2024-2025学年安徽省滁州市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省滁州市高二（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合A={x|2≤x12
11.如图，三棱锥P−ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=2,∠BAC=2π3，D为PC的中点，点O为三棱锥P−ABC外接球球心，则( )
A. 当PA=2 2时，BD⊥PC
B. 当PA= 3时，二面角P−BC−A大小为π6
C. 当异面直线BD与AC所成角为π3时，PA=6
D. 当点O到平面PBC的距离为 2时，PA=2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.lg4+2lg5+(2 2)23=______．
13.某校的5名团员利用周日到市养老院参加义务劳动.已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束后5名团员站成一排拍照留念，若两名男生之间有女生，则排法总数有______种.(用数字作答)
14.不等式ex−ax(ex+1)−1≤0对任意x∈[0,1]恒成立，则实数a的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsC+ 3asinC−b−c=0．
(1)求A；
(2)若a=2，则△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax+1x+(a−1)lnx(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)的最小值为2，求实数a的值．
17.(本小题15分)
某同学在做投篮训练，已知该生每次投中的概率为23，投不中的概率为13.为提高该生训练的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.某同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分．
(1)若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望；
(2)设最终得分为n的概率为Pn，证明：数列{Pn+1−Pn}为等比数列，并求数列{Pn}的通项公式．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠ACD=∠BAD=90°，∠ABC=60°，PA=AB=BC=2 3,E是线段PC上的动点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)若E是线段PC的中点，求平面ABE与平面PBC夹角的余弦值；
(3)设直线PD与平面ABE所成角为θ，求sinθ的取值范围．
19.(本小题17分)
在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，垂足为D.点Q在线段PD上，且满足DQ= 32DP.当点P在圆上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的标准方程．
(2)过点F(1,0)的直线l交曲线C于A，B两点，过点F与l垂直的直线交曲线C于D，E两点，其中A，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．
(ⅰ)证明：直线MN过定点；
(ⅱ)求△FMN面积的最大值．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：因为A={x|2≤x0，所以y与x具有正线性相关关系，故A错误；
对于B，由回归直线的性质可知，回归直线必过样本点的中心(x−,y−)，故B正确；
对于C，因为回归直线方程y =0.75x−75.71中a =0.75，
所以若该中学某女生身高增加1cm，则其体重可能增加0.75kg，故C正确；
对于D，当x=160时，y =0.75×160−75.71=44.29，
所以若该中学某女生身高为160cm，则其体重约为44.29kg，故D错误．
故选：BC．
根据回归直线方程一一判断即可．
本题主要考查了回归直线的性质，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：an+an+1=(−1)n+1，
an(−1)n+1+an+1(−1)n+1=1，
即an+1(−1)n+1−an(−1)n=1，
所以数列{an(−1)n}是首项为a1−1=3，公差为1的等差数列，
即an(−1)n=n+2，
即有an=(−1)n(n+2)，
a4=(−1)4×(4+2)=6，故A正确；
a11+a15=(−1)11(11+2)+(−1)15(15+2)=−30；a13=(−1)13(13+2)=−15，所以a11+a15=2a13，故B正确；
S12=a1+a2+a3+...+a11+a12=(a1+a2)+(a3+a4)+⋯+(a11+a12)=1+1+1+1+1+1=6，故C错误；
显然n为奇数时，an为奇数，n为偶数时，an为偶数，
因此要满足两项之和为奇数，则取奇偶各一个，
所以P2n=Cn1⋅Cn1C2n2=n2n−1=12+12⋅12n−1>12，故D正确．
故选：ABD．
根据数列的递推关系，通过构造，求出数列通项公式，即可判断A，B；理解数列的前n项积的概念，并通过运算即可判断C；根据组合数以及概率的计算公式，即可判断D．
