△CED(AAS)
∴GH=CE，HE=CD
∵CE=BF
∴GH=BF
∵GH∥BF
∴四边形GHBF是矩形
∴GF=BH，FG∥CH
∴FG∥CE
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=BC
∴HE=BC
∴HE+EB=BC+EB
∴BH=EC
∴FG=EC
（3）（1）中结论仍然成立
【解析】【解答】解：（3）（1）中结论仍然成立，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°
在△CBF和△DCE中
∴△CBF≌△DCE(SAS)
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE
∵EG=DE
∴CF=EG
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG
∴∠BCF=∠CEG
∴CF∥EG
∴四边形CEGF为平行四边形
∴FG=CE，FG∥CE
【分析】（1）过点G作GH⊥CB的延长线于点H，则GH∥BF，∠GHE=90°，根据角之间的关系可得∠DEC=∠HGE，再根据全等三角形判定定理可得△HGE≌△CED(AAS)，则GH=CE，HE=CD，再根据矩形判定定理可得四边形GHBF是矩形，则GF=BH，FG∥CH，即FG∥CE，再根据正方形性质可得CD=BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H，根据角之间的关系可得∠DEC=∠HGE，再根据全等三角形判定定理可得△HGE≌△CED(AAS)，则GH=CE，HE=CD，再根据矩形判定定理可得四边形GHBF是矩形，则GF=BH，FG∥CH，即FG∥CE，再根据正方形性质可得CD=BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据正方形性质可得BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，再根据全等三角形判定定理可得△CBF≌△DCE(SAS)，则∠BCF=∠CDE，CF=DE，再根据边之间的关系可得CF=EG，再根据角之间的关系可得∠BCF=∠CEG，根据直线平行判定定理可得CF∥EG，再根据平行四边形判定定理可得四边形CEGF为平行四边形，则FG=CE，FG∥CE，即可求出答案.x
1.1
1.2
1.3
1.4
-0.59
0.84
2.29
3.76
产品种类
每天工人数（人）
每天产量（件）
每件产品可获利润（元）
甲


15
乙
x
x