2025_2026学年北京师范大学附属中学九年级上册开学考试数学试卷

这是一份2025_2026学年北京师范大学附属中学九年级上册开学考试数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、选择题（每小题 2 分，共 16 分）
1 ．下列二次根式中是最简二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列计算正确的是( )
A ． B ． C ． D ．
3 ．如图，在。ABCD 中，AE 丄 BC 于点E ，上BAE = 35° ,则 Ð C 的度数为( )
A ．115° B ．125° C ．135° D ．145°
4 ．一次函数的解析式为y= x - 2 ，则下列说法正确的是( )
A ．其图象与x 轴的交点坐标为(2, 0) B ．y 随x 的增大而减小
C ．此函数图象经过第一、二、三象限 D ．当x > -2 时，y > 0
5 ． △ABC 中， Ð A ， ÐB ， Ð C 的对边分别是a, b, c ，下列条件中，不能判定△ABC 是直角 三角形的是( )
A ．上A +上B = 90° B ．上A: 上B: 上C = 1: 2: 3
C ． D ．
6．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50 名成年人一周 的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中提供的信息，这 50 人一周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是( )
A ．6 小时、6 小时 B ．6 小时、4 小时
C ．4 小时、4 小时 D ．4 小时、6 小时
7 ．甲、乙两名同学在相同条件下射击打靶 5 次，每次命中的环数如下：
甲：7 ，8 ，8 ，8 ，9 乙：6 ，7 ，8 ，9 ，10
则这两组数据的方差的大小关系是( )
A ．S2甲 > S B ．S2甲 = S C ．S2甲 < S D ．无法确定
8 ．如图，将四个全等的直角三角形 △ABF,△BCG,△CDH,△DAE 围成大正方形ABCD ，中间 是小正方形EFGH ．连接大、小正方形的对角线均交于点O ，连接 AH,BE, CF,DG ．若
DE = 2AE ，下面三个结论：① AH = 2OH ；② ÐBAE = Ð OAH ；③ S正方形ABCD = 10S△AOH (S 表示图形的面积) ．其中所有正确结论的序号是( )
A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③
二、填空题（每小题 2 分，共 16 分）
9 ．函数 中， 自变量 x 的取值范围是 ．
10 ．将一次函数y= x - 2 的图象向上平移 6 个单位长度，平移后的图象对应的函数解析式 为 ．
11 ．一次函数y = ax + b (a ≠ 0) 的图象如图所示，则关于x 的不等式ax + b < 0 的解集 为 ．
12．如图，两个较大正方形的面积分别为 225，289，则字母 A 所代表的正方形的面积为 ．
13 ．如图，矩形 OABC 的顶点 B 的坐标为（2 ，3），则 AC= .
14 ．在数据－1 ，0 ，4 ，5 ，8 中插入一个数 x，使这组数据的中位数为 3，则 x = .
15 ．如图，在。ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且 上ACB = 90° . 若点M是AB 边 的中点，AC = 12，BD = 20 ，则 OM 的长为
16 ．某快餐店的价目表如下：
菜品
价格
汉堡（个）
21 元
薯条（份）
9 元
小明和同学们一共需要 10 个汉堡，5 份薯条，6 杯汽水，那么最低需要 元．
三、解答题（共 68 分）
17 ．计算：
(1) (3 + )(3 - )．
(2) - + (2 - )．
18 ．解下列方程：
(1) (x -1)2 = 9 ．
(2) x2 + 4x - 2 = 0 ．
19 ．如图，在四边形ABCD 中，点E 在BC 上，AE Ⅱ CD ，上ACB = 上DAC ，EF 丄 AB 于点 F ，EG 丄 AC 于点G ，EF = EG ．
(1)求证：四边形AECD 是平行四边形；
(2)若CD = 4 ，上B = 45° , 上CEG = 15° ,求 AB 的长．
20 ．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y = kx + b(k ≠ 0) 的图象经过点(1,1) 和(0, -1) ．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x < 1时，对于 x 的每一个值，一次函数y = mx(m ≠ 0) 的值大于函数y = kx + b (k ≠ 0) 的
汽水（杯）
12 元
1 个汉堡＋1份薯条（A 套餐）
28 元
1 个汉堡＋1杯汽水（B 套餐）
30 元
1 个汉堡＋1份薯条＋1杯汽水（C 套餐）
38 元
值，直接写出 m 的取值范围．
21 ．小颖爸爸为了丰富活动，为小区里的小朋友们搭了一架简易秋千（如图），秋千 AB 在 静止位置时，下端 B 距离地面 0.6m，即 OB ＝0.6m，当秋千荡到 AC 的位置时，下端 C 距离 地面 1.4m，即 CD ＝1.4m，与静止位置的水平距离 OD ＝2.4m，求秋千 AB 的长．
22 ．关于x 的一元二次方程x2 - 2x + 3m - 2 = 0 有实数根．
（1）求 m 的取值范围；
（2）若 m 为正整数，求出此时方程的根．
23 ．小平在学习过程中遇到一个函数 ， 下面是小平对其研究的过程，请补充完 整：
函数 的自变量x 的取值范围是______；
(2)下表是y 与x 的几组对应值．
其中m 的值为______；
(3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系xOy 中，画出函数图象；
x
...
