2025_2026学年广东省深圳外国语学校[集团]宝安学校上册九年级开学考数学试卷

这是一份2025_2026学年广东省深圳外国语学校[集团]宝安学校上册九年级开学考数学试卷，共27页。试卷主要包含了9a ≤ 3500 ，等内容，欢迎下载使用。
2025 九上暑期作业反馈 数学试卷
满分：100 分 时间：90 分钟
一．选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，每小题有四个选项，其 中只有一个是正确的）
1 ．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．如果a > b，则下列不等式一定成立的是( )
A ．a - b < 0 B ． C ．-1+ 3a < -1+ 3b D ．-2a < -2b
3 ．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是()
A ．6ab = 2a . 3b B ．3(a + b) = 3a + 3b
C ．a2 + 2a + 2 = (a +1)(a + 2) D ．a2 - 4a + 4 = (a - 2)2
4 ．如图，AC = AD ，BC = BD ，下列结论一定正确的是( )
A ．CD 平分 Ð ACB B ．CD 垂直平分AB
C ．AB 垂直平分CD D ．AB 与CD 互相垂直平分
5 ．下列变形正确的是( )
A ． B ．
C ． D ．
6 ．下列说法正确的有( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②平行四边形的对角互补；
③平行线间的线段相等；
④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形；
⑤平行四边形的四内角之比可以是2 : 3 : 2 : 3 ．
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
7 ．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点1400m 和 900m 的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的 1.1 倍，乙同学比甲同学提前 7min 到达活动地点．若设乙同学的速度是xm/min ，则下列方程正确的是( )
8 ．如图，在 △ABC 中，上C = 45° ,边BC 在 x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为(0, 3) 和
(-4, 0) ，F 为OB 的中点，将平行四边形BDEF 沿 x 轴向右平移．当点 D 落在AC 上时，点 E 的坐标为( )
A ．(1, 2) B ．(çè 4, C ．(2, 2) D ．(çè ,
二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
9 ．两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母x ；乙同学： 当x =1 时，分式的值为 0 ．请你写出满足上述全部特点的一个分式 ．
10 ．n 为自然数，且 是整数，那么 n 的值可能是 ．（写出一个即可）
11 ．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y = 2x 和y = mx + n 的图象如图所示，则关于 x 的 一元一次不等式mx + n < 2x 的解集是 ．
12．如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正n 边形一部分．若正n 边形的两条边所在直线AM 、BN 所夹锐角为36。．则n 的值是 ．
13 ．如图，在 Rt△ABC 中 上ABC = 90。， 点 E 在边 BC 上且 BE = 3，CE = 2AB ，连接 AE ， 将 △ABE 沿AE 进行折叠，点 B 的对应点为点 F， 点 D 是AC 的中点，连接BD ，当BD Ⅱ EF 时，AB = ．
三．解答题（本题共 7 小题，共 61 分）
14 ．解不等式组
15 ．先化简， 再求值 其中a = 2 ．
16 ．如图，点 A 、B 、C、D 均为格点，请用无刻度直尺在以下网格图中按要求作图，并保 留作图痕迹．
(1)如图 1，请找一个格点P ，使得 ÐPAB = ÐPBA ；
(2)如图 2，请在 AD 边上找一点M ，使得 ÐMAC = ÐMCA ；
(3)如图3，请在线段 AB 上找一点N ，使得 ÐDNA = ÐCNA ．
17 ．某校在商场购进 A 、B 两种品牌的篮球，购买 A 品牌篮球花费了 3000 元，购买 B 品牌 篮球花费了 2000 元，且购买 A 品牌篮球数量是购买 B 品牌篮球数量的 2 倍，已知购买一个 B 品牌篮球比购买一个 A 品牌篮球多花 20 元．
(1)问购买一个 A 品牌、一个 B 品牌的篮球各需多少元？
(2)该校决定再次购进 A 、B 两种品牌篮球共 50 个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调 整，A 品牌篮球售价比第一次购买时提高了10% ，B 品牌篮球按第一次购买时售价的 9 折出 售，如果该校此次购买 A 、B 两种品牌篮球的总费用不超过 3500 元，那么该校此次最多可 购买多少个 B 品牌篮球？
18 ．如图，AC 为。ABCD 的对角线，点 E 为线段AB 的中点，连接CE 与DA 的延长线交于 点 F．
(1)求证：BF Ⅱ AC ．
(2)若AC = 3 ，CD = 4 ，AD = 5 ．求EC 的长．
19．
阅读理解：
在平面直角坐标系中，经过点M(0, m) 且平行于x 轴的直线记作直线y = m ．
给出如下知识：
①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图 形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴是
应用：
(1)点A(3, 4) 关于y 轴和直线y = 1 的“美对称点” A2 的坐标是 ；
(2)点B(3m + n, m - n)关于y 轴和直线y = m 的“美对称点”B2 的坐标是(-9, 5)，求m 和n 的值；
(3)若点C(6x - 5, 2x +1) 关于y 轴和直线y = m 的“美对称点” C2 在第二象限，且满足条件的x 的整数解有且只有一个，求m 的取值范围．
20 ．阅读材料：
