安徽省滁州市2024_2025学年高二数学下学期期末考试含解析

这是一份安徽省滁州市2024_2025学年高二数学下学期期末考试含解析，共17页。
1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，务必擦净后再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为，,
所以.
故选：C.
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【详解】
在复平面内对应点为，在第二象限.
故选：B.
3. 圆上的点到直线距离的最小值是（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径.
直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为：
.
因为，那么圆与直线相离.
因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即：
故选:A
4. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意得将向右平移个单位后
得，且关于轴对称，
所以，，得，，
又因为，所以当时，有最小值.
故选：A.
5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角；
当时，直线的斜率为，
因为，
所以，即，
又因为，
所以结合正切函数的图象可得：.
综上可得：直线的倾斜角的取值范围是.
故选：C.
6. 设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【详解】，
，
又椭圆，
则，
.
故选：D.
7. 已知空间三点，则的面积为（ ）
A. B. C. 7D.
【答案】B
【详解】由空间三点可得：
；
；
，
所以是等边三角形，
所以的面积为.
故选：B.
8. 为正实数，且，当取最小值时，的展开式中各项系数的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由可得：.
因为为正实数，
所以由基本不等式可得：
，
当且仅当，即时等号成立.
所以当取最小值时，.
令，得，
所以当取最小值时，的展开式中各项系数的和为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若某中学的女生体重（单位：kg）与身高（单位：cm）具有线性相关关系．根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是（ ）
A. 与具有负线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心
C. 若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg
D. 若该中学某女生身高为160cm，则可断定其体重必为44.29kg
【答案】BC
【详解】因为回归直线方程为，所以与具有正线性相关关系，故A错误；
又回归直线必过样本点的中心，故B正确；
因回归直线方程中，所以若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg，故C正确；
当时，，所以若该中学某女生身高为160cm，则其体重约为44.29kg，故D错误.
故选：BC.
10. 数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【详解】，，，
又，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列.，
即，，
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：所以，故B正确；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：显然为奇数时，为奇数，为偶数时，为偶数，
因此要满足两项之和为奇数，则取奇偶各一个，
所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 如图，三棱锥平面，，为的中点，点为三棱锥外接球球心，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，二面角大小为
C. 当异面直线与所成角为时，
D. 当点到平面的距离为时，
【答案】ACD
【详解】
对于A，连接，平面，平面，
，即，
又，所以，
则，为的中点，所以，故A正确；
对于B，设中点为，连接，
平面，平面，
，又，，，
又为中点，所以，
又，所以，，
平面平面，就是二面角的平面角，
，即二面角的为，故B错误；
对于C，设中点为，连接，，
设时，，
中，，，
，
，
解得，即，故C正确；
对于D，设的外心为，过作平面的垂线，球心在垂线上，
又平面，所以，
又，所以在的垂直平分线上，则，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. ______．
【答案】
【详解】由指数幂与对数的运算法则，可得.
故答案为：.
13. 某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动．已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有______种．（用数字作答）
【答案】
【详解】根据题意，先将三名女生全排列，有种不同的排法，
从三名女生的4个空隙中，选择2个插入男生，有种不同的排法，
由分步计数原理得，共有种不同的排法.
故答案为：.
14. 不等式对任意恒成立，则实数的最小值为______．
【答案】##0.5
【详解】由，得
由题意知，不等式对任意恒成立.
令，则，所以是单调增函数.
设是过点与相切的直线，设切点为，
则切线斜率，
由题意，得，恒成立.
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以.
所以.即实数的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若，则的面积为，求的周长．
【答案】（1）
（2）6
【小问1详解】
由正弦定理得，
其中，
故，
因为，所以，故，
即，所以，
因为，所以，
故，解得；
【小问2详解】
由三角形面积公式得，
故，
由余弦定理得，
解得，
故，解得，
故，周长为6.
16. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的最小值为2，求实数的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）或
【小问1详解】
由题意得的定义为，且，
当时，恒成立，此时在上单调递减；
当时，令，则或，
当时，则，当时，，此时在上单调递减；
当时，当时，，当时，，
此时在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，上单调递增，在上单调递减；
【小问2详解】
由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以，
当时，即时，取得极小值也是最小值，
所以，解得或，
故函数的最小值为，实数的值为或.
17. 某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为，投不中的概率为．为提高该生训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分．某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．
（1）若投篮2次，最终得分为，求随机变量分布列和期望；
（2）设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式．
【答案】（1）分布列见详解；
（2）证明见详解；
【小问1详解】
由题意可知：最终得分为的可能取值为2，3，4，
则，，，
可得随机变量的分布列为
期望为.
【小问2详解】
由题意可知：，，且，
因为，且，
可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
所以，
当时，则，，，，
相加可得，
则，
且时，符合上式，所以.
18. 如图，在四棱锥中，底面，，是线段上的动点．

（1）证明：；
（2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）设直线与平面所成角为，求的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【小问1详解】
因为底面平面，所以
又平面,
所以平面.
又因为平面，所以.
【小问2详解】
因为底面平面，所以，
如图，以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，
∵，
∴，，，.
所以，，，，，
∵是线段的中点，∴，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
即，取，则，，
所以为平面的一个法向量.
设平面的法向量为,
，即，取，则，，
所以为平面的一个法向量.
所以.
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【小问3详解】
由（2）知，,，
所以,，，，
若点与重合，则平面即为平面，则为平面的一个法向量.
则，
若点与重合，则平面即为平面,则为平面的一个法向量.
则
若点与点均不重合，
由与共线，设，且.
则.
设平面的法向量为，则，
即，
取，则，
所以，（）是平面的一个法向量.
因为
所以
.
令，则，.
，
因为，所以.
综上，.
19. 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为．点在线段上，且满足．当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的标准方程．
（2）过点的直线交曲线于两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【小问1详解】
解：设点是所求曲线上的一点，且，
由轴于，则，因为，可得，
因为点是圆上任意一点，则，即，
即曲线的标准方程为.
【小问2详解】
解：（i）当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为，且，
联立方程组，整理得，
可得，则，
所以点的坐标为，
因为直线与直线垂直，所以直线的方程为，
设，
联立方程组，整理得，
可得，则，
所以点的坐标为，
则直线的斜率为 ，
所以直线的方程为，
即，
令，解得，所以直线过定点；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，则，
直线的方程为，可得，则，直线过定点，
综上可得，直线过定点.
（ii）由（i）知，直线过定点，且，
可得，则
，
令，则，则，
令在上为单调递增函数，当时，，
即时，面积取得最大值，最大值为.
2
3
4