安徽省淮南市2024_2025学年高二数学上学期期中测试试题含解析

这是一份安徽省淮南市2024_2025学年高二数学上学期期中测试试题含解析，共22页。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答
题纸上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案
写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
1. 抛物线 的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标.
【详解】抛物线的标准方程为： ，故其焦点坐标为 ，
故选：D.
2. 已知空间向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则实数 m 值为（
）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据共面向量定理结合题意设 ，然后将向量的坐标代入列方程可求得结果.
【详解】由题意得， ，即 ，
第 1页/共 22页
所以 ，解得 .
故选：D.
3. 已知椭圆 的一个短轴端点与两个焦点构成的三角形的内切圆半径为 ，则椭圆的
离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的性质确定焦点三角形的周长和面积，再应用等面积法得到齐次式，即可求离心率.
【详解】由题设，焦点三角形的周长为 ，面积为 ，又其内切圆半径为 ，
所以 .
故选：A
4. 在空间直角坐标系中，已知 ，则 是 与 夹角为锐角的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出 与 的夹角为锐角的 的取值范围，与 进行比较，根据充分必要条件的判定得解.
【详解】 与 的夹角为锐角，则要满足 ，
即 且不等于 1，
解得： 且 ，
第 2页/共 22页
因为 是 的真子集，
所以 是“ 与 的夹角为锐角”的必要不充分条件.
故选：B
5. 已知圆 经过点 ，则圆在点 P 处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求 的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心 与点 连线的斜率 ，最后求圆在点 处的切线
方程.
【详解】因为圆 经过点 ，
将点 代入圆的方程可得： .即 ，所以 ，
则圆的方程为 .
对于圆 ，其圆心坐标为 ，所以此圆的圆心 .：
根据斜率公式 ，这里 ， ，则 .
因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为 和 ，则 .
已知 ，所以切线的斜率 .
又因为切线过点 ，根据点斜式方程 （这里 ），
可得切线方程为 .整理得 .
故选：A.
6. 已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，若
，则线段 中点的横坐标为（ ）
第 3页/共 22页
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】设 联立抛物线并应用韦达定理、面积公式列方程得 ，进而求线段 中点的横
坐标.
【详解】由题设 ，令 ，联立抛物线得 ，显然 ，
所以 ， ，则 ，
所以 ，可得 ，
又 ，故线段 中点的横坐标为 4.
故选：B
7. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学
成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点 A，B，设点 P 在同一平面上，且满足
，当 且 时，点 P 的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在 中，
，且 ，当 面积取得最大值时， （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ，根据 得到轨迹方程，并得到 ，表达出 ，当
时， 面积最大，求出 ， ，由余弦定理得到答案.
【详解】由题意设 ， ， ，
第 4页/共 22页
由 得： ，
化简得 ，故 ，
∵ ，∴当 时， 面积最大，
此时不妨设 ，则 ， .
∴ .
故选：D.
8. 如图，在棱长为 1 的正方体 中， ， 分别是线段 ， 上的点， 是直线
上的点，满足 平面 ， ，且 、 不是正方体的顶点，则 的最小值是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意建立空间直角坐标系，设 ， ，即可表示 的坐标，再连结 ，
可证 平面 ，即可得到 则 即可得到 ，设 ，则
，即可得到 ，即可表示 的坐标，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质
计算可得；
第 5页/共 22页
【详解】解：如图，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，1， ， ，0， ， ，1， ，
设 ， ， ， ，
则 ， ， ，
，
连结 ， 正方体 中， 是正方形， 平面 ，
， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
又 ，1， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
， ，即 ，
， ， ， ，
，
当 时， 的最小值是 ．
第 6页/共 22页
故选： ．
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 关于空间向量，下列说法正确 是（ ）
A. 若 共线，则
B. 已知 ， ，若 ，则
C. 若对空间中任意一点 ，有 ，则 四点共面
D. 若向量 能构成空间的一个基底，则 也能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据共线向量定义、向量垂直 坐标表示、空间向量共面定理、空间基底的定义依次判断各个选
项即可.
【详解】对于 A，当 同向时， ；当 反向时， ；A 错误；
对于 B， ， ，解得： ，B 正确；
对于 C， ， ， 四点共面，C 正确；
对于 D，假设存在实数 ，使得 ，
， ，方程组无解，
， ， 不共面，可以构成空间的一组基底，D 正确.
