2025_2026学年浙江省温州市第二中学上册九年级开学考试数学试题

这是一份2025_2026学年浙江省温州市第二中学上册九年级开学考试数学试题，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1 ．试题卷共 4 页，答题卷共 2 页；考试时间 100 分钟；全卷满分 120 分．
2 ．答案必须写在答题卷相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效．
一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．下列式子中属于最简二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A．
B．
C．
D．
3 ．下列函数中，属于反比例函数的是( )
A ．y = 2x + 2 B ． C ． D ．y = -2x
4 ．若x =3 是关于x 的一元二次方程x2 + kx - 6 = 0 的一个根，则k 的值为( )
A ．3 B ．2 C ．-2 D ．-1
5．一组数据从小到大排列为-2，3，7，x，11，15 ，且这组数据的中位数为 9，则x 的值为( )
A ．7 B ．9 C ．11 D ．15
6 ．如图，已知三条直线l1，l2，l3 互相平行，直线a 和直线b 分别与l1，l2，l3 交于A，B ，C 三点以及D，E，F 三点，若AB = 2，BC = 3，DE = 2.4 ，则 EF 的长为( )
A ．1.6 B ．2.8 C ．3.2 D ．3.6
7 ．如图，已知□ABCD 中， 0) ，y = k2 < 0，x < 0) 的图象上， 连结AB 交y 轴于点C ，作点B 关于x 轴的对称点D ，连结AD ，线段AD 恰好经过坐标原点
k1
k2
则
的值为 ．
16 ．如图，在矩形ABCD 中，AB = 1，将 ABC 沿对角线AC 翻折，得到 △AEC ，CE 交AD 于点 F，再将△AEF 沿AF 翻折，得到 △AGF ，GF 交AC 于点 H，若AC 平分上DAG ，则 FH 的长为 ．
三、解答题（本题有 7 个小题，共 66 分）
计算
（2）解方程：x2 - 2x = 3
18 ．某校举办科技知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取20 名学生的竞赛成绩（百分 制）进行整理，得分在90 分及以上为优秀，成绩得分用x 表示，共分为四组：A 、
90 ≤ x ≤ 100 ，B 、80 ≤ x < 90 ，C 、70 ≤ x < 80 ，D 、x < 70 ，已知以下部分信息：七年级20 名学生的竞赛成绩是：64 ，68 ，72 ，80 ，83 ，85 ，86 ，88 ，89 ，89 ，90 ，93 ，93 ，
93 ，95 ，96 ，98 ，99 ，99 ，100．
八年级20 名学生竞赛成绩在B 组的成绩是：89 ，86 ，87 ，83 ，85 ，88 ，89 ．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
方差
七年级
88
a
89.5
10.3
八年级
88
94
b
9.6
八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的a = ___________ ，b = ___________ ，m = ___________
(2)若该校七年级有240 名，八年级有250 名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级 学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
19 ．按要求在。ABCD 中作图，并保留作图痕迹．
(1)在图 1 中，仅用无刻度直尺和圆规，作菱形AECF ，点 E 和F 分别在边AB 和DC 上．
(2)在图 2 中，点P 和Q 分别在边AD 和AB 上，仅用无刻度直尺，作。PQMN ，点M和N 分 别在边BC 和CD 上．
20 ．四边形ABCD 中，上A = 上ABC = 90° , BD 丄 CD ．
(1)求证： △ABD∽△DCB ．
(2)若AB = 4 ，BD = 5 ，求 BC 的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，点A(-3, 2) 在反比例函数 的图象上，直线AB : y2 = mx 与该反比例函数图象在第四象限交于点B ，作BC 丄 y 轴交y 轴于点C ，连结 AC ．
(1)求k，m 的值．
(2)求△ABC 的面积．
(3)当y1 > y2 时，直接写出x 的取值范围．
22 ．桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子20 箱，每箱盈利40 元，当桃子时令快接 近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发 现：如果每箱桃子降价1元，那么平均每天就可多售出2 箱．
(1)要使平均每天销售桃子盈利1200 元，那么每箱桃子应降价多少元？
(2)平均每天销售桃子盈利能达到1500 元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明 理由．