本题考查等差数列的定义和性质、古典概率的求法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，连接AD，∵PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，即PB= PA2+AB2=2 3，
又AB=AC=2,∠BAC=2π3，
∴BC= AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC= 22+22−2×2×2×cs2π3=2 3，
则BC=BP，D为PC的中点，∴BD⊥PC，故A正确；
对于B，设BC中点为E，连接AE，PE，
∵PA⊥平面ABC，AB，AC，AE⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AE，又PA= 3，AB=AC=2，
∴PB=PC= 7，
又E为BC中点，∴PE⊥BC，
又AB=AC=2,∠BAC=2π3，
∴AE⊥BC，AE= AB2−BE2=1，
∵平面PBC∩平面ABC=BC，
∴∠PEA就是二面角P−BC−A的平面角，
tan∠PEA=PAAE= 3，∴∠PEA=π3，
即二面角P−BC−A的为π3，故B错误；
对于C，设PA中点为F，连接DF，BF，DF=1，
设PA=2x时，BF= AB2+AF2= 4+x2，
△PBC中，PB=PC=2 x2+1，
cs∠PCB=PC2+BC2−PB22⋅PC⋅BC=4(x2+1)+12−4(x2+1)2×2 x2+1×2 3= 3(x2+1)2(x2+1)，
BD= CB2+CD2−2CB⋅CDcs∠PCB= 7+x2，
cs∠BDF=BD2+DF2−BF22BD⋅DF=7+x2+1−(4+x2)2 7+x2=12，
解得x=3，即PA=6，故C正确；
对于D，设△ABC的外心为O1，过O1作平面ABC的垂线，球心O在垂线上，
又PA⊥平面ABC，∴OO1//PA，
又OP=OA，∴O在PA的垂直平分线上，则PA=2OO1=2 2，故D正确．
故选：ACD．
对于A，通过计算BC=BP，即可证BD⊥PC；
对于B，根据题意可得∠PEA就是二面角P−BC−A的平面角，计算tan∠PEA即可得到二面角P−BC−A；
对于C，设PA=2x，作出异面直线夹角，再利用余弦定理结合条件列方程可得；
对于D，根据锥体外接球球心的作法，可作球心O，且PA=2OO1即可判断．
本题考查立体几何综合问题，属于难题．
12.【答案】4
【解析】解：由指数幂与对数的运算法则，可得原式=(lg4+lg25)+(232)23=lg100+2=2+2=4．
故答案为：4．
根据题意，利用指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解．
本题考查了对数和指数的运算性质，是基础题．
13.【答案】72
【解析】解：已知5名团员中有3位女生，2位男生，活动结束后5名团员站成一排拍照留念，且两名男生之间有女生，
根据题意，先将三名女生全排列，有A33=6种不同的排法，
从三名女生的4个空隙中，选择2个插入男生，有A42=12种不同的排法，
由分步计数原理得，共有6×12=72种不同的排法．
故答案为：72．
根据题意，先将三名女生全排列，再三名女生的4个空隙中，选择2个插入男生，结合分步计数原理，即可求解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
14.【答案】12
【解析】解：由ex−ax(ex+1)−1≤0，得ax≥ex−1ex+1，
由题意知，不等式ax≥ex−1ex+1对任意x∈[0,1]恒成立，
令f(x)=ex−1ex+1，
所以f′(x)=ex(ex+1)−ex(ex−1)(ex+1)2=2ex(ex+1)2>0，
所以f(x)在R上单调递增，
设l是过点(0,0)与f(x)=ex−1ex+1相切的直线，设切点为(t,f(t))，
则切线斜率kl=f′(t)=2et(et+1)2，
由题意，得a≥2et(et+1)2，t∈[0,1]恒成立，
因为g(t)=2et(et+1)2=2ete2t+2et+1=2et+1et+2≤22 et×1et+2=12，当且仅当et=1et，即t=0时等号成立，
所以g(t)max=12，
所以a≥12，
所以实数a的最小值为12．
故答案为：12．
不等式变形为ax≥ex−1ex+1，求得过原点且与f(x)=ex−1ex+1相切的直线l的斜率kl=2et(et+1)2，由题意得a≥[2et(et+1)2]max，t∈[0,1]，利用不等式求得g(t)=2et(et+1)2的最大值即得．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)由正弦定理得sinAcsC+ 3sinAsinC−sinB−sinC=0，
其中sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
故 3sinAsinC−csAsinC−sinC=0，
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，故 3sinA−csA=1，
即2sin(A−π6)=1，所以sin(A−π6)=12，
因为A∈(0,π)，所以A−π6∈(−π6,5π6)，
故A−π6=π6，解得A=π3；
(2)由三角形面积公式得12bcsinA=12bcsinπ3= 34bc= 3，
