2026年高考数学一轮专题复习资料练习 19.恒成立问题高三备考核心考点与应用

这是一份2026年高考数学一轮专题复习资料练习 19.恒成立问题高三备考核心考点与应用，共76页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4265" 1.求导以后的因式分解策略专项训练 PAGEREF _Tc4265 \h 3
\l "_Tc1252" 2.单调性分析 PAGEREF _Tc1252 \h 10
\l "_Tc10857" 3.对数“单身狗”，指数“找朋友” PAGEREF _Tc10857 \h 17
\l "_Tc22157" 4.参数分离方法与“副产物” PAGEREF _Tc22157 \h 20
\l "_Tc24122" 5.端点效应与必要性探路 PAGEREF _Tc24122 \h 26
\l "_Tc15452" 6.不等式放缩 PAGEREF _Tc15452 \h 32
\l "_Tc28946" 7.同构变换与恒成立问题 PAGEREF _Tc28946 \h 37
\l "_Tc3414" 8.导数恒成立与数列不等式 PAGEREF _Tc3414 \h 45
\l "_Tc6344" 9.函数与导数中的“凸凹反转”技巧与应用 PAGEREF _Tc6344 \h 51
\l "_Tc5565" 10.双变量恒成立问题与应用 PAGEREF _Tc5565 \h 57
\l "_Tc30736" 11.恒成立问题中的主元方法 PAGEREF _Tc30736 \h 64
\l "_Tc8351" 12.泰勒展开式及其在恒成立问题中的应用 PAGEREF _Tc8351 \h 72
1.求导以后的因式分解策略专项训练
本文想通过下面几个例子来说明对导函数处理的基本模式.马上就要进入到导数新授课了，初学导数必须要把握住讨论导数的核心是关注它的正负，零点，所以对其进行因式分解这一步至关重要，不管将来介绍多少种技巧方法，但是最基本的导数应用思想却需要从一开始就要融入的.
一．基本原理
1.对数求导完后要通分，分母明确正负号后也要通分，都有指数项要提出来等等.
2.把握一些基本的的模型：考虑以下函数，
①
②，或者
其中第一种函数是讨论的基础，我们需要讨论该函数的一些主要性质，例如取点等.（公众号：凌晨讲数学整理，更多免费资料，请前往公众号下载）
至于后续如何产生，需从导函数角度入手考虑，其中：
，，即它们的导函数均是可以因式分解的优良结构，这就意味着分别可能最多有两个和三个极值点，性质非常丰富！
3.在上述函数结构的讨论中，我们需要注意与指数有关的不等式放缩，它是相关找点问题中的重要方法，主要有这些：等.
4.在下面的例子中，我们将看到指数加多项式结构函数的一些典型应用，它们或是讨论单调性，恒成立，零点个数，或是讨论由极值点构成的双变量问题.不管哪种，求导之后及时的对导数进行因式分解是关键步骤.同时要注意，在指数配多项式的恒成立问题中，“指数找基友”技巧也是极其重要的.
5.先猜（看）根，再分解.很多题目中（特别是多项式），命题人往往都会给到一个看得出来的零点，此时我们就可以做这样的因式分解，举个例子：求的零点.
可以发现是方程的一个实数根,所以是多项式的一个因式,因此,设1),又通过展开整理,所以.对比系数可得：,解得.综上所述,原式，故而求得的零点.
二．典例分析
例1.已知函数
（1）若时，求证：在上有唯一极值点.
（2）若，不等式恒成立，求的取值集合.
解析：（1）由题意：，所以，令，，令，，所以在上单调递减，又因为，所以在恒成立，故在上单调递减，因为，，所以存在唯一的，使得，故当时，，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，故在上有唯一极大值点.
（2）令，则当恒成立.
因为（至关重要的一步）
当时，恒成立，故在上单调递增，故，满足题意.（公众号：凌晨讲数学整理，更多免费资料，请前往公众号下载）
当或时，，
故在上恒成立，故，满足题意.
当时，令，，，则在上单调递减，在上单调递增，令，故在上单调递减，在上单调递增，而所以存在唯一，使得，所以当时，，所以当时，，所以在时恒成立，不满足题意.故的取值集合为.