故选：BCD.
10. 如图，在四棱锥 ， 平面 ，底面 是平行四边形， 与 交于点 ，
则（ ）
第 7页/共 22页
A.
B.
C. 点 到 的距离为
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由向量加法的几何意义判断 A；利用向量加减的几何意义及数量积运算律化简判断 B；利用向量法
求点线距离判断 C；由向量夹角的定义及数量积运算律判断 D.
【详解】A：由题意有 ，所以 ，对；
B： ，
由 平面 ， 平面 ，则 ， ，
所以 ，对；
C：由 ，则 ，
所以点 到 的距离为 ，错；
D：由 ，
由 ，则 ，对.
第 8页/共 22页
故选：ABD
11. 已知椭圆 左右焦点分别为 ，点 是椭圆上任意一点， ，则
下列结论正确的是（ ）
A. 的内切圆半径的最大值为
B.
C.
D. 的内心在一定圆上
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据椭圆的定义、焦点三角形的性质、三角函数的和差公式等知识，运用椭圆的性质求出焦点三
角形的一些关系，再利用三角函数知识对每个选项进行分析判断.
【详解】椭圆 ， ， ，则 ， ， .
分析选项 A，设 ， ， .根据椭圆的定义 .
设 的内切圆半径为 ，根据三角形面积 （ 为 点纵坐标）.
，因为 在椭圆上， ，所以 ，故选项 A 正确.
分析选项 B，在 中，根据正弦定理 .
，故选项 B 正确.
分析选项 C，设离心率为 ，则 ，
由正弦定理可得 ，
第 9页/共 22页
即 ，
又 ，而 ，即 ，
因为 ，
，
所以 ，即 ，
化简得 ，即 ，
所以 ，故选项 C 正确.
分析选项 D，令 ，则 ．
的面积： ，
其中 为内切圆的半径，解得 .
另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：
从而有 ．消去 得到点 轨迹方程为： .
本题中： ，代入上式可得轨迹方程为： .
所以 的轨迹是以 为长轴的椭圆去掉点 ，选项 D 错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
第 10页/共 22页
12. 设 ，向量 ，且 ，则 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出 ，再由向量的坐标运算及模的坐标表示求解．
【详解】因为 ，所以 ，解得 ，则 ．
因为 ，所以 ，解得 ，则 ．
．
故答案为: .
13. 已知实数 x，y 满足 ，则 的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆 上点 与点 连接的直线的斜
率.，数形结合分析即可.
【详解】因为 ，
所以 ，其表示为圆 的上半部分.
设半圆上一动点 ，
表示的几何意义为点 与点 连接的直线的斜率，
当直线 和半圆相切时，直线 的斜率取最大值，
设直线 的方程为 ，即 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
则直线 的斜率的最大值为 ；
第 11页/共 22页
当点 为 时，则直线 的斜率取最小值，为 ，
综上， 的取值范围为 .
故答案为： .
14. 已知曲线 与圆 交于 ， ， ， 四个点，且四边形 的面
积为 4，则圆 的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据 ，结合圆的对称性画示意图，设 且 ，利用 、
分别关于原点对称，且四边形 为矩形，列方程求参数，最后由 及圆的面积公式求
面积.
【详解】由 ，即为过一、三象限的双曲线，如下图示，
根据对称性， 、 分别关于原点对称，且四边形 为矩形，
第 12页/共 22页
不妨令 且 ，则 ，
则 ，故 ，
所以 ，又 ，
所以 ，即 ，所以 ，
若 （负值舍），此时 ，则 ，圆的面积为
；
若 （负值舍），此时 ，则 ，圆的面积为
；
综上，圆 的面积为 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆 经过点 和 ，且圆心在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）过点 作圆 的切线，切点分别为 点，求四边形 的面积．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）由题设知圆心是线段 的垂直平分线圆心与直线 的交点，确定圆心坐标，进而半
径，写出圆 C 的方程；
（2）利用两点距离公式、切线的性质可得 ，再应用三角形面积公式求 的面积，进而得到四边
形 的面积．
【小问 1 详解】
的中点坐标为 ，所以圆心在直线 上，
第 13页/共 22页
又知圆心在直线 上，所以圆心坐标是 ，圆的半径是 ，
所以圆 的方程是 ．
【小问 2 详解】
四边形 的面积
.