小华遇到这样一个问题：如图 1，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转60。得到 △DBE ，DE 的延长 线与AC 相交于点 F， 连接DA 、BF ，BF = AF ，求证：DF = 2AF ．
小华通过探究，为同学们提供了解题的想法：
如图 2，在 DF 上截取DG = AF ，连接 BG ．由旋转性质可证全等，再证 △BGF 为等边三角 形，从而使问题得到解决．
（1）请按照小华的思路，完成解题过程．
参考小华思考问题的方法，解决下列问题：
如图 3，等边 △ABC 中，点 P 是BC 延长线上一点，把PC 绕点 P 逆时针旋转120。，得线段 PQ，点 O 是线段BQ 的中点， 连接AP ，PO ．
（2）填空：线段 AP ，PO 的数量关系是_______；
（3）证明你的结论．
任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
@平面直角坐标系中，已知点A(x1, y1 )，点B(x2, y2 ) ，点C 是线段AB 的中点，则点C 的 坐标为
③将点P(x, y) 关于y 轴的对称点记作点P1 ，再将点P1 关于直线y = m 的对称点记作点P2 ， 则称点P2 为点P(x, y) 关于y 轴和直线y = m 的“美对称点” ．例如：点P (3,1) 关于y 轴和直 线y = 3 的“美对称点”为点P2 (-3, 5) ．
1 ．B
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义， 掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注 意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对 称中心，旋转 180 度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A ．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B ．既是中心对称图形又是轴对称图形，故该选项符合题意；
C ．不是中心对称图形也不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B．
2 ．D
【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立．
【详解】解：选项 A：由 a > b ，两边减b 得a - b > 0 ，故 a - b < 0 不成立，错误；
1 a b a b
选项 B：由 a > b ，两边同乘 > 0 ，不等号方向不变，得 > ，故 < 不成立，错误；
3 3 3 3 3
选项 C：由a > b ，两边同乘 3 得3a > 3b ，再两边同减 1 得-1+ 3a > -1+ 3b ，故-1+ 3a < -1+ 3b 不成立，错误；
选项 D：由 a > b ，两边同乘 -2 < 0 ，不等号方向改变，得 -2a < -2b ，成立．
故选：D ．
3 ．D
【分析】本题考查了因式分解的定义， 根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式 转化为几个整式的积的形式．
【详解】A ．左边为单项式6ab ，右边是 2a 与3b 的积，但分解对象应为多项式，不符合因 式分解定义；
B ．左边3(a + b) 是乘积形式，右边展开为3a + 3b，属于整式乘法而非因式分解；
C ．因为(a +1)(a + 2) 展开后为a2 + 3a + 2 ，所以左边 a2 + 2a + 2 无法分解为(a +1)(a + 2)，
故不属于因式分解；
D ．左边a2 - 4a + 4 是完全平方式，可分解为(a - 2)2 ，符合因式分解的定义， 故选 D．
4 ．C
【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 【详解】解：∵ AC = AD ，BC = BD ，
:点A 、 B 在CD 的垂直平分线上，
: AB 垂直平分CD ， 故选：C
5 ．D
【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是记住：分式的分子与分母同乘（或除以） 一个不等于 0 的整式，分式的值不变．
利用分式的性质一一判断即可．
故本选项不符合题意；
B 、 ≠ -1，故本选项不符合题意；
C 、 故本选项不符合题意；
故本选项正确,符合题意． 故选：D．
6 ．C
【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质， 属于基础题型．理解平行四边形的性质是解 决这个问题的关键．根据平行四边形的性质进行逐一判断即可得出答案．
【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确；
②平行四边形的对角相等，邻角互补，故错误；
③平行线间的平行线段相等，故错误；
④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，故正确；
⑤平行四边形的四内角之比可以是2 : 3 : 2 : 3 ，故正确． 则正确的有 3 个，
故选：C．
7 ．A
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键；
设乙同学的速度是x (m/min ) ，则甲同学的速度为1.1x (m/min ) ，然后分别表示行驶的时间，
最后由“乙同学比甲同学提前7min 到达活动地点”建立方程即可．
【详解】解：设乙同学的速度是x (m/min )，则甲同学的速度为1.1x (m/min )，根据题意得：
故答案为：A．
8 ．D
【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形变化-平移，熟练掌握以上知识点是关 键．利用平行四边形性质，根据中位线定理求出点 E 坐标，再求出平移距离，继而得到平 移后点 E 的坐标．
【详解】解：如图，
Q顶点 A ，B 的坐标分别为(0, 3) 和(-4, 0) ，
: OB = 4 ，OA = 3 ，
Q 上ACO = 45。， Ð AOC=90。，
:上OAC = 45。= 上ACO ，
: OC = OA = 3 ，
Q F 为OB 的中点，四边形BDEF 是平行四边形， :DE 是△AOB 的中位线，
由平移的性质可知
: 向右平移距离的距离为 ，
:平移后点 E 的坐标为： .