例2.设函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）当存在小于零的极小值时，若，且，证明：．
解析：（1）由，当时，在上为单调递增函数.
在上为单调递减函数.
当时，令，当时，，，当时，，此时；
当时，，此时；当时，，此时；故当时，恒成立，故在上为单调递增函数
当时，或，，故在和上为单调增函数，在上为单调减函数.
当时，或，，故在上为单调减函数，在和上为单调增函数.
综上所述：当时，在上为单调递增函数.在上为单调递减函数.当时，若，在上为单调递增函数；若，在和上为单调增函数，在上为单调减函数；若，在上为单调减函数，在和上为单调增函数.
（2）略.
例3.（2017年全国1卷）已知函数
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围.
解析：（1）的定义域为，，
若，则，所以在单调递减.若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
（2）若，由（1）知，至多有一个零点.
若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.
例4．已知，函数.
（1）若，证明：当时，：
（2）若函数存在极小值点，证明：
解析：（1）若，则，设，
，设，
，则在上单调递增，，即，
于是在上单调递增，，即，所以当时，.
（2）函数，其定义域为，
，
由（1）知在上单调递增，，当时，，当时，，则由，解得或，其中且，即且，否则恒有，则在上单调递增，函数无极值点，不符合题意.
若，即，当时，，
当时，，则在上单调递增，在上单调递减，因此是的极小值点，，若，即，当时，，当时，，则在上单调递增，在单调递减，因此是的极小值点，，又，于是，综上所述，函数存在极小值点.
例5．已知函数（e是自然对数的底数）．
（1）当时，试判断在上极值点的个数；
（2）当时，求证：对任意，．
解析：（1）在上只有一个极值点，即唯一极小值点；
（2）证明：由，
设，则在上是增函数，当时，，因为，所以，所以存在，使得，当时，，则，即在上单调递减，当时，，则，即在上单调递增，故是函数的极小值点，也是最小值点，则，又因为，所以，即证：对任意，，
即证：对任意，，设，则在上单调递减，因为，所以，故，
故对任意，.（公众号：凌晨讲数学整理，更多免费资料，请前往公众号下载）
2.单调性分析
一.基本原理：恒成立问题的一般形式为：若函数的定义域为，任意的，都有等价于即可，其他情形可类比得到. 于是，解决恒成立问题的第一种方法就是值域方法，实质就是找到函数在其定义区间上的最大值或最小值，在这个过程中我们需要借助导数来讨论原函数的单调性进而求得值域.
二．典例分析
例1.（2012全国卷）设函数.
（1) 若,求的单调区间;
（2）当时恒成立，求的取值范围.
解析：（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加
（2），由（1）知，当且仅当时等号成立.故
，从而当，即时，，而，于是当时，.由可得.从而当时，，故当时，
，而，于是当时，.
综合得的取值范围为.
例2.（2020全国1卷）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
解析：方法1.（直接讨论）
因为等价于，构造函数
，则，，且.所以在内单调递减，在内单调递增，此时.
（ⅰ）若，即，则在内单调递增，
在内单调递增，，不等式恒成立；
（ⅱ）若，即，则当，.所以在内单调递减，而，故当时，在内单调递减，不合题意.
（ⅲ）若，则由，
，可知存在，此时在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，且，
若，则恒成立，在内单调递增，，不等式恒成立；若，则存在，此时在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，且，要使
恒成立，只需要，此时，
，消去，得，解法
，由得，故，综上，的取值范围是
.
例3．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
解析：（1），，.，∴切点坐标为(1,1+e),∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即,切线与坐标轴交点坐标分别为,
∴所求三角形面积为．
（2）,，且.设,则∴g(x)在上单调递增，即在上单调递增，
当时，,∴,∴成立.当时， ，，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，
因此>1,∴∴恒成立；当时， ∴不是恒成立.综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
例4．已知函数.
（1）求的极值；
（2）当时，，求实数的取值范围.
解析：（1）求导得，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）由题知不等式在上恒成立，
则原问题等价于不等式在上恒成立，
记，，
记，则恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以存在，使得，即当时，，此时；当时，，此时，所以在上单调递减，在上单调递增，
由，得，，
所以，
①当时，因为，所以不等式恒成立，所以；
②当时，因为存在，使得，而，此时不满足，所以无解.综上所述，.