-2
-1
0
1
1.5
1.8
2.2
2.5
3
4
5
6
...
y
...
-1.75
-0.67
0.5
2
3.5
6.8
7.2
4.5
m
4.5
5.35
6.25
...
@过点(0, n)作平行于x 轴的直线l ，结合图像解决问题：若直线l 与函数的图 象有三个交点，则n 的取值范围是______．
24 ．如图1，四边形ABCD 是平行四边形，AC 为对角线，上ACB = 45° , 过点D 作AC 的垂 线，分别交直线AC，BC 于E，F ，连接 AF ．
(1)设上BAC = a ，求 上BAF 的度数（用含a 的式子表示）；
(2)过点B 作AF 的垂线，分别交直线AC，AF 于点M，N ， ①依题意补全图形；
@用等式表示AM，BF，DE 的数量关系，并证明．
1 ．D
【详解】本题考查了最简二次根式，满足：①被开方数不含分数或小数；②被开方数不含 有开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式，据此逐一判断即可求解，掌握最简二 次根式的定义是解题的关键．
解：A 、被开方数 4 = 22 ，含开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不合题意； B 、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意；
C 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意；
D 、 ·、 是最简二次根式，该选项符合题意；
故选：D ．
2 ．C
【分析】本题考查二次根式的混合运算，需掌握二次根式的加减乘除法则． 根据二次根式的加减法，乘法，除法进行计算，逐项分析即可．
解：选项 无法合并，结果不等于 · ,故错误．
选项 不等于3 ，故错误．
选项 计算正确．
选项 结果不等于 ，故错误．
故选 C．
3 ．B
【分析】本题重点考查平行四边形的性质、直角三角形的两个锐角互余、平行线的性质等知 识，求得上B = 90° - 上BAE = 55° ,并且证明CDⅡ AB 是解题的关键．
由AE 丄 BC 于点E ，得 上AEB = 90 ° ,求得 上B = 90° - 上BAE = 55° ,由平行四边形的性质得 CDⅡAB ，则上C = 180° - 上B = 125° ,于是得到问题的答案．
【详解】Q AE 丄 BC 于点E ， :上AEB = 90° ,
Q 上BAE = 35° ,
:上B = 90° - 上BAE = 55° ,
∵四边形是ABCD 平行四边形， : CDⅡAB ，
:上C = 180° - 上B = 125° , 故选：B．
4 ．A
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，利用数形结合 的思想解答是解答本题的关键．
根据一次函数y= x- 2 的性质，逐一分析各选项的正误．
【详解】解： A ．图象与x 轴的交点在y = 0 时，代入得0= x - 2 ，解得x =2 ，故图象与x 轴 的交点为(2, 0) ，正确；
B ．一次函数k = 1 > 0 ，故y 随x 的增大而增大，而非减小，错误；
C ．k = 1 > 0 ，-2 < 0 ，图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，错误；
D ．当y > 0 时，x - 2 > 0 ，解得 x > 2 ．而题目中条件为x>- 2，此时x 在-2 到2 之间时 y < 0 ，错误．
故选：A．
5 ．D
【分析】本题考查直角三角形的判定方法， 包括角度和为90° 及勾股定理的逆定理，解题的 关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
利用三角形的角度和勾股定理的逆定理逐一验证各选项是否满足条件即可．