故选：D
9 ．
【分析】根据当 x =1 时，分式的值为 0，写出一个分式即可．
【详解】解：“当x =1 时，分式的值为 0， :分子可以为x -1，
:分式为： ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件， 分式的值，掌握分式的值为零的条件：分子等于
0 且分母不等于 0 是解题的关键．
10 ．2（或 9 、14 、17 、18，任写一个即可）．
【分析】此题考查了利用二次根式的性质化简，根据题意得到18 - n =1 或18 - n =4 或
18 - n = 9 或18 - n =16 或18 - n =18 ，进而求解即可． 【详解】解：“n 为自然数，且是整数
:18 - n = 1 或18 - n = 4 或18 - n = 9 或18 - n = 16 或18—n = 0 解得n = 17 或n = 14 或n = 9 或n = 2 或n = 18．
故答案为：2（或 9 、14 、17 、18，任写一个即可）．
11 ．x >1 ##1< x
【分析】写出直线 y = 2x 在直线y = mx + n 上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为（1，2），
:关于 x 的一元一次不等式mx + n < 2x 的解集是x > 1 ， 故答案为：x > 1 ．
【点睛】本题考查了一次函数图像的特征、一元一次不等式；关键在于能数形结合，理解对 应相同的自变量，图像上方函数值大于下方的函数值．
12 ．5
【分析】本题主要考查正多边形外角和及三角形内角和，熟练掌握正多边形外角和及三角形 内角和是解题的关键；由题意易得上C = 36。，上CAB = 上CBA ，然后根据三角形内角和可得
上CAB = 上 ，进而根据正多边形的性质可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得：上C = 36° , 上CAB = 上CBA ， :上CAB = 上CBA = = 72° ,
:正多边形的边数 故答案为 5．
13 ．6 + 3
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质， 延长CB 至 Q，使得BQ = BE = 3 ，延长EF 交AC 于点 H，则有 △ABE≌△ABQ ，由折叠的性 质得上FAE = 上BAE, 上AEF = 上AEB, 上FAE = 上BAE = 上BAQ ，上AQB = 上AEB = 上AEF ，设
上FAE = 上BAE = 上BAQ= x ，则上AQB = 上AEB = 上AEF = 90° - x ，故有
上HEC = 180° - 2(90° - x) = 2x ，根据直角三角形的性质得 BD = AD ，所以
上ABD = 上BAD = 90° - 2x ，则上QAC = 上BAC + 上BAQ = 90° - 2x + x = 90° - x ，从而可得 CA = CQ ，设 AB = a ，则 CE = 2AB = 2a ，最后根据勾股定理可得答案.
【详解】解：如图，延长CB 至 Q，使得BQ = BE = 3，延长 EF 交AC 于点 H，
: 上ABC = 90° ,
: 上ABC = 上ABQ = 90° . : AB = AB ，
: △ABE≌△ABQ ，
:上AQB = 上AEB, 上BAQ = 上BAE .
由折叠的性质得上FAE = 上BAE, 上AEF = 上AEB, ，
: 上FAE = 上BAE = 上BAQ ，上AQB = 上AEB = 上AEF ，
设上FAE = 上BAE = 上BAQ = x ，则 上AQB = 上AEB = 上AEF = 90° - x ， ∴上HEC = 180° - 2(90° - x) = 2x .