三．习题演练
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷）已知函数
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求的取值范围．
解析：（1）时，，其中，则，因为，当且仅当时等号成立，故，而成立，故即，所以的最小值为.，
（2）的定义域为，设为图象上任意一点，
关于的对称点为，因为在图象上，故，而，
，所以也在图象上，由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）因为当且仅当，故为的一个解，所以即，先考虑时，恒成立.此时即为在上恒成立，设，则在上恒成立，设，则，当，，
故恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立.当时，，故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.当，则当时，故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.而当时，而时，由上述过程可得在递增，故的解为，即的解为.综上，.
2．（2024年高考全国甲卷数学（理））已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．
解析：（1）当时，，故，因为在上为增函数，故在上为增函数，而，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2），设，则，
当时，，故在上为增函数，故，即，
所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上，.
3．已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数的极小值为0，求a的值；
（3）在（2）的条件下，若对任意的，成立，求实数k的最小值
【详解】（1）当时，，则，故，又，故在点处的切线方程为
（2），故当时，单调递增，当时，单调递减，故当时，取极小值，故，故
（3）由（2）知，故，故对任意的，成立，只需要对任意的，，记，则，
①时，此时，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取极小值也是最小值，
故，不符合题意，
②当时，此时，故当时， ，单调递增，
故，符合题意，
③当时，此时，故当时， ，单调递减，故，不符合题意，
④当时，故当时， ，单调递减，故，不符合题意，
综上可得，所以实数的最小值为.
3.对数“单身狗”，指数“找朋友”
一．基本原理
由于很多函数中都包含指数或对数项，在处理时我们有一个技巧：“指数找基友，对数单身狗”，其原理如下：
，.
以为底的指数函数具有求导不变性和恒正性，所以给它找“基友”求到后可不再考虑指数函数对正负号的影响，而对数则不具有这样的性质，反而越求导越麻烦，所以让它单独出现，同时对数的定义域决定了当它单独求到后的正负号易于判断.
二．典例分析
例1.（2020全国1卷）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
等价于，令，则
.
若，此时在上增，且，不合题意.
若，故在上减，在增，故欲使得，故当时，满足题意.
若，则，故，满足题意.综上所述，
.
例2.已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）若,求证：当时,.
解析：（1）依题意,的定义域为,当
时,在单调递减;当时,当时,,当时,,∴在单调递减,在单调递增;
当时,当时,,当时,,∴在单调递增,在单调递减;
综上,当时,在单调递减;当时,在单调递减,在,单调递增;当时,在单调递增,在单调递减;
（2）当,要证明,即证明,
∵只需证明,即,
设,则
,设,则
当时,;当时,；∴在单调递减,在单调递增;∴,当时,;当
时,在单调递减,在单调递增∴当
时,.
例3.已知函数.
（1）设是的极值点,求,并求的单调区间;
（2）证明:当时,.
解析:（2）当时,要证,只需设,则，由，得，令，当时，，当时，,所以是的最大值点，故当时,,所以当时,.
4.参数分离方法与“副产物”
“副产物”1：二次求导
例1．已知函数，．
（1）求的单调区间与最值；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
解析：（方法一：参数分离）
令，则，为了讨论导函数正负号，令，则，故
故在上递减，则需.
综上所述，.
（方法2.带参讨论）
（2）设
当，即时，，在上单调递增，
，，所以成立；
当，即时，，在上单调递减，，即，所以；
当时，，当，单调递增，
当，单调递减，所以
，令，
，所以，成立．综上，a的取值范围为．
“副产物”2：隐零点代换
例2.已知函数（，为自然对数的底数），.
（1）若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
解析：（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根，由，知
有两个零点有两个相异实根.令，则，
由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，，又，当时，，当时，
当时，，有两个零点时，实数的取值范围为；
（2）当时，，原命题等价于对一切恒成立
对一切恒成立.令
，，令，，则
，在上单增，又，
，使即①，当时，，当时，，即在递减，在递增，
由①知，函数在单调递增，即，，
实数的取值范围为.