23 ．如图，在菱形ABCD 中，AD = 4 ，E 是对角线AC 上的点，CD = CE ，连结DE ，并延 长交AB 于点F ，连结 BE ．
(1)求证：上BEF = 上BAE ．
(2)若上ADE = 45° ,求 DE 的长．
已知 求菱形ABCD 的面积．
1 ．A
【分析】本题考查了最简二次根式， 熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最 简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母，进行逐 一判断即可．
【详解】解：A 、 3 是最简二次根式，故 A 选项符合题意；
B 、 = 2 ，故 8 不是最简二次根式，故 B 选项不符合题意；
C 、 = 3，故 9 不是最简二次根式，故 C 选项不符合题意；
D 、 故 · 不是最简二次根式，故 D 选项不符合题意． 故选：A．
2 ．A
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转180 度， 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做 对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形，这条直线叫做对称轴，根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故 A 选项符合题意；
B、该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故 B 选项不符合题意；
C、该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故 C 选项不符合题意；
D、该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项不符合题意． 故选：A．
3 ．B
【分析】本题考查反比例函数的识别．根据形如 ， 这样的函数叫做反比例函数， 进行判断即可．
【详解】解：A 、y = 2x + 2 是一次函数，本选项不符合题意；
B 、 是反比例函数，本选项符合题意；
C 、 不是反比例函数，本选项不符合题意；
D 、y = -2x 是正比例函数，本选项不符合题意； 故选：B．
4 ．D
【分析】本题主要考查了已知方程的解求参数， 把x =3 代入一元二次方程x2 + kx - 6 = 0 ， 得出关于 k 的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：把 x =3 代入x2 + kx - 6 = 0 ，
得：9 + 3k - 6 = 0 ， 解得：k = -1 ，
故选 D
5 ．C
【分析】本题主要考查了已知中位数求参数，根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：一组数据从小到大排列为-2，3，7，x，11，15 ，且这组数据的中位数为 9， 则
解得x =11， 故选：C
6 ．D
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比 例，由此列式求解即可．
【详解】解：由题意得 ，
即 ， 解得EF = 3.6 ， 故选 D．
7 ．D
【分析】依据尺规作图的痕迹，可得 EF 是 AB 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质 得出 EA=EB，根据等边对等角得到∠EAB=∠B=50°,利用三角形内角和定理求出
∠AEB=180°-∠EAB-∠B=80°,再根据平行四边形的对边平行以及平行线的性质求出 ∠DAE=∠AEB=80° .
【详解】解：∵EF 是 AB 的垂直平分线， :EA=EB，
:∠EAB=∠B=50° ,
:∠AEB=180°-∠EAB-∠B=80° , ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
:ADⅡBC，
:∠DAE=∠AEB=80° . 故选 D．
【点睛】本题考查了平行四边形的对边平行的性质， 线段垂直平分线的性质，等边对等角的 性质，三角形内角和定理以及平行线的性质．求出∠AEB 的度数是解题的关键．
8 ．C
【分析】本题考查了根据反比例函数的增减性比较反比例函数值或自变量的大小，；对于反 比例函数 ，当k > 0 时，图象在一、三象限均有y 随x 的增大而减小；当k < 0 时，图象 在二、四象限均有y 随x 的增大而增大．据此即可求解．
【详解】解：∵ k < 0 ，
:图象在二、四象限均有y 随x 的增大而增大 ∵ -1 < 0 < 2 < 4 ，
: b < c < 0 < a 故选：C．
9 ．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这两年借阅图书的学生人数的年平均增长 率为x ，根据2023 年借阅图书的学生7800 人次，2025 年人数增长至10850 人次，列出方程 即可．
【详解】解：设这两年借阅图书的学生人数的年平均增长率为 x ，
根据题意得7800(1+ x )2 = 10850 ， 故选：B．