【详解】解：选项 A：若上A +上B = 90° , 则上C = 180° - 90° = 90° , 故△ABC 为直角三角形， 可判定，不符合题意；
选项 B：上A: 上B: 上C = 1: 2: 3 ，总份数为 6，计算得上 ，故 △ABC 为直角 三角形，可判定，不符合题意；
选项 验证勾股定理 即2 = 2 ，成立，故 △ABC 为直 角三角形，可判定，不符合题意；
选项 最长边为 验证勾股定理：
不满足勾股定理，故无法判定为直角三角形，符合题意； 故选：D．
6 ．A
【详解】出现最多的是 6 小时，则众数为6；
按大小循序排列在中间的两个人的锻炼时间都为 6 小时，则中位数为 6．
故选 A．
7 ．C
【分析】本题考查了求方差， 比较甲、乙两组数据的方差， 需先计算各自的平均数，再利用 方差公式计算方差，然后比较大小，据此进行分析计算，即可作答．
【详解】解：依题意，甲同学的平均数 乙同学的平均数
5 5 5
则S = (6 - 8)2 + (7 - 8)2 + (8 - 8)2 + (9 - 8)2 + (10 - 8)2 = 4 +1+ 0 +1+ 4 = 10 = 2 ；
∵ 0.4 < 2 ，
: S2甲 < S ，
故选：C．
8 ．D
【分析】此题主要考查了正方形的性质， 全等三角形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握 全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．①设
DE = a ，则 DE = 2AE = 2a ，进而得 AE = EH = DH = a 证明 △AEH 是等腰直角三角形得 ,根据正方形性质得 △OEH 是等腰直角三角形，由勾股定理得
由此可对结论①进行判断；
@根据正方形性质得 △OAB 是等腰直角三角形，的上OAB = 45° ,再根据 △AEH 是等腰直角 三角形得上EAH = 上EHA = 45° ,进而得 上OAB = 上EAH = 45° ,继而得 上BAE = 上OAH ，由 此可对结论@进行判断；
③先由勾股定理求出得S正方形ABCD = 5a2 ，证明上AHO = 90° ,再根据 ， 得S△ 由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①设AE = a ， : DE = 2AE = 2a ，
由全等三角形的性质得：DH = AE = a ，
: EH = DE - DH = a ， : AE = EH = DH = a
∵ △AED 是直角三角形， : 上AED = 90° ,
: △AEH 是等腰直角三角形，
由勾股定理得
在正方形EFGH 中，EH = a，OE = OH，EG 丄 FH ， : △OEH 是等腰直角三角形，
由勾股定理得
: 2OH = /2a ， : AH = 2OH ， 故结论①正确；
②在正方形ABCD 中，OA = OB ，AC 丄 BD ，
: △OAB 是等腰直角三角形， : 上OAB = 45° ,
∵ △AEH 是等腰直角三角形， : 上EAH = 上EHA = 45° ,
: 上OAB = 上EAH = 45° ,
: 上BAE + 上EAO = 上OAH + 上EAO ，
: 上BAE = 上OAH ， 故结论②正确；
③在Rt△AED 中，AE = a ，DE = 2a ，
由勾股定理得 : S正方形ABCD = AD2 = ( a )2 = 5a2 ，
∵ △OEH 是等腰直角三角形，
: 上OHE = 45° , 又∵ 上EHA = 45° ,
: 上AHO = 上EHA + 上OHE = 90° , : △AHO 是直角三角形，
又
: S正方形ABCD = 10S△AOH ， 故结论③正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③ .