“副产物”3：渐近线
例3.若函数恰有两个极值点,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
解析:由题意,函数的定义域为在上有两个不相等的实数根,所以在上有两个不相等的实数根,令
,其大致图象如图所示,要使在上有两个不相等的实数根,则,即,即,所以实数的取值范围是
,.
习题演练
1．已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）试讨论函数的单调性；
（3）当时，不等式恒成立，求整数a的最大值．
【详解】（1）当时，则，可知的定义域为，且，令，解得；令，解得，
可知的单调递减区间是，单调递增区间是，所以函数的最小值为.
（2）由题意可知的定义域为，且，当时，恒成立，所以的单调递减区间是，无单调递增区间.当时，令解得，令，解得；令，解得，
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（3）当时，不等式恒成立，即，整理可得，原题意等价于对任意恒成立，令，则，令，则，所以在区间上单调递增，因为，，所以在区间内存在唯一零点，即，所以，当时，，即；当时，，即；可知在区间上单调递减，在区间上单调递增；所以，因为，则，即，且为整数，则，所以整数的最大值是4.
2．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值．
【详解】（1）当时，，所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，无极小值.
（2），当时，恒成立，所以在上单调递增，当时，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，综上所述：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，上单调递减.
（3）在时恒成立，即恒成立，令，则，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，且
，所以在存在唯一实数，使得，即，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，上单调递增，所以，故，又，整数的最大值为5．
3．已知函数.
（1）若，求曲线在处切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若时，恒成立，求实数a的取值范围
【详解】（1）若，则，，可得，
即切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为，即.
（2）由题意可知：的定义域为，且，
令，即，则有：当，即时，则，即，所以在内单调递增；当，即时，则方程有两个不相等的实根，，且，
若，即，令，解得；，解得；则在内单调递减，在内单调递增；若，即，令，解得或；，解得；则在内单调递减，在内单调递增；综上所述：当时，在内单调递增；
当，在内单调递减，在内单调递增；
若，在内单调递减，在内单调递增.
（3）因为，整理可得，令，原题意等价于对任意恒成立，因为，令，则对任意恒成立，可知在内单调递减，则，
即对任意恒成立，可知在内单调递减，则，
可得，解得，所以实数a的取值范围为.
5.端点效应与必要性探路
一．真题分析.
（2023年甲卷T21） 已知 .
（1）当时, 讨论的单调性；
（2）若, 求的取值范围.
解析： (1) ,
.
令, 得 。
当时, 单调递增;当时, 单调递减，∴ 在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减.
(2)
由于，且
注意到当即时，使在成立，故此时 单调递减 ∴，不成立.
另一方面： 当时, ，下证它小于等于0.
令
综上所述: .
必要性探路是恒成立问题中一种重要的处理手法，由于恒成立问题的任意性，我们可以通过特数值来缩小参数范围.特别地，如果恒成立问题恰好在端点处取到最值，利用连续函数的保号性，可以进一步得到端点效应，下面详细说明其原理.
二．基本原理.
端点效应的原理：
1.必要条件缩小范围：
①若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即此法应用于区间端点值包含参数的情况.
②若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况.
③若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况.
2.充分性求结果：（公众号：凌晨讲数学整理，更多免费资料，请前往公众号下载）
求判断的单调性，然后表示的最小值，使得即可.注意第2步一定要利用第一步中的参数的范围.
注：必要性探路（端点效应）求出的参数范围可能是所求范围，可能比所求范围要大，所以利用上面原理缩小完参数范围后一定要反过来证明充分性是否成立！
三．更多案例
例2．（2022新高考2卷）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：．
解析：（2）必要性探路
由题知，因为，所以，解得，下面证明对且恒成立.
只需证明对恒成立对恒成立（令，则） ①对恒成立，设，则
，所以，故①式成立，则的取值范围为
例3．（2022达州一诊）已知函数．
（1）当时，求函数在上的最小值；
（2）若恒成立，求实数的值．
必要性分析：令，则. 考虑在处的三阶泰勒展开：
，
进一步整理可得：
考虑的临域内，的主要性态由其展开式的低次项决定，这样的话，若时，则在时，，而在时，，这与恒成立矛盾，于是，下面进行充分性证明.