故bc=4，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=b2+c2−48=12，
解得b2+c2=8，
故(b+c)2=b2+c2+2bc=8+8=16，解得b+c=4，
故a+b+c=6，周长为6．
【解析】(1)由正弦定理，sinB=sinAcsC+csAsinC得到 3sinA−csA=1，再由辅助角公式求出答案；
(2)由三角形面积公式求出bc=4，由余弦定理得到b2+c2=8，从而得到b+c=4，得到周长．
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，方程思想，属中档题．
16.【答案】当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当a>0时，f(x)在(1a,+∞)上单调递增，在(0,1a)上单调递减；
1或e．
【解析】(1)由题意得f(x)的定义为(0,+∞)，且f′(x)=a−1x2+a−1x=(ax−1)(x+1)x2，
当a=0时，f′(x)=−(x+1)x20时函数f(x)有最小值，从而可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】分布列见详解；E(X)=103；
证明见详解；Pn=13+415[1−(−23)n−1]．
【解析】(1)最终得分为X的可能取值为2，3，4，
则P(X=2)=(13)2=19，P(X=3)=C21×13×23=49，P(X=4)=(23)2=49，
可得随机变量X的分布列为
E(X)=2×19+3×49+4×49=103．
(2)证明：P1=13，P2=23+13×13=79，且Pn+2=13Pn+1+23Pn，
因为P2−P1=49≠0，且Pn+2−Pn+1Pn+1−Pn=13Pn+1+23Pn−Pn+1Pn+1−Pn=−23，
可知数列{Pn+1−Pn}是以首项为49，公比为−23的等比数列，
所以Pn+1−Pn=49×(−23)n−1=(−23)n+1，
当n≥2时，则P2−P1=(−23)2，P3−P2=(−23)3，…，Pn−Pn−1=(−23)n，
相加可得Pn−P1=(−23)2+(−23)3+...+(−23)n=415[1−(−23)n−1]，
则Pn=13+415[1−(−23)n−1]，
且n=1时，P1=13符合上式，所以Pn=13+415[1−(−23)n−1]．
(1)由题意可知：最终得分为X的可能取值为2，3，4，结合二项分布求分布列和期望；
(2)根据独立事件概率乘法公式可得P1=13，P2=79，且Pn+2=13Pn+1+23Pn，根据等比数列的定义结合累加法求通项公式．
本题考查离散型随机变量的均值(数学期望)，属于中档题．
18.【答案】证明见解析； 17； sinθ∈[ 217,1]．
【解析】(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为AC⊥CD，AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，
所以CD⊥平面PAC．
又因为AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE．
(2)因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，
如图，以A为原点，AB,AD,AP为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，
因为∠ABC=60°，PA=AB=BC=2 3，∠BAD=90°，∠ACD=90°，
所以AC=2 3，∠CAD=30°，DC=2，AD=4，
所以A(0,0,0)，P(0,0,2 3)，B(2 3,0,0)，D(0,4,0)，C( 3,3,0)，
因为E是线段PC的中点，所以E( 32,32, 3)，
所以AE=( 32,32, 3)，BE=(−3 32,32, 3)，BC=(− 3,3,0)，PB=(2 3,0,−2 3)，
设平面ABE的法向量为m=(x1,y1,z1)，
则AE⊥mBE⊥m，则AE⋅m=0BE⋅m=0，即 32x1+32y1+ 3z1=0−3 32x1+32y1+ 3z1=0，
取y1=2，则x1=0，z1=− 3，
所以m=(0,2,− 3)为平面ABE的一个法向量．
设平面PBC的法向量为n=(x2,y2,z2)，
则PB⊥nBC⊥n，则PB⋅n=0BC⋅n=0，即2 3x2−2 3z2=0− 3x2+3y2=0，
取x2= 3，则y2=1，z2= 3，
所以n=( 3,1, 3)为平面PBC的一个法向量．
所以cs=m⋅n|m|⋅|n|=0× 3+2×1+(− 3)× 3 0+4+3× 3+1+3=−17．
所以平面ABE与平面PBC夹角的余弦值为17．
(3)由(2)知P(0,0,2 3)，C( 3,3,0)，D(0,4,0)，
所以PC=( 3,3,−2 3)，PD=(0,4,−2 3)，AP=(0,0,2 3)，AB=(2 3,0,0)，
若点E与P重合，则平面ABE即为平面ABP，
则AD=(0,4,0)为平面ABP的一个法向量．
则sinθ=|cs〈PD,AD〉|=|0×0+4×4+(−2 3)×0 28⋅ 16|=2 77，
若点E与C重合，则平面ABE即为平面ABCD，
则AP=(0,0,2 3)为平面ABE的一个法向量．
则sinθ=|cs〈PD,AP〉|=|0×0+4×0+(−2 3)×2 32 7⋅2 3|= 217，
若点E与点P、C均不重合，
由PE与PC共线，设PE=λPC=( 3λ,3λ,−2 3λ)，且0