故选：D．
9 ．x ≥ 1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 可得x -1 ≥ 0，解不等式即可，熟知根号下需要 大于等于 0，是解题的关键．
【详解】解：根据二次根式的意义，有x -1≥ 0 ， 解得x ≥ 1，
故自变量 x 的取值范围是x ≥ 1， 故答案为：x ≥ 1．
10 ．y = x + 4
【分析】本题主要考查了函数图象平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质，向上平移则加上平移的单位长度，然后进行整理即可．
【详解】解： 根据函数图象平移的性质得，将一次函数y= x - 2 的图象向上平移 6 个单位长 度，
则平移后的函数解析为y = x - 2 + 6 = x + 4 ， 故答案为：y = x + 4 ．
11 ．x < 1
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数y = ax + b (a ≠ 0) 与y = 0 的 上下位置关系找出不等式ax + b < 0 的解集是解题的关键．
根据图象得：当x < 1时，函数图象位于x 轴下方，此时y < 0 ，即可求解． 【详解】解：通过图象可知，直线与x 轴的交点坐标为(1,0) ，
:不等式ax + b < 0 的解集为x < 1， 故答案为：x < 1．
12 ．64
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，字母 A 代表的正方形的面积= a2 = c2 - b2 = 289 - 225 = 64 ， 故答案为：64．
【点睛】本题考查了勾股定理，正确理解题意、熟练掌握求解的方法是解题的关键．
13 ． 、/13
【分析】连接 BO，根据 B 点坐标求出 OB 的长，由矩形的性质即可得到 AC 的长． 【详解】如图，连接 BO ，:B 的坐标为（2 ，3），
:四边形 OABC 是矩形
故答案为： 、 ．
【点睛】此题主要考查矩形的对角线长度，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用．
14 ．2
【分析】根据中位数的定义得到给数据-1 ，0 ，4 ，5 ，8 中插入一个数据 x，共有 6 个数，最 中间的数只能为 x 和 4 ， 根据上述分析可得 ，由此进行计算即可得到 x 的值.
【详解】解：原数是按从小到大的顺序排列的，
∵插入 x 后中位数是 3，
:插入的数在 0 和4 之间，且 :x=2.
【点睛】本题主要考查的是中位数的定义，熟记中位数的定义是解题的关键；
15 ．4
【分析】本题考查平行四边形的性质， 三角形中位线定理，勾股定理，解题的关键是掌握相 关知识解决问题．利用勾股定理求出BC 再利用三角形中位线定理求解．
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
Q 上ACB = 90° ,
Q AM = BM，AO = OC ，
故答案为：4 ．
16 ．300
【分析】由题意可知， A 、B 、C 套餐的优惠力度分别为 2 元、3 元、4 元，如果三样商品数 量比较接近的话，选择 C 套餐会更划算，但是本题汉堡的数量接近于薯条和汽水之和，所 以应该选择套餐搭配的方式，尽量保证每个商品都能在套餐里购买，所以，选择 5 份 B 套 餐、4 份 A 套餐和 1 份 C 套餐，会更优惠．
【详解】选择 5 份B 套餐、4 份A 套餐和 1 份 C 套餐价格最低，需要花费 30×5+28×4+38×1=300 元，
故答案为：300．
【点睛】本题属于创新题型， 主要考查的了方案选择，比较贴合生活实际，需要学生梳理出 有哪些方案，根据一定的规律找到最优方案．
17 ．(1) 7
(2) 、/3
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是关键．
（1）利用平方差公式计算即可；
（2）先化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：(3 + )(3 — )
= 32 - ( )2
= 9 - 2
= 7 ；
（2）解： — + (2 — ) = 3 — 2 + 2 — 2
= ·、 ．
18 ．(1) x1 = 4 ，x2 = -2
(2) x1 = -2 + ，x2 = -2 -
(3) x = -23
(4) x = 0
【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程，解分式方程，熟练掌握解方程的步 骤是解题的关键．
（1）运用直接开平方法解方程即可；
（2）运用公式法解方程即可；