充分性证明：定义域为，，
令，则，
若，由（1）知，则，在区间恒成立．
若，因为，，，，，则，
所以即是增函数．当时，，，
所以．又因为，所以存在正数，使得.
当时，，是减函数，所以，不合题意．
若，因为，，，，．则，所以是增函数，当时，，
．又，所以存在正数，使得，
当时，，是增函数，所以，不合题意．
若，因为，，，，，则，是增函数．因为，所以当时，，不合题意．综上所述，实数的值为．
例4.（2019成都三诊）设函数.
当时，判断是否为函数的极值点，并说明理由；
当时，不等式恒成立，求的最小值.
解:（1）当时，.令，则
当时，. 即在内为减函数，且
∴当时，;当时，. ∴在内是增函数，在内是减函数. 综上，是函数的极大值点.
（2）由题意，得，即. 现证明当时，不等式成立，即. 即证，令
则 ∴当时，;当时，. ∴在内单调递增，在内单调递减， 的最大值为.
∴当时，.即当时，不等式成立. 综上，整数的最小值为.
例5．已知函数．
（1）当时，研究函数的单调性；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
解析：（1）因为，所以，所以函数的定义域为，且，构造函数，则，
令，得，∴当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．∴，∴，
∴当时，，所以当时，，当且仅当时等号成立，
所以当时，，当且仅当时等号成立，
∴，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当时等号成立，∴在上单调递增．
（2）∵，，等价于
，令，，构造函数，∴，，．令，，，
注意到．当时，，∴，当时，，即当时，，所以在上单调递减，所以，不符合题意．
当时，令，，，
∴单调递增，则，当时，则，，单调递增，．
∴，单调递增，，符合题意．综上所述．
6.不等式放缩
一．基本原理
首先来梳理常见的不等式及其构造原理.
1.切线不等式：
高中几个重要的函数都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式：
； 1.2 ；
将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式：
①
②；
③；

2. 高次不等式放缩
2.1 ； 2.2 ；
2.3 ； 2.4 .
3.分式不等式放缩
3.1 3.2
4.数列不等式

取： 则： 取：则：
二．典例分析
例1.证明：当时，.
解析：一方面，由，得，当且仅当时取到等号.另一方面：
不等式，当且仅当时取到等号.于是可知，为函数和的公切线，且切点不同.于是，证毕.
注：此题实质和下面这道2013年高考试题同源.
练习1.（2013新课标2）已知函数
（1）设是的极值点，求,并讨论的单调性；
（2）当时，证明．
例2.已知函数的导函数为.
（1）当时，判断的零点个数，并说明理由.
（2）证明：，.
解析：本题仅就第二问的命题手法做一解析
将所证不等式转化为，令，可知，
利用导数可证得，由此可得到
，
令，只需证明当时，即可.
练习2.已知函数.
（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；
（2）证明：当时，.
此处仅从不等式放缩角度给出第二问的原理.
一方面，由于，等号成立当且仅当，另一方面，，等号成立当且仅当.将上述两式相乘可得：

因此，只需证明：成立即可.这个不等式易证，此处不再赘述.
在不等式试题中，还经常考察与对数有关的数列不等式，下面我们通过一个例子，展示其基本手法.
例3．（2017新课标3卷）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
解：（1）的定义域为．
①若，因为，所以不满足题意；
②若，由知，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故是在的唯一最小值点．由于，所以当且仅当时，．故．
（2）由（1）知当时，令得，从而
故，而，所以的最小值为3．
三．习题演练
习题1.（成都市2018届二诊）已知函数.
（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
解析：（1）由，得恒成立，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，
所以，即，故的取值范围是；
（2）有（1）知时，有，所以.
＝ 1 \* GB3 ①要证，可证，只需证，易证，所以； ＝ 2 \* GB3 ②要证，可证，易证.
由于，所以，所以，综上所述，当时，证明：.
习题2.（安庆市2018届联考）已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：当时，都有.
解析：（1），令，则，
当时，，所以，当时，，所以，所以函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）要证明，即证，
令，则， 当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，，所以.要证，只需再证即可.易证，当且仅当时取等号（证明略），所以，综上所述，当时，都有.
