广西南宁市第二中学学年高三上学期11月月考数学试卷+答案

这是一份广西南宁市第二中学学年高三上学期11月月考数学试卷+答案，共20页。试卷主要包含了 若全集，集合，则， 已知复数是的共轭复数，则， 已知，则， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
（时间120分钟，共150分）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若全集，集合，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集的定义可得，再由并集的定义求解即可.
【详解】解：因为，，
所以，
所以.
故选：A.
2. 已知复数是的共轭复数，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数四则运算、共轭复数以及模的概念即可求解.
【详解】.
故选：D.
3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案．
【解答】解：因为双曲线为，
所以它的渐近线方程为，
因为有一条渐近线方程为，所以．
故选：．
4. 已知实数，，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.
【详解】由题，，
取，则，故A错误；
，故B错误；
，故D错误；
因为，所以，即，故C正确.
故选：C.
5. 天上有三颗星星，地上有四个孩子．每个孩子向一颗星星许愿，如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真，若一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真，则至少有两个孩子愿望成真的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用古典概型的概率公式，结合排列组合知识求解．
【详解】四个孩子向三颗星星许愿，一共有种可能的许愿方式.
由于四个人选三颗星星，那么至少有一颗星星被两个人选，这两个人愿望无法实现，至多只能实现两个人的愿望，
所以至少有两个孩子愿望成真，只能是有两颗星星各有一个人选，一颗星星有两个人选，
可以先从四个孩子中选出两个孩子，让他们共同选一颗星星，其余两个人再选另外两颗星，
有种情况，
所以所求概率为.
故选：C.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】由三角恒等变换可得，进一步由同角三角函数关系以及商数关系、二倍角公式化简求值即可.
【详解】由，解得，
故
.
故选：B.
7. 已知函数（）的零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】可将函数转化，令，结合构造函数法转化成直线与圆的位置关系进行求解即可
【详解】由，令，，要使，（）的零点在区间内，即在内，与有交点，画出与图像，如图：
当时，，此时；当时，，此时
故
故选C
【点睛】本题考查根据函数零点区间求解参数问题，构造函数法求解参数，属于中档题
8. 已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数对称性，及在区间上的单调性，可知，又函数与直线交点的横坐标为，从而得，进而可求出的取值范围.
【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以，
又，得，
令，得，
所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，
所以，解得，
综上所述，.
故选：.
【点睛】关键点点睛：关于三角函数中的取值范围问题，结合三角函数的单调性与最大（小）值列关于的不等式，从而求解即可.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某科技攻关青年团队共有10人，其年龄（单位：岁）分布如下表所示，则这10个人年龄的（ ）
A. 中位数是34B. 众数是32
C. 第25百分位数是29D. 平均数为34.3
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定数据，利用中位数、众数、百分位数、平均数的定义计算判断即可.
【详解】把10个人的年龄由小到大排列为，
这组数据的中位数为32，众数为32，A错误，B正确；
由，得这组数据的第25百分位数是第3个数，为29，C正确；
这组数据的平均数，D正确.
故选：BCD
10. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，为线段的中点，点为底面内的动点：则下列结论正确的是（ ）
A. 若，平面平面
B. 若，直线与平面所成的角的正弦值为
C. 若直线和异面，点不可能为底面的中心
D. 若平面平面，且点为底面的中心，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】先证明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可判断A，根据线面角的定义，结合垂直关系，构造线面角，即可判断B，根据三点所确定的平面，再结合异面直线的定义，即可判断C，根据几何关系计算和，即可判断D.
【详解】对于A，因为，平面，
所以平面，
平面，所以平面平面，故A正确；
对于B，设的中点为，连接，则.
平面平面，平面平面平面.
平面，又平面，则，
设与平面所成角为，则，
由，则，
则，故B错误；
对于C，连接，易知平面，由确定的面即为平面，
当直线和异面时，若点为底面的中心，则，
又平面，则平面，
又平面，则平面，则与共面，矛盾，故C正确；
对于D，结合选项A，B的推理知平面，
又平面，则，同理可证,
分别为的中点，则，
又，故，，
则，故D正确.
故选：ACD.
11. 设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知条件得到，结合，得，通过赋值求得，确定为周期函数，进而逐个判断即可.