10 ．B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质， 正方形的性质，勾股定理等．先证△ABF 是等 腰直角三角形，结合 △ABF≌△CDH ，可得 AF = BF = CH = DH ，由正方形的性质得
EF = FG = GH = HE ，进而可得DE = BG ，AE = CG ，判断出 △AED≌△CGB (SAS)，设正
方形的边长为 a ，AF = BF = CH = DH = b ，根据YABCD 的面积为 5，列式求出b2 = ，根 据勾股定理即可得出AB 的值．
【详解】解：Q 上ABF = 45 ， △ABF 是直角三角形，
: △ABF 是等腰直角三角形， : AF = BF ，
Q △ABF≌△CDH ，
: AF = BF = CH = DH ，
Q 四边形EFGH是正方形，
: EF = FG = GH = HE ，
: DH + EH = BF + FG ，AF - EF = CH - GH ， 即DE = BG ，AE = CG ，
又Q 上AED = 上CGB = 180° - 90° = 90° , : △AED≌△CGB (SAS)，
设正方形的边长为 a ，AF = BF = CH = DH = b ，
解得 ，
故选 B．
11 ．10
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，利用多边形的外角和即可解决问题． 【详解】解：因为正多边形的每一个外角都相等，
所以n = 360° ÷ 36° = 10 ．
故答案为：10．
12 ．-4
【分析】本题考查求反比例函数自变量的值，将(a, -3) 代入y = 即可求解．
解：将(a, -3) 代入 得 解得a = -4 ，
故答案为：-4 ．
13 ．1
【分析】本题考查了平方差公式，代数式求值，二次根式的性质 ．根据平方差公式得出 a2 - b2 = (a - b)(a + b) ，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵a2 - b2 = (a - b)(a + b) ， 将a + b = +1 ，a - b = -1代入，
则原式= ( - 1)( + 1)， = ( )2 -1 ，
= 2 -1，
= 1．
故答案为：1．
14 ．9
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与判别式 Δ = b2 - 4ac 的关系：Δ > 0 Û 方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有两个不相等的实数根；Δ = 0 Û 方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有两个相等的实数根；Δ < 0 Û 方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 没有实数根．
根据关于x 的一元二次方程x2 + 6x + m = 0有两个相等的实数根，则 Δ = b2 - 4ac = 62 - 4m = 0 ， 求解即可．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x2 + 6x + m = 0有两个相等的实数根， : Δ = b2 - 4ac = 62 - 4m = 0 ，
解得：m = 9 ，
故答案为：9．
15 ．
【分析】本题考查了反比例函数图像及其性质， 求一次函数的解析式，轴对称的性质，相似 三角形的判定与性质，正确作出辅助线建立相似三角形是解题的关键．
AF AC 3
作AF 丄 x 轴于F ，作BE⊥y 轴于E ，根据相似三角形的判定和性质得出 = = ，结
BE BC 2
合题意设点A 的坐标为 m, ，点 B 的坐标为 n, ，得出 AF = m ，BE = -n ，求出 ,根据对称性得出点 D 的坐标为n,— ，根据求一次函数解析式的方法得出
即可求解．
【详解】解：作 AF 丄 y 轴于F ，作BE⊥y 轴于E ，如图：
故上AFC = 上BEC = 90。， 又“ 上ACF = 上BCE ，
: △AFC∽△BEC ，
“点A ，B 分别在反比例函数y = k1 > 0，x > 0) ，y = k2 < 0 ，x < 0)的图象上， 故设点A 的坐标为 m, ，点 B 的坐标为 n, ，
则AF = m ，BE = -n ，
“点B 、点 D 关于x 轴的对称， 故点D 的坐标为n,— ，
设直线AD 的解析式为y = kx ，
将 n,— 代入，得k . n = - ，即k = - ， 将(m, 代入，得k . m = ，即k = ，
故- = ， 整理得
将 = - 代入，得 = - ，
故 = | — = ．
故答案为： ．
16 ．2 -
【分析】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知 识点，弄清线段间的关系成为解题的关键．
如图：连接EH ，由矩形的性质得上B = 上BAD = 上D = 90°, DC = AB = 1，由翻折得 AG = AE = AB = 1，上G = 上E = 上B = 90°, 上EAC = 上BAC = 90° - 上DAC ，则