∵ BD Ⅱ EF ，
∴ 上DBC = 上HEC = 2x ， ∴ 上ABD = 90° - 2x .
∵点 D 是AC 的中点， ∴ BD = AD ，
∴ 上ABD = 上BAD = 90° - 2x ，
∴ 上QAC = 上BAC + 上BAQ = 90° - 2x + x = 90° - x .
∵ 上AQB = 90° - x ， ∴ 上AQB = 上QAC ， ∴ CA = CQ .
设AB = a ，则 CE = 2AB = 2a ， ∴CA = CQ = 2a + 6, BC = 2a + 3 .
根据勾股定理，得CA2 = AB2 + BC2 ， ∴(2a + 6)2 = a 2 + (2a + 3) 2，
解得a = 6 + 3 或a = 6 - 3 （舍去）,
所以AB = 6 + 3 .
故答案为：6 + 3 .
14 ．-1 < x < 1
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中每个不等式的解集，把 它们的解集表示在数轴上，从数轴上找出不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集．
解 解不等式 ① 得：x > -1 ，
解不等式 ② 得：x < 1，
把不等式的解集表示在数轴上：
:不等式组的解集为：-1 < x < 1．
a -1 1
15 ． ．
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，
先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算，然后代入求值即可. 解：原式
当a = 2 时，原式 .
16 ．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质， 等腰三角形的性质，格点作图，解题的关键是 熟练掌握等边对等角．
（1）根据等腰三角形两底角线段，找出格点 P 的位置即可；
（2）根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，找出 AC 垂直平分线与AD 的交点即可；
（3）连接 EC 并延长交AB 于点 N，则 N点即为所求．
【详解】（1）解：如图，点 P 即为所求；（图中四个格点的位置，任取一个即可）
∵ PA = PB ，
: 上PAB = 上PBA ；
（2）解：如图，取 EF 与AD 的交点，即为点M；
∵ EF 垂直平分AC ，
: AM = CM ，
: 上MCA = 上MAC ；
（3）解：如图，连接 EC 并延长交AB 于点 N，则 N点即为所求．
连接DN ，
: AB 垂直平分DE ， : DN = EN ，
: 上DNA = 上CNA ．
17 ．(1)购买一个 A 品牌的篮球需 60 元，购买一个 B 品牌的篮球需 80 元
(2)该校此次最多可购买 33 个 B 品牌篮球
【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用：
（1）设购买一个 A 品牌的篮球需x 元，则购买一个 B 品牌的篮球需(x + 20) 元，根据等量 关系列出方程，解方程并检验即可求解；
（2）设该校可购买a 个 B 品牌篮球，则购买A 品牌的篮球(50 - a )个，根据不等关系列出不 等式并解不等式即可求解；
理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设购买一个 A 品牌的篮球需x 元，则购买一个 B 品牌的篮球需(x + 20) 元， 依题意得 ，
解得：x = 60 ，
经检验，x = 60 是原方程的解，且符合题意， : 60 + 20 = 80 （元），
答：购买一个 A 品牌的篮球需 60 元，购买一个 B 品牌的篮球需 80 元
（2）解：:A 品牌篮球售价比第一次购买时提高了10% ， :60× (1+10%) = 66 （元）
设该校可购买a 个 B 品牌篮球，则购买A 品牌的篮球(50 - a )个，
依题意得：66 (50 - a )+ 80× 0.9a ≤ 3500 ，
100 1
解得：a ≤ = 33 ，
3 3
答：该校此次最多可购买 33 个 B 品牌篮球．
18 ．(1)见解析 (2) 、
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理及其逆定理：
（1）根据平行四边形的性质可得上BAF = 上ABC, 上AFE = 上BCE，可证明 △ AFE≌△ BCE，从 而得到FE = CE ，即可求证；
（2）根据勾股定理逆定理可得以及平行四边形的性质可得 上BAC = 90° , 再由勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， : AD Ⅱ BC ，即 AF ∥ BC ，
:上BAF = 上ABC, 上AFE = 上BCE， ∵点 E 为线段AB 的中点，