【详解】对于A，由为奇函数，得，即，因此函数的图象关于点对称，A正确；
由，得，则，
又，于是，令，得，即，
则，因此函数是周期函数，周期为4，
对于B，由，得，B正确；
对于C，因为函数是周期函数，周期为4，
显然函数是周期为4的周期函数，，，则
C错误；
对于D，，则，D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正三角形的边长为2，为中点，为边上任意一点，则______.
【答案】3
【解析】
【分析】由已知可得，从而利用可求值.
【详解】因为三角形是正三角形，为中点，
所以，所以，又正三角形的边长为2，所以，
所以.
故答案为：.
13. 已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件得到要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，，进而求棱锥外接球半径，即可得表面积.
【详解】
要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大，
此时，又都在面上，
故面，且故，
设外接圆半径，
则由余弦定理，
所以，所以，即，
所以，外接球半径，故其表面积为，
故答案为：.
14. 拿破仑定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个正三角形，则这三个正三角形的中心恰为另一个正三角形的顶点.”利用该定理可为任意形状的市区科学地确定新的发展中心区位置，合理组织人流､物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率达到最佳，因而在城市建设规划中具有很好的应用价值.如图，设代表旧城区，新的城市发展中心，分别为正，正，正的中心､现已知，的面积为，则的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】连接，易得，进而得到，利用勾股定理得到，然后再利用余弦定理求得即可.
【详解】如图所示：
连接，由题意得：，
又因为，
所以，，
解得，
由勾股定理得，即，
即，
由余弦定理得，
解得，
所以三角形ABC的面积为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是证得，再利用勾股定理和余弦定理求得而得解.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列{an}中，a5＝8，a10＝23．
（1）令，证明：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{nbn}的前n项和Sn．
【答案】（1）见解析（2）Sn＝（n﹣1）•2n+1+2．
【解析】
【分析】（1）由题意可得an＝3n-7，则，即可得证；
（2）由nbn＝n•2n利用错位相减法即可求得Sn，即可得解.
【详解】（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，∵a5＝8，a10＝23，
∴a1+4d＝8，a1+9d＝23，
联立解得：a1＝-4，d＝3，
∴an＝-4+3（n﹣1）＝3n-7．
∴，
∴2．
∴数列{bn}是等比数列，首项为2，公比为2．
（2）nbn＝n•2n．
∴数列{nbn}的前n项和Sn＝2+2×22+3×23+……+n•2n．
∴2Sn＝22+2×23+……+（n﹣1）•2n+n•2n+1．
∴两式相减得﹣Sn＝2+22+……+2n﹣n•2n+1n•2n+1．
∴Sn＝（n﹣1）•2n+1+2．
【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用和等比数列的证明，考查了错位相减法求数列前n项和的应用，属于基础题.
16. 米接力短跑作为田径运动的重要项目，展现了一个国家短跑运动的团体最高水平.每支队伍都有自己的一个或几个明星队员，现有一支米接力短跑队，张三是其队员之一，经统计该队伍在参加的所有比赛中，张三是否上场时该队伍是否取得第一名的情况如下表.如果依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关，则认为张三是这支队伍的明星队员.
（1）完成列联表，并判断张三是否是这支队伍的明星队员.
（2）米接力短跑分为一棒､二棒､三棒､四棒4个选手位置.张三可以作为一棒､二棒或四棒选手参加比赛.当他上场参加比赛时，他作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，相应队伍取得第一名的概率分别为.当张三上场参加比赛时，队伍取得第一名的概率为0.7.
（i）求的值；
（ii）当张三上场参加比赛时，在队伍取得某场比赛第一名的条件下，求张三作为四棒选手参加比赛的概率.
附：.
【答案】（1）列联表见解析，是
（2）（i）（ii）
【解析】
【分析】（1）由已知条件直接给出列联表，再求得，即可判断；
（2）由全概率计算公式及条件概率计算公式即可求解.
【小问1详解】
根据题意，可得的列联表：
零假设：队伍是否取得第一名与张三是否上场无关；
，
依据小概率值的独立性检验，可以认为队伍是否取得第一名与张三是否上场有关；
故张三是这支队伍的明星队员.
【小问2详解】
由张三上场时，作为一棒､二棒､四棒选手参赛的概率分别为，
相应队伍取得第一名的概率分别为.