（3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为 1 的步骤解方程即可；
（4）先给方程两边同乘以(x +1)(x -1) ，将分式方程化成整式方程，再按照解整式方程的步
骤求解，最后再进行检验即可． 【详解】（1）解：“ (x -1)2 = 9 ， : x -1= ±3，
: x1 = 4 ，x2 = -2 ．
（2）解：“Δ = 42 —4 × 1 × (—2) = 24 > 0，
（3）解： 去分母，得2(x - 7) - 3(1+ x) = 6 ，
2x -14 - 3 - 3x = 6 ，
-x = 23 ，
解得x = -23 ．
（4）解：方程 两边同乘以(x +1)(x -1) ，得x (x + 1) + (x—1) = (x + 1)(x—1)， x2 + x + x - 1 = x2 - 1，
2x = 0 ，
解得x = 0 ，
检验：当x = 0 时，(x +1)(x -1) ≠ 0 ， : x =0 是原方程的解．
19 ．(1)见解析
(2) AB = 2 + 2
【分析】（1）证明 AD Ⅱ CE ，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AE = CD = 4 ，进而证明Rt△AFE≌Rt△AGE (HL)，再证明 △BEF 是等腰直角三角形，然后证明由含30。的直角三角形的性质得BF = EF = 2 ，进而由勾股定 理求出AF 的长，即可解决问题．
【详解】（1）证明：“ 上ACB = 上DAC ， : AD Ⅱ CE ，
“AE Ⅱ CD ，
:四边形AECD 是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形 AECD 是平行四边形， : AE = CD = 4 ，
“EF 丄 AB，EG 丄 AC ，
: 上AFE = 上AGE = 90。，
在Rt△AFE 和Rt△AGE 中，
= AE
= EG
{
lEF
ìAE
,
: Rt △AFE≌Rt△AGE (HL)， : 上AEF = 上AEG ，
∵上BFE = 180° - 90° = 90°, 上B = 45° , : △BEF 是等腰直角三角形，
: BF = EF，上BEF = 45° ,
: 上FEG = 180° - 上BEF - 上CEG = 180° - 45° -15° = 120° ,
: 上EAF = 90° - 上AEF = 30° ,
: AB = AF + BF = 2 + 2 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形 的判定与性质、平行线的判定、含 30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌 握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20 ．(1) y = 2x -1；
(2)1≤ m ≤ 2 ．
【分析】可不是主要考查运用待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行可相交问题 （1）运用待定系数法求解析式即可；
（2）画出图象，结合图象可知当m = 1时，两直线相交于点(1,1) ，当m = 2 时，两直线平行， 故可得出结论
【详解】（1）解：∵一次函数y = kx + b(k ≠ 0) 的图象经过点(1,1) 和(0, -1) ， :把(1,1) 和(0, -1) 代入y = kx + b(k ≠ 0) 得，
í
ìk + b = 1
l b = -1
解得
:一次函数的解析式为y = 2x -1
（2）解：如图，
当m = 1时，两直线相交于点(1,1) ， 当m = 2 时，两直线平行，
所以，m 的取值范围为1≤ m ≤ 2
21 ．秋千 AB 长 4 米
【分析】设秋千 AB 的长为 x，表示出 AE，在直角三角形 ACE 中，利用勾股定理列出方程， 求出方程的解得到 x 的值，确定出秋千 AB 的长即可．
【详解】解：如图
设秋千 AB 的长为 x，则 AE＝x﹣（1.4﹣0.6）＝（x﹣0.8），
在 Rt△AEC 中，利用勾股定理得：x2＝（x﹣0.8）2+2.42， 整理得：1.6x ＝6.4，
解得：x ＝4．
则秋千 AB 得长为 4 米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
22 ．（1）m≤1；（2）x1 = =x2 1．
【分析】（1）根据题意得出关于 m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据 m 的范围可知 m=1，代入原方程后解方程即可求出答案．
