四川省内江市第一中学2025-2026学年高一上学期开学测试数学试卷（Word版附解析）

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1. 下列各对数是互为倒数的是（ ）
A. 1 和 B. 和
C. 和 D. 0 和 0
2. “白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示
我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所
写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢荫，某孢子体的苞荫直径约为 ，将数据 用科
学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
4. 如图，由若干个小正方体组成的一个几何体，从它的正面看得到的平面图形是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
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C. D.
6. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 ，垂足为 M，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B.
C. ≌ D.
7. 函数 中自变量 x 的值可以是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则 x 的值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 或 12 D. 7 或 9
9. 观察如图所示的程序，若输入 x 为 2，则输出的结果为（ ）
A. 0 B. 3 C. 4 D. 5
10. 二次函数 图象如图，下列结论：① ；② ；③当 时，
；④ .其中正确的有（ ）
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A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
11. 如图，在平面直角坐标系中， 的直角顶点 A 在 x 轴的正半轴上.顶点 B 的坐标为 ，点 C
的坐标为 ，且 ，点 P 为斜边 OB 上的一个动点，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在平面直角坐标系中，点 是平行四边形 内一点， 轴，且 ， 轴，
连接 并延长 与 交于点 ， ， 的面积为 .若反比例函数 的
图象经过点 和点 ，则 的值为（ ）
A. 3 B. 6 C. 12 D. 15
二.填空题（每小题 5 分，满分 20 分）
13. 因式分解： _____________ .
14. 如图，边长为 10 的菱形 ABCD，对角线 ，分别以点 A，B，C，D 为圆心，5 为半径画弧，与
该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ______ .（结果保留 ）
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15. 关于 x 的分式方程 的解满足不等式 ，则 a 的取值范围是
______________ .
16. 如果一个等腰三角形的顶角为 ，那么其底边与腰之比等于 .我们把这样的等腰三角形称作黄金
三角形.如图，在 中， ， ， 看作第一个黄金三角形；作 的平
分线 ，交 于点 ， 看作第二个黄金三角形；作 的平分线 ，交 于点 ，
看作第三个黄金三角形；…以此类推，第 n 个黄金三角形的腰长是 ________ .
三.解答题
17. 计算： .
18. 如图，已知 E、F 分别是平行四边形 的边 BC、AD 上的点，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，且 ，直接判断四边形 的形状是 .
19. 希望中学做了如下表的调查报告（不完整）：
调查目
了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 的
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调查方
随机问卷调查 式
调查对 随机问卷调查部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在 1～3.5h 范
象 围内）
（1）你的周家务劳动时间（单位：h）是
调查内 ①1～1.5②1.5～2③2～2.5④2.5～3⑤3～3.5
容 （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门）
A.家政 B.烹饪 C.剪纸 D.园艺 E.陶艺
调查结
果
结合调查信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生人数 名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为
度；
（2）补全周家务劳动时间的频数分布直方图；
（3）若该校七年级学生共有 800 人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数；
（4）小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，
求两人恰好选到同一门课程的概率.
20. 茗阳阁被誉为“中原第一大阁楼”，融合了雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多样的中国古建筑元素，展
现了浓郁的地方古建筑特色，是信阳市的文化与形象象征.某数学课外活动小组开展了“测量茗阳阁的高度”
的课题活动，具体方案及数据如表：
课题 测量茗阳阁的高度
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活动小组在距坡底 C 处 的
E 处测得茗阳阁顶 A 的仰角为 ，
测量
在坡底 C 处测得茗阳阁顶 A 的仰
方案
角为 .B，C，F 三点在同一直线
上.
测量项目 第一次 第二次 平均值
仰角 的度
测量
数
数据
仰角 的度
数
参考
CE 的坡度 ， ， ， . 数据
求茗阳阁 高度 AB.（结果精确到整数）
21. 荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便.某水果店将进价为 18 元/千克的荔枝，以 28 元/千克售出时，每
天能售出 40 千克.市场调研表明：当售价每降低 1 元/千克时，平均每天能多售出 10 千克，设降价 x 元.
（1）设销售利润为 y，请写出 y 关于 x 的函数关系式；
（2）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到 480 元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少
元/千克？
四.填空题（满分 24 分，每小题 6 分）
22. 关于 x 的方程 的一个根为 ，则该方程的另一个根是 _____ .
23. 如图，平行四边形 ABCD 中， ，动点 P 从点 A 出发沿折线
运动，到达点 C 停止运动.在运动过程中，过点 P 作 于点 H，设点 P 的运动路程为 ，
记为 的图象与 的图象有 1 个公共点时 m 的取值范围______ .
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24. 如图，在 中， ，角平分线 ， 交于点 M.现给出以下结论：① ；
② ；③ ；④点 M 关于 AC 对称点一定在 的外接圆上.其中正确的是
________ .（写出所有正确结论的序号）
25. 如图，在▱ABCD 中， ，点 E 为 BC 边上一点， ，点 F 是 AB 边上
的动点，将 沿直线 EF 折叠得到 ，若点 恰好落在线段 DE 上，则 AF 的值为______ .
五.解答题（满分 36 分，每小题 12 分）
26. 小明探究下列问题：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖.若该商场采用下两种不同方
式混合：方式 1：将质量相等的甲、乙糖果进行混合；方式 2：将总价相等的甲、乙糖果进行混合.哪种混合
方式的什锦糖的单价更低？
（1）小明设甲、乙糖果 单价分别为 a、b，用含 a、b 的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价请
你写出他的解答过程；
（2）为解决问题，小明查阅了资料，发现以下正确结论：结论 1：若 ，则 ；若
，则 ；若 ，则 ；结论 2：反比例函数 的图象上的点的横坐标与纵坐标互为倒数；
结论 3：若 P 的坐标为 ，Q 的坐标为 ，则线段 PQ 的中点坐标为 ，.小
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明利用上述结论顺利解决此问题，请你按照他的思路写出解答过程：
①利用结论 1 求解；
②利用结论 2、结论 3 求解.
27. 欧几里德，古希腊著名数学家.被称为“几何之父”.他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总
结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书.他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知
点作直线切于已知圆”.如图 1，设点 P 是已知点，圆 O 是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作
图：①连接 ，作线段 的中点 A；②以 A 为圆心，以 为半径作圆 A，与圆 O 交于两点 Q 和 R；
③连接 、 ，则 、 是圆 O 的切线.
（1）按照上述作图步骤在图 1 中补全图形（保留作图痕迹，痕迹要清晰）；
（2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“PQ、PR 是圆 O 的切线”的过程；
（3）如图 2，连接 并延长交圆 O 于点 B，连接 BR，已知 ，圆 O 半径 ，求 .
28. 如图，已知直线 与抛物线 相交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，
点 在抛物线上.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）正方形 OPDE 的顶点 O 为直角坐标系原点，顶点 P 在线段 OC 上，顶点 E 在 y 轴正半轴上，若
与 全等，求点 P 的坐标；
（3）在条件（2）下，点 Q 是线段 CD 上的动点（点 Q 不与点 D 重合），将 沿 PQ 所在的直线翻折
得到 ，连接 ，求线段 长度的最小值.
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