16. 如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面 ， 分别为 ，
的中点， ， .
（1）求证：异面直线 和 垂直；
（2）求点 到平面 的距离
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建系，由方向向量的垂直即可求解；
（2）建系，通过点到面距离的向量法即可求解.
【小问 1 详解】
以 为坐标原点， ， ， 分别为 x，y， 轴建立空间直角坐标系，
第 14页/共 22页
则 ， ， ， ， ， ， ， ，
， .
易得 ， ，
所以 ，
所以异面直线 和 垂直.
【小问 2 详解】
易得 ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，则 .
因为 ，所以点 到平面 的距离为 .
17. 已知椭圆 的离心率为 ，且短轴长为 ．
（1）求 的方程；
（2）若直线 与 交于 两点，且弦 的中点为 ，求 的一般式方程．
第 15页/共 22页
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆离心率和 的关系求解即可；
（2）设 ， ，利用点差法求解即可.
【小问 1 详解】
由题意可得椭圆 中 ，
又因为 ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
设 ， ，则 ，
两式相减，得 ，
又根据题意 带入可得 ，
所以 的斜率 ，
故 的方程为 ，即 ．
第 16页/共 22页
18. 如图，多面体 中，四边形 为等腰梯形，四边形 为矩形， 为 上一点，且
， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若二面角 为直二面角，当三棱锥 的体积最大时，求：
①多面体 的体积；
②平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可；
（2）①根据组合体的体积将多面体分为三棱锥和三棱柱求解；
②建立空间直角坐标系，用法向量求解二面角的余弦值.
【小问 1 详解】
第 17页/共 22页
取 中点为 ，连接 ，
因为 ， ．
所以 ， ，
又因为四边形 为等腰梯形，
所以 ，
又因为 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 ，
所以三角形 为等腰三角形，
又因为 ， ， 为 中点，
所以 ，
又因为四边形 为等腰梯形，
所以 ，
所以
又因为四边形 为矩形，
所以 ，
又因为 ， 面 ，
所以 面 ，
又因为 面 ，
所以平面 平面
【小问 2 详解】
第 18页/共 22页
①
过点 作 与 交于点 ，连接 ，
由（1）知， 面 ， 面 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
又因为四边形 为矩形，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
因为二面角 为直二面角，
所以 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以三棱锥 的体积最大时， ，
所以多面体 的体积
.
②取 中点为 ，过 作 的平行线为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
所以 ，
则 ， ， ，
设面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
则 ，
设面 的法向量为 ，
第 19页/共 22页
则 ，令 ，则 ，
则 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为
，
所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
19. 如图，过椭圆的左､右焦点 分别作长轴的垂线 交椭圆于 ，将 两侧的椭圆弧删
除再分别以 为圆心， 线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在
之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”， 两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”．已知左右两个帽檐
段所在的圆方程分别为 ．
（1）求“帽体段”的方程；
（2）过 的直线 交“帽体段”于点 ，交“帽檐段”于点 ，点 在 轴的上方．设 与
的面积分别为 ：
①求 的最大值；
②求使得 取得最小值时的弦长 ．
【答案】（1）
（2）① ；②
第 20页/共 22页
【解析】
【分析】（1）由圆的方程求得 坐标，由此求得椭圆的 得椭圆方程；
（2）①设 ，由余弦定理求得 ，结合 可求得 范围，然后可计算
，结合基本不等式得最大值；
②在①基础上计算 ，令 ，平方化简并以 为整体可求得 最小值，从而得
弦长 ．
【小问 1 详解】
由帽檐段所在的圆的方程可得 ，
即 ，
所以“帽体段”的方程为 ；
【小问 2 详解】
①在 中，设 ，则 ，
若设 ，且
，
，
，
所以
，
第 21页/共 22页
因为 ，当且仅当 时，“ ”成立，
所以 ，
即 ；
②由①可得：
，令 ，
则
令 ，则
由 ,
所以 ，
当 时， 最小，
此时 .
第 22页/共 22页