: AE = BE ，
: △ AFE≌△ BCE， : FE = CE ，
∵ AE = BE ，
:四边形BCAF 是平行四边形， : BF Ⅱ AC ；
（2）解：∵ AC = 3 ，CD = 4 ，AD = 5 ， : AD2 = AC2 + CD2 ，
: △ACD 是直角三角形，且 Ð ACD=90° , ∵四边形ABCD 是平行四边形，
: AD Ⅱ BC ，AB = CD = 4
: 上BAC = 上ACD = 90° , ∵点 E 为线段AB 的中点， : AE = AB = 2 ，
: CE = = = ．
19 ．(1) (-3, -2)
(2) m = 2，n = 3
【分析】（1）画出图形，根据图形即可求解；
（2 ）由定义可得B2 的坐标是(-9, 5)，即得 解方程即可求解；
l2m - 2x -1 > 0 6 2
（3 ）由定义可得C2 的坐标是(5 - 6x, 2m - 2x - 1) ，即得 íì 5 - 6x < 0 ，得到 5 < x < m - 1 ，
进而可得1< m - ≤ 2 ，据此即可求解；
本题考查了坐标与图形的变化，方程组与不等式组的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：画图如下：
由图可得，A2 的坐标为(-3, -2) ， 故答案为：(-3, -2) ；
（2）解：:点B(3m + n, m - n)关于y 轴和直线y = m 的“美对称点”B2 的坐标是(-9, 5)，
: í ,
l2m - m + n = 5 解得 ， 即m = 2，n = 3 ；
ì-3m - n = -9
（3）点C(6x - 5, 2x +1) 关于y 轴和直线y = m 的“美对称点” C2 为(5 - 6x, 2m - 2x -1)， ”C2 在第二象限，
: í
ì 5 - 6x < 0
l2m - 2x -1 > 0 ，
5 1
: < x < m - ，
6 2
”满足条件的x 的整数解有且只有一个， : 1 < m - ≤ 2 ，
解得
20 ．（1）见解析；（2）AP = 2PO ；（3）见解析．
【分析】（1）在 DF 上截取DG = AF ，连接 BG ，由旋转的性质得出BA = BD，
上ABD = 60° , △ABC ≌△DBE ，证明 △ BDG≥△ BAF(SAS)，由全等三角形的性质得出
BG = BF ，上DBG = 上ABF ，再证明 △BGF 是等边三角形，由等边三角形的性质得出GF = BF， 结合已知条件得出DF = 2AF ．
（2）结合（1）得出线段 AP ，PO 的数量关系AP = 2PO ．
（3）延长PO 到 F，使得OF = OP ．连接BF ，FO ，在BP 上取一点 E，使得BE = BF ，连 接EF ．先证明四边形POFB 是平行四边形，由平行四边形的性质得出PQ = BF ，
BF∥PO ，再证明△BEF 是等边三角形，结合已知条件得出 △ ACP≥△ PEF(SAS)，由全等 三角形性质即可得出AP = 2PO ．
【详解】解：（1）证明：在 DF 上截取DG = AF ，连接 BG ，
”△ABC 绕点 B 逆时针旋转60° 得 △DBE ，
:BA = BD ，上ABD = 60° , △ABC ≌△DBE ， :匕BDG = 匕BAF，又DG = AF ，BD = BA ，
: △ BDG≥ △ BAF(SAS)
: BG = BF ，上DBG = 上ABF ， ”匕ABD = 60° ,
:匕GBF = 匕DBG + 匕DBF = 匕ABF + 匕DBF = 60° , : △BGF 是等边三角形，
:GF = BF，
又”BF = AF ， : GF = AF ，
: DF = DG + GF = AF + AF = 2AF ．
（2）数量关系：AP = 2PO
（3）证明：如图 3 中，延长PO 到 F，使得 OF = OP ．连接BF ，FO ，在BP 上取一点 E， 使得BE = BF ，连接 EF ．
”OB = OQ ，OF = OP ，
:四边形POFB 是平行四边形， :PQ = BF ，BF∥PO ，
: 上EBF + 上BPQ = 180° ,
由旋转的性质可知：上BPQ = 120° , PC = PQ ， : 上EBF = 60° .
: △BEF 是等边三角形，
: EF = BF = BE = PQ = PC ，上BEF = 60° , : BE + EC = PC + EC ，
即BC = EP ，
” △ABC 是等边三角形，
: BC = AC = EP ，上ACB = 60° : 上ACP = 上PEF = 120° ,
又CP = EF ，
: △ ACP≥ △ PEF(SAS)， :AP = PF = 2PO．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质， 等边三角形的判定和性质等知识，构造全等三角形是解题的关键．