安徽省马鞍山市2024-2025学年毕业升学考试模拟卷数学卷含解析

这是一份安徽省马鞍山市2024-2025学年毕业升学考试模拟卷数学卷含解析，共23页。试卷主要包含了运用图形变化的方法研究下列问题等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.若，AC=3，则CD的长为
A．6B．C．D．3
3．已知抛物线y=ax2﹣（2a+1）x+a﹣1与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，若x1＜1，x2＞2，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3B．0＜a＜3C．a＞﹣3D．﹣3＜a＜0
4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．B．2C．D．
5．如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为( )
A．6B．8
C．10D．12
6．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8.则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
7．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（ ）
A．（x﹣20）（50﹣）＝10890B．x（50﹣）﹣50×20＝10890
C．（180+x﹣20）（50﹣）＝10890D．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝10890
8．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，则此多边形的边数为 ( )
A．6B．7C．8D．9
9．已知am=2，an=3，则a3m+2n的值是（ ）
A．24B．36C．72D．6
10．下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
11．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美B．宜晶游C．爱我宜昌D．美我宜昌
12．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（ ）
A．27分钟B．20分钟C．13分钟D．7分钟
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和两个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是__________.
14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如下表：
则二次函数y=ax2+bx+c在x=2时，y=______．
15．三人中有两人性别相同的概率是_____________.
16．与是位似图形，且对应面积比为4：9，则与的位似比为______．
17．圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面积为_____．
18．如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图像上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的边长为 .

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某家电销售商场电冰箱的销售价为每台1600元，空调的销售价为每台1400元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多300元，商场用9000元购进电冰箱的数量与用7200元购进空调数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售利润为Y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于16200元，请分析合理的方案共有多少种？
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调K（0＜K＜150）元，若商场保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．
20．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．求证：△ADE≌△CBF；若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
21．（6分）已知，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，点H为CD上任意一点（不与C、D重合），过点H作CD的垂线，交BD于点E，连接AE．
（1）如图1，线段EH、CH、AE之间的数量关系是 ；
（2）如图2，将△DHE绕点D顺时针旋转，当点E、H、C在一条直线上时，求证：AE+EH=CH．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是6的正方形的两边，分别相交于,两点.若点是边的中点，求反比例函数的解析式和点的坐标；若，求直线的解析式及的面积
23．（8分）如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD=3m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=2m，点A到地面的距离AE=1.8m；当他从A处摆动到A′处时，有A'B⊥AB．
（1）求A′到BD的距离；
（2）求A′到地面的距离．
24．（10分）如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G．
（1）求证：AE＝BF；（2）若BE＝，AG＝2，求正方形的边长．
25．（10分）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图(1)），则sinB=，sinC=，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即，同理有：，，所以．
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．
根据上述材料，完成下列各题．
(1)如图(2)，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝ ；AC＝ ；
(2)自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，≈2.449）
26．（12分）如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF=DC，连结EF并延长交BC的延长线于点G，连结BE．求证：△ABE∽△DEF．若正方形的边长为4，求BG的长．
27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且OEEB=23，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、B
【解析】
试题解析：如图所示：
设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，
作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，
在Rt△AEM中，cs∠EAD=；
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.
2、D
【解析】
解：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°,又⊙O的直径AB垂直于弦CD，，所以在Rt△AEC 中，∠A=30°,又AC=3，所以CE=AB=,所以CD=2CE=3，
故选D.
本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大.
3、B
【解析】
由已知抛物线求出对称轴，
解：抛物线：，对称轴，由判别式得出a的取值范围．
，，
∴，
①，．
②由①②得．
故选B．
4、A
【解析】
分析：连接AC，根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，根据正切的定义计算即可．
详解：
连接AC，
由网格特点和勾股定理可知，
AC=，
AC2+AB2=10，BC2=10，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠ABC=.
点睛：考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理及其逆定理的应用，熟记锐角三角函数的定义、掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
5、D
【解析】
根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由AD∥BC，DG=CG，可得出AG=GE，即可求出AE=2AG=1．
【详解】
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=2．
∵AD∥BC，DG=CG，
∴=1，
∴AG=GE
∴AE=2AG=1．
故选：D．
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
6、A
【解析】
【分析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，则根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，则S扇形ODG=S扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，则S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆，即可求解．
【详解】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．
∵CG是圆的直径，
∴∠CDG=90°，则DG==8，
又∵EF=8，
∴DG=EF，
∴，
∴S扇形ODG=S扇形OEF，
∵AB∥CD∥EF，
∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，
∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=，
故选A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理．本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关键．
7、C
【解析】
设房价比定价180元増加x元,根据利润=房价的净利润×入住的房同数可得.
【详解】
解：设房价比定价180元增加x元，
根据题意，得（180+x﹣20）（50﹣）＝1．
故选：C．
此题考查一元二次方程的应用问题，主要在于找到等量关系求解.
8、A
【解析】
试题分析：根据多边形的外角和是310°，即可求得多边形的内角的度数为720°，依据多边形的内角和公式列方程即可得（n﹣2）180°=720°，解得：n=1．
故选A．
考点：多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理
9、C
【解析】
试题解析：∵am=2，an=3，
∴a3m+2n
=a3m•a2n
=（am）3•（an）2
=23×32
=8×9
=1．
故选C.
10、D
【解析】
根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．
故选D．
11、C
【解析】
试题分析：（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），因为x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C．
考点：因式分解.
12、C
【解析】
先利用待定系数法求函数解析式，然后将y=35代入，从而求解．
【详解】
解：设反比例函数关系式为：，将（7，100）代入，得k=700，
∴，
将y=35代入，
解得；
∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20－7=13，
故选C．
本题考查反比例函数的应用，利用数形结合思想解题是关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、19
【解析】
首先根据题意列表，由列表求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】
列表得：
∵共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，
∴两次都摸到黑球的概率是19.
故答案为：19.
考查概率的计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键.
14、﹣1
【解析】
试题分析：观察表中的对应值得到x=﹣3和x=5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，所以x=0和x=2时的函数值相等，
解：∵x=﹣3时，y=7；x=5时，y=7，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，
∴x=0和x=2时的函数值相等，
∴x=2时，y=﹣1．
故答案为﹣1．
15、1
【解析】分析：
由题意和生活实际可知：“三个人中，至少有两个人的性别是相同的”即可得到所求概率为1.
详解：
∵三人的性别存在以下可能：（1）三人都是“男性”；（2）三人都是“女性”；（3）三人的性别是“2男1女”；（4）三人的性别是“2女1男”，
∴三人中至少有两个人的性别是相同的，
∴P（三人中有二人性别相同）=1.
点睛：列出本题中所有的等可能结果是解题的关键.
16、2：1
【解析】
由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得与的位似比．
【详解】
解与是位似图形，且对应面积比为4：9，
与的相似比为2：1，
故答案为：2：1．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
17、12π．
【解析】
试题分析：根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，
故答案为12π．
考点：圆锥的计算．
18、2
【解析】
试题分析：由OA=1，OC=6，可得矩形OABC的面积为6；再根据反比例函数系数k的几何意义，可知k=6，∴反比例函数的解析式为；设正方形ADEF的边长为a，则点E的坐标为（a+1，a），∵点E在抛物线上，∴，整理得，解得或（舍去），故正方形ADEF的边长是2.