【详解】解：（1）∵原方程有实数根， :△=(-2)2-4×1×（3m-2）=12-12m≥0 ， :m≤1；
（2）∵m 为正整数，又 m≤1， :m=1．
当 m=1 时，原方程为 x2-2x+1=0，
即(x -1)2 = 0 ，解得 x1 = =x2 1．
【点睛】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式以及解一元二次方程，解题的关键：
（1）由根的情况得出关于 m 的一元一次不等式；（2）确定 m 的值．本题属于基础题，难度 不大，解决该题型题目时，由方程根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关 键．
23 ．(1) x ≠ 2
(2)4
(3)①见解析；@ n > 4
【分析】本题主要考查函数图象与性质：
（1）由分母不能为零，即可得出自变量x 的取值范围；
把x =3 代入则可求出m 的值；
（3）①根据描点，连线画出函数图象；@观察函数图象可知，在直线y = 4 时即n =4 ，直 线y = 4 与函数有 2 个交点，在n > 4 时，有 3 个交点，故可得结论
【详解】（1）解：∵
x - 2 ≠ 0 ，
: x - 2 ≠ 0 ，即 x ≠ 2 ， 故答案为：x ≠ 2 ；
解：当x = 3 时 故答案为：4；
（3）（3）①描点，连线得，
②观察函数图象可知，在直线y = 4 时即n =4 ，直线y = 4 与函数有 2 个交点，
在n > 4 时，有 3 个交点， 故答案为：n > 4 ．
24 ．(1) Ð BAF = 90° - 2a
【分析】（1）根据三角形外角性质得到 上ABF = 45° + a ，根据平行四边形性质得到 AB = DC ，上CAD = 上ACB = 45° ,根据 DF 丄 AC ，推出 上ECF = 上EFC = 45° ,
上EAD = 上EDA =45°,得到 EF = EC ，EA = ED ，推出 △AEF≌△DEC (SAS) ，推出
AF = AB ，得到 Ð AFB = Ð ABF = 45° + a ，根据三角形内角和定理得到 Ð BAF = 90° - 2a ；
（2）①过点 B 作直线MN 丄 AF 于点 N，交射线 AC 于点M；②设AD = 2b，CF = 2a ，根 据等腰直角三角形性质得到DE = b，CE = 2a， 根据平行四边形性质得到BF = 2a - 2b ，
过点 B 作BG 丄 AM 于点 G，证明 △CBG≌△ADE (AAS) ，得到 AE = CG ，得到
根据BN 丄 AF ，证明上M = 上AFE ，根据上AFE = 上DCE ，上DCA = 上BAC ， 得到上BAC = 上M ，得到AB = MB ，得到 即得
【详解】（1）解：∵ 上ACB = 45° , 上BAC = a ，
: 上ABF = 上ACB + 上BAC = 45° + a ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，
: AD∥CB ，AB = DC ， : 上CAD = 上ACB = 45° , ∵ DF 丄 AC ，
: 上CEF = 上AED = 90° ,
: 上ECF = 上EFC = 45° , 上EAD = 上EDA=45° ,
: EF = EC ，EA = ED ， ∵ 上AEF = 上DEC ，
: △AEF≌△DEC (SAS) ，
: AF = DC ， : AF = AB ，
: Ð AFB = Ð ABF = 45° + a ，
:上BAF = 180° - (上AFB + 上ABF) = 180° - 2(45° + a) = 90° - 2a ；
（2）解：①如图，补全图形：
② AM = BF + 2DE ．证明： 设AD = 2b，CF = 2a ，
则DE = b，CE = a ， ∵ AD = BC = 2b ，
: BF = 2a - 2b ，
过点 B 作BG 丄 AM 于点 G， 则上CGB = 上AED = 90° ,
∵ 上ACB = 上CAD ，
: △CBG≌△ADE (AAS) ，
: AE = CG ，
: AG = CE = a ， ∵ BN 丄 AF 于点 N， : 上BNA = 90° ,
: 上MAN+ 上M = 90° , ∵ 上AFE + 上FAE = 90° ,
: ÐM = ÐAFE ，
由（1）知， △AEF≌△DEC ， : ÐAFE = ÐDCE ，
: AB∥CD ，
: ÐDCA = ÐBAC ，
: ÐBAC = ÐM ，
: AB = MB ，
【点睛】本题主要考查了平行四边形与全等三角形综合．熟练掌握平行四边形性质，全等三 角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角 性质，三角形内角和定理，是解决问题的关键．