上GAF = 上EAF = 90° - 2上DAC ，所以 上GAC = 上DAC = 90° - 3上DAC ，求得 上DAC = 22.5° , 则上GAF = 上EAF = 45° , 可证明四边形AEFG 是正方形，则FE = AE = 1 ，再证明DF = DC = 1， 求CF = S2 ，则 CE = +1，可证明 S△EHC = S△AFC ，则 × ( +1)FH = × × 1，然后求 解即可．
【详解】解：如图：连接 EH ，
“四边形ABCD 是矩形，AB = 1，
:上B = 上BAD = 上D = 90°, DC = AB = 1，
由翻折得：AG = AE = AB = 1，上G = 上E = 上B = 90°, 上EAC = 上BAC = 90° - 上DAC ， : 上GAF = 上EAF = 上EAC - 上DAC = 90° - 2上DAC ，
: 上GAC = 上GAF - 上DAC = 90° - 3上DAC ，
“AC 平分上DAG ，
: 上GAC = 上DAC ，
: 上DAC = 90° - 3上DAC ， : 上DAC = 22.5° ,
: 上GAF = 上EAF = 90° - 2× 22.5° = 45° , : 上EAG = 2上EAF = 90° ,
∵上G = 上A = 上E = 90°, AG = AE = 1 ， :四边形AEFG 是正方形，
: FE = AE = 1 ，
∵ 上DFC = 上EFA = 上EAF = 45° , : 上DCF = 上DFC = 45° ,
: DF = DC = 1，
: CE = +1， ∵ AE Ⅱ FH ，
: S△EFH = S△AFH ，
: S△EHC = S△EFH + S△CFH = S△AFH + S△CFH = S△AFC ，
解得
故答案为：2 - ．
17 ．（1）1；（2）x1 = -1 ，x2 = 3
【分析】本题考查了二次根式的混合运算， 解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题 的关键．
（1）根据二次根式混合运算的法则进行计算即可；
（2）根据因式分解法解方程，即可求解．
【详解】（1） 解：(v18 —2) ÷ = (3v2—2v2) ÷ v2
= ÷
= 1．
（2）解：x2 - 2x = 3
x2 - 2x - 3 = 0
(x + 1) (x—3) = 0
x +1 = 0 或x - 3 = 0
x1 = -1 ，x2 = 3 ．
18 ．(1) 93 ，88.5 ，35 (2)220
【分析】本题考查了扇形统计图， 中位数，众数，样本估计总体．从统计图表中有效的获取 信息，是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义，分别求出 a 、b 的值，用B 类学生的人数除以总人数，即 可求出m 的值；
（2）用样本估计总体，分别求出七年级和八年级达到优秀的人数，再求和即可求解． 【详解】（1）解：七年级 20 名学生的竞赛成绩的数据中出现次数最多的是93 ，
故众数为93 ， 即a = 93 ；
“八年级学生中随机抽取20 名学生的竞赛成绩，
故八年级抽取竞赛成绩的中位数是第10 个、第11个数的平均数，
“八年级20 名学生的竞赛成绩在A 组的人数为：（人）20 ×40% = 8；八年级 20 名学生的竞 赛成绩在B 组的人数为7 人，
:第10 个和第11个数据分别为： 88 ，89 ，
故中位数为 即b = 88.5 ；
“八年级20 名学生的竞赛成绩在B 组的人数为7 人，
故八年级20 名学生的竞赛成绩在B 组的百分率为 ， 即m = 35 ；
故答案为：93 ，88.5 ，35 ．
解
故该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有220 人．
19 ．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查限定工具作图， 掌握菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题 的关键．
（1）连接 AC ，作 AC 的垂直平分线，交DC 于点 F，交 AB 于点 E，由垂直平分线的性质
可得FC = FA ，EA = EC ，由 CDⅡAB ，FA = FC 可得上FAC = 上EAC ，进而可证 AF = AE ，根据四边相等可得四边形 AECF 即为菱形；
（2）连接AC ，BD 交于点 O，连接PO 并延长，交BC 于点 M，连接QO 并延长，交CD 于 点 N，顺次连接 P ，Q，M，N，即可得到 YPQMN ．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
20 ．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余， 等角的余角相等，相似三角形的判定和性 质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据直角三角形的两个锐角互余得出 上ADB + 上ABD = 90° ,根据等角的余角相等得出