考点：反比例函数系数k的几何意义．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）每台空调的进价为1200元，每台电冰箱的进价为1500元；（2）共有5种方案；
（3）当100＜k＜150时，购进电冰箱38台，空调62台，总利润最大；当0＜k＜100时，购进电冰箱34台，空调66台，总利润最大，当k=100时，无论采取哪种方案，y1恒为20000元．
【解析】
（1）用“用9000元购进电冰箱的数量与用7200元购进空调数量相等”建立方程即可；（2）建立不等式组求出x的范围，代入即可得出结论；（3）建立y1=（k﹣100）x+20000，分三种情况讨论即可．
【详解】
（1）设每台空调的进价为m元，则每台电冰箱的进价（m+300）元，
由题意得，，
∴m=1200，
经检验，m=1200是原分式方程的解，也符合题意，
∴m+300=1500元，
答：每台空调的进价为1200元，每台电冰箱的进价为1500元；
（2）由题意，y=（1600﹣1500）x+（1400﹣1200）（100﹣x）=﹣100x+20000，
∵，
∴33≤x≤38，
∵x为正整数，
∴x=34，35，36，37，38，
即：共有5种方案；
（3）设厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜150）元后，这100台家电的销售总利润为y1元，
∴y1=（1600﹣1500+k）x+（1400﹣1200）（100﹣x）=（k﹣100）x+20000，
当100＜k＜150时，y1随x的最大而增大，
∴x=38时，y1取得最大值，
即：购进电冰箱38台，空调62台，总利润最大，
当0＜k＜100时，y1随x的最大而减小，
∴x=34时，y1取得最大值，
即：购进电冰箱34台，空调66台，总利润最大，
当k=100时，无论采取哪种方案，y1恒为20000元．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，不等式组的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
20、（1）证明见解析（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明见解析；
【解析】
（1）在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等；
（2）先由菱形的性质得出AE=BE=DE，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD是矩形．
【详解】
解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵点、分别是、的中点，
∴，．
∴．
在和中，
，
∴．
解：当四边形是菱形时，四边形是矩形．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
即．
∴四边形是矩形．
本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定及全等三角形的判定．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．三角形全等的判定条件：SSS，SAS，AAS，ASA．
21、 (1) EH2+CH2=AE2；(2)见解析.
【解析】
分析：（1）如图1，过E作EM⊥AD于M，由四边形ABCD是菱形，得到AD=CD，∠ADE=∠CDE，通过△DME≌△DHE，根据全等三角形的性质得到EM=EH，DM=DH，等量代换得到AM=CH，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图2，根据菱形的性质得到∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，在CH上截取HG，使HG=EH，推出△DEG是等边三角形，由等边三角形的性质得到∠EDG=60°，推出△DAE≌△DCG，根据全等三角形的性质即可得到结论．
详解：
（1）EH2+CH2=AE2，
如图1，过E作EM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，
∵EH⊥CD，
∴∠DME=∠DHE=90°，
在△DME与△DHE中，
，
∴△DME≌△DHE，
∴EM=EH，DM=DH，
∴AM=CH，
在Rt△AME中，AE2=AM2+EM2，
∴AE2=EH2+CH2；
故答案为：EH2+CH2=AE2；
（2）如图2，
∵菱形ABCD，∠ADC=60°，
∴∠BDC=∠BDA=30°，DA=DC，
∵EH⊥CD，
∴∠DEH=60°，
在CH上截取HG，使HG=EH，
∵DH⊥EG，∴ED=DG，
又∵∠DEG=60°，
∴△DEG是等边三角形，
∴∠EDG=60°，
∵∠EDG=∠ADC=60°，
∴∠EDG﹣∠ADG=∠ADC﹣∠ADG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△DAE与△DCG中，
，
∴△DAE≌△DCG，
∴AE=GC，
∵CH=CG+GH，
∴CH=AE+EH．
点睛：考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
22、（1），N(3，6)；（2）y＝－x＋2，S△OMN＝3.
【解析】
（1）求出点M坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，把N点的纵坐标代入解析式即可求得横坐标；
（2）根据M点的坐标与反比例函数的解析式，求得N点的坐标，利用待定系数法求得直线MN的解析式，根据△OMN＝S正方形OABC－S△OAM－S△OCN－S△BMN即可得到答案．
【详解】
解：(1)∵点M是AB边的中点，∴M(6，3)．
∵反比例函数y＝经过点M，∴3＝．∴k＝1．
∴反比例函数的解析式为y＝．
当y＝6时，x＝3，∴N(3，6)．
(2)由题意，知M(6，2)，N(2，6)．
设直线MN的解析式为y＝ax＋b，则
，
解得，
∴直线MN的解析式为y＝－x＋2．
∴S△OMN＝S正方形OABC－S△OAM－S△OCN－S△BMN＝36－6－6－2＝3．
本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，正方形的性质，求得M、N点的坐标是解题的关键．
23、（1）A'到BD的距离是1.2m；（2）A'到地面的距离是1m．
【解析】
（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．根据同角的余角相等证得∠2=∠3；再利用AAS证明△ACB≌△BFA'，根据全等三角形的性质即可得A'F=BC，根据BC=BD﹣CD求得BC的长，即可得A'F的长，从而求得A'到BD的距离；（2）作A'H⊥DE，垂足为H，可证得A'H=FD，根据A'H=BD﹣BF求得A'H的长，从而求得A'到地面的距离.