设事件：张三作为一棒参赛，事件：张三作为二棒参赛，
事件C：张三作为四棒参赛，事件D：张三上场且队伍获得第一名；
则；
（i）由全概率公式：
，
即，又，
联立解得：.
（ii）由条件概率公式：.
17. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形，平面平面分别为线段的中点，点在线段上（不包括端点）.
（1）若，求证：点四点共面；
（2）若，是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，或
【解析】
【分析】（1）方法1：利用向量的线性运算结合图形关系得到，即可证明；方法2：过作直线与平行，延长与交于点，连接，再利用平行线段对应成比例得到即可证明；
（2）先由面面垂直的性质证明平面，再建系，找到平面的法向量和，再利用线面角的公式求出值即可.
【小问1详解】
证明：方法1：，
系数和为1，根据平面向量共线定理可知四点共面.
方法2：过作直线与平行，延长与交于点，连接.
因为底面是矩形，是的中点，
所以，且.所以，则直线与直线相交，记交点为.
因为是的中点，可得，
则，所以.
因为，所以点即点，所以四点共面.
【小问2详解】
因为是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面.
取中点，连接，易知两两相互垂直，
如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，
则即，令，则，所以.
设，则
.
设与平面所成角，
则，
解得或，则或.
18. 已知椭圆，四点，其中恰有三点在椭圆上.
（1）求的方程；
（2）设是的左､右顶点，直线交于两点，直线的斜率分别为.若，证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先分析椭圆过三点，代入方程得到、的方程组，解得即可；
（2）首先分析直线的斜率不为，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设直线的斜率为，利用斜率公式得到，从而得到，即可求出，从而求出直线过定点坐标.
【小问1详解】
由椭圆对称性，必过，又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点，
代入椭圆方程得，解得椭圆的方程为：
【小问2详解】
依题意，点
（i）若直线的斜率为，则必有，不合题意；
（ii）设直线方程为
与椭圆联立，整理得：，
由，则，
因为点是椭圆上一点，即，设直线的斜率为，
所以，
所以，即，
因为
，
所以，即直线方程为，令，可得，
所以直线恒过定点.

19. 悬链线在建筑领域有很多应用.当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之其倒置时也是一种稳定状态.链函数是一种特殊的悬链线函数，正链函数表达式为，相应的反链函数表达式为.
（1）证明：曲线是轴对称图形，
（2）若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，证明：；
（3）已知函数，其中.若对任意的恒成立，求的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）7
【解析】
【分析】（1）将函数化简得，根据偶函数的性质即可判断此函数图象关于轴对称；
（2）根据函数的单调性可大致判断函数和的图象，且为偶函数，结合图象可判断，且，再解不等式即可；
（3）观察函数特征，不妨设，当时，得，从而对恒成立，再解不等式即可.
【小问1详解】
，
令，则
所以为偶函数，故曲线是轴对称图形，且关于轴对称
【小问2详解】
令，得，
当时，在单调递减，在单调递增，
所以，且当时，，当时，
又恒成立，所以在上单调递增，
且当时，，当时，
且对任意，
所以的大致图象如图所示，
不妨设，由为偶函数可得，
与图象有三个交点，显然，令
整理得，解得或（舍），
所以，即，
又因为，所以.
【小问3详解】
设，则，
所以
因为单调递增，
所以时，，即
由，
即，
该不等式组成立的一个必要条件为：和时同时满足，即，
所以，当时等号成立；
下面分析充分性：若时，
显然对恒成立，从而，满足题意，
综上所述：的最大值为
【点睛】思路点睛：本题第三问函数的形式上比较复杂，对于形式比较复杂的函数，一般要考虑是否是复合函数，而通常情况下比较喜欢考查其它函数与二次函数的复合，转化为二次函数以后在用二次函数相关知识去解决问题，另外对于函数值域问题，虽然方法较多，最基础的方法是利用函数单调性求值域.年龄
45
40
36
32
29
28
人数
1
2
1
3
2
1
张三是否上场
队伍是否取得第一名的情况
取得第一名
未取得第一名
上场
10
40
未上场
6
合计
24
0.15
010
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
张三是否上场
队伍是否取得第一名的情况
合计
取得第一名
未取得第一名
上场
30
10
40
未上场
6
14
20
合计
36
24
60