上ADB = 上DBC ，根据相似三角形的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理求出 AD 的值，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：“ 上A = 上ABC = 90° ,
: 上ADB + 上ABD = 90° , 上DBC + 上ABD = 90° , : 上ADB = 上DBC ，
又“BD 丄 CD ， : Ð BDC=90° , 即上BDC = 上A ，
“ 上ADB = 上DBC ，上BDC = 上A ， :△ABD∽△DCB ．
（2）解：在 Rt△ABD 中，AD = = = 3 ， “△ABD∽△DCB ，
即
(2)6
(3) -3 < x < 0 或x > 3
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）将 A(-3, 2) 分别代入 y2 = mx ，即可求解；
（2）根据反比例函数和正比例函数的对称性求出点 B 的坐标，得到OC = 2 ，则
S△ABC = S△OCB + S△OCA = OC . (|XA |+ XB)；
（3） 图象在y2 = mx 图象上方部分对应的 x 的范围即为所求．
【详解】（1）解：将 A(-3, 2) 代入 得： ， 解得k = -6 ．
将A(-3, 2) 代入y2 = mx ，得： 2 = -3m ， 得：
（2）解：由题意知，点 B 与点A 关于点 O 对称，
Q A(-3, 2) ， : B(3, -2) ， Q BC 丄 y 轴， : OC = 2 ，
（3）解：由图可得，当 -3 < x < 0 或x > 3 时， 图象在y2 = mx 图象的上方， : 当y1 > y2 时，x 的取值范围为-3 < x < 0 或x > 3 ．
22 ．(1)每箱桃子应降价20 元
(2)平均每天销售桃子盈利不能达到1500 元，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设每箱桃子应降价x 元，则销售量为(20 + 2x)箱，每件的利润为(40 - x)元，再根据总 利润= 单件利润× 销售量，列出方程求解即可；
（2）设每箱桃子降价y 元时，销售桃子的盈利为1500 元，根据总利润= 单箱利润× 销售量， 列出方程，根据一元二次方程根的判别式，即可得出结论．
【详解】（1）解：设每箱桃子应降价x 元，则销售量为(20 + 2x)箱，每件的利润为(40 - x) 元，
故(40 - x)(20 + 2x) = 1200 ， 解得x1 = 10 ，x2 = 20 ，
“要尽量减少库存，
故选择降价更多的，即每箱桃子应降价20 元，
（2）解：平均每天销售桃子盈利不能达到 1500 元；理由如下：
设每箱桃子降价y 元时，销售桃子的盈利为1500 元， 故(40—y)(20 + 2y) = 1500，
整理得-2y2 + 60y - 700 = 0 ，
“Δ = 602 —4 × (—2) × (—700) = —2000 < 0，
故方程无实数根，即平均每天销售桃子盈利不能达到1500 元．
23 ．(1)证明见解析 (2) 2 - 2
【分析】（1）根据菱形的性质得出DC = BC ，AB∥CD ，上BCA = 上DCA ，根据等边对等角 得出上CDE = 上CED ，上CEB = 上CBE ，根据三角形内角和定理得出
∠CDE = ∠CED = ∠CEB ，根据三角形的外角性质得出 上BEF = 上DCE ，即可证明；
（2）过点 E 作EM 丄 AD 于点M ，根据菱形的性质得出 上DAE = 上DCA ，根据三角形内角和 定理求出上DAE = 30° , 根据等边对等角和三角形内角和定理得出DM = ME ，根据直角三角 形的性质和勾股定理得出AM = 3ME ，即可求出故DE = = DM = 2 - 2 ．
（3）过点 D 作DN 丄 AB 于点N ，根据菱形的性质得出 AD = AB = CD = 4 ，AB∥CD ，
上DCE = 上BCE ，根据相似三角形的判定和性质得出 BE = 2 ，BF = 1 ，AF = 3 ，根据全等 三角形的判定和性质得出DE = BE = 2 ，根据相似三角形的判定和性质求出 EF = ，得出 ,设 AN= x ，则 NF = 3 - x ，结合勾股定理求出 x ，进而求得DN = ，即 可求解．
【详解】（1）证明：如图：
∵四边形ABCD 是菱形，
: DC = BC ，AB P CD ，上BCA = 上DCA ，
: CD = CE = BC ， ∠BAE = ∠DCA = ∠BCA ， : 上CDE = 上CED ，上CEB = 上CBE ，
又∵ 上CDE + 上CED + 上DCE = 180° , 上CEB + 上CBE + 上BCE = 180° , :∠CDE = ∠CED = ∠CEB ，
又∵∠CEF = ∠CDE +∠DCE ， ∠CEF = ∠CEB +∠BEF ， : 上BEF = 上DCE ，
: 上BEF = 上BAE ．
（2）解：过点 E 作EM 丄 AD 于点M ，如图：
“四边形ABCD 是菱形， : 上DAE = 上DCA ，
由（1）可得 上CDE = 上CED ，
又“∠DEC = ∠DAE +∠ADE = ∠DAE + 45° ,
:∠CDE = ∠DEC = ∠DAE +∠ADE = ∠DAE + 45° , 在 △DCE 中，上DEC + 上DCE + 上EDC = 180° ,
即