【详解】
（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠A'FB=90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3=90°；
又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F=BC，
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD=AE=1.8；
∴BC=BD﹣CD=3﹣1.8=1.2，
∴A'F=1.2，即A'到BD的距离是1.2m．
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'，
∴BF=AC=2m，
作A'H⊥DE，垂足为H．
∵A'F∥DE，
∴A'H=FD，
∴A'H=BD﹣BF=3﹣2=1，即A'到地面的距离是1m．
本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，作出辅助线，证明△ACB≌△BFA'是解决问题的关键.
24、（1）见解析；（2）正方形的边长为.
【解析】
（1）由正方形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，由AE⊥BF，得出∠CBF+∠AEB＝90°，推出∠BAE＝∠CBF，由ASA证得△ABE≌△BCF即可得出结论；
（2）证出∠BGE＝∠ABE＝90°，∠BEG＝∠AEB，得出△BGE∽△ABE，得出BE2＝EG•AE，设EG＝x，则AE＝AG+EG＝2+x，代入求出x，求得AE＝3，由勾股定理即可得出结果．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥BF，垂足为G，
∴∠CBF+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△ABE与△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BGE＝∠ABE＝90°，
∵∠BEG＝∠AEB，
∴△BGE∽△ABE，
∴＝，
即：BE2＝EG•AE，
设EG＝x，则AE＝AG+EG＝2+x，
∴（）2＝x•（2+x），
解得：x1＝1，x2＝﹣3（不合题意舍去），
∴AE＝3，
∴AB＝＝＝．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等与相似是解题的关键．
25、（1）60，20；（2）渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．
【解析】
（1）利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；
（2）在△ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理求AC的长即可．
【详解】
（1）由正玄定理得：∠A＝60°，AC＝20；
故答案为60°，20；
（2）如图：
依题意，得BC＝40×0.5＝20(海里)．
∵CD∥BE，
∴∠DCB＋∠CBE＝180°.
∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.
∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，
∴∠A＝45°.
在△ABC中，，
即，
解得AB＝10≈24.49(海里)．
答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．
本题考查了方向角的知识，更重要的是考查了同学们的阅读理解能力，通过材料总结出学生们没有接触的知识，并根据此知识点解决相关的问题，是近几年中考的高频考点．
26、（1）见解析；（2）BG=BC+CG=1．
【解析】
（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得AE：AB=DF：DE，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据相似三角形的预备定理得到△EDF∽△GCF，再根据相似的性质即可求得CG的长，那么BG的长也就不难得到.
【详解】
（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90 °.
∵AE=ED，
∴AE：AB=1：2.
∵DF=DC，
∴DF：DE=1：2，
∴AE：AB=DF：DE，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴△EDF∽△GCF，
∴ED：CG=DF：CF.
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=1.
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
27、（1）证明见解析；（2）BH＝125．
【解析】
（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；
（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．
【详解】
（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，点C是AB的中点，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OB，CD＝AC，
∴OC是△ABD是中位线，
∴OC∥BD，
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥BD，
∵点B在⊙O上，
∴BD是⊙O的切线；
（2）由（1）知，OC∥BD，
∴△OCE∽△BFE，
∴OCBF=OEEB，
∵OB＝2，
∴OC＝OB＝2，AB＝4，OEEB=23，
∴2BF=23，
∴BF＝3，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，
∵S△ABF＝12AB•BF＝12AF•BH，
∴AB•BF＝AF•BH，
∴4×3＝5BH，
∴BH＝125．
此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．
x
…
﹣3
﹣2
0
1
3
5
…
y
…
7
0
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
第一次
第二次
黑
白
白
黑
黑，黑
白，黑
白，黑
白
黑，白
白，白
白，白
白
黑，白
白，白
白，白