习题3.已知函数．
（1）当时,讨论的单调性；
（2）当时,,求a的取值范围；
（3）设,证明：．
解析：（1）略.
（2）设,则,
又,设,则,
若,则, 故存在,使得,总有,
故在为增函数,故时,
故在为增函数,故时,与题设矛盾.
若,则,
设,故,
故在上为减函数,故,即时成立.
所以,故总成立,即在上为减函数,所以.当时,,所以, 所以在上为减函数,所以.
综上,a的取值范围是.
（3）取,则,总有成立,令,则,
故即对任意的恒成立. 所以对任意的,有,整理得,
故
,故不等式成立.
7.同构变换与恒成立问题
一．基本原理
若能够变形成，然后利用的单调性，如递增，转化为，即为同构变换.
例如：
1.直接变形：
（1）积型：（同左）；
（同右）；
（取对数）.
说明：取对数是最快捷的，而且同构出的函数，其单调性一看便知.
（2）商型：（同左）；
（同右）；
（取对数）.
（3）和差型：（同左）；
（同右）.
2.先凑再变形：
若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形.常见的有：
= 1 \* GB3 ①；（公众号：凌晨讲数学整理，更多免费资料，请前往公众号下载）
= 2 \* GB3 ②；
= 3 \* GB3 ③
④
⑤
二．典例分析
例1.（2022全国甲卷）已知函数.
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若有两个零点，证明：.
解析：（1），令，则，于是
.于是等价于在上恒成立，故.
例2.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.
（1）解：函数的定义域为，且.当时，因为，则，此时函数的单调递减区间为；当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：，设，其中，则，设，则，当时，，，且等号不同时成立，则恒成立，当时，，，则恒成立，则在上单调递增，又因为，，所以，存在使得，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，作出函数的图象如下图所示：由（1）中函数的单调性可知，①当时，在上单调递增，当时，，当时，，所以，
，此时，不合乎题意；②当时，，且当时，，此时函数的值域为，即.（i）当时，即当时，恒成立，合乎题意；
（ii）当时，即当时，取，结合图象可知，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.
例3.已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式恒成立，求a的取值范围．
解析：由题意知，令，所以，所以．
于是．
由于，而在时为增函数，故，即，分离参数后有．
令，所以．
当时，单调递增；当时，单调递减．
所以当时，取得最大值为．所以．
例4．已知函数.
（1）求的极值；
（2）当时，，求实数的取值范围.
解析：（1）求导得，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，无极大值.
（2）由题知不等式在上恒成立，
原问题等价于不等式在上恒成立，
即在上恒成立.
记，则，当单调递减，单调递增，
因为即，
①当时，因为，所以不等式恒成立，所以；
②当时，令，显然单调递增，且，
故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解.综上所述，.
习题演练
1对任意，若不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由，得，即，所以.令，设，则当时单调递减，当时，单调递增，故当，故故，则，即.记，则，当单调递增，当单调递减，所以，故，由，得，即，当时，上式取等号，所以.综上，的取值范围为故选：D.
2已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是 .
【解析】因为在上连续，又，所以要使无零点，需使在其定义域上恒成立．于是原问题转化为，求的取值范围．
，，，，
，令，所以在上单调递增，又由式得，所以，即恒成立．
令，令得．因为当时，，所以在上单调递增；因为当时，，所以在上单调递减，
所以是的极大值点，，所以，即．
综上所述，的取值范围为．故答案为：.
3.若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解析】当时，可化为，
令，则，所以在上单调递减．
令，则，所以在上单调递增，
所以，因此当时，．
所以，即．则不等式可化为，
所以在上恒成立，因此，即实数的取值范围为．
故选：A．
4．已知函数，（）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）若对任意恒成立，求整数a的最小值.
【详解】（1）当时，，所以，所以切线方程为，即.
（2）因为，所以，
设，则，又因为，所以，即单调递增，又因为，所以时，，即；时，，即，综上可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（3）因为对任意恒成，即，，即，即，设，则，
易知单调递增，所以，所以单调递增，则原不等式等价于，即 对任意恒成立，所以，令，则，又因为，令，则，所以单调递减;又因为，，
所以，所以时，，即，单调递增；时，，即，单调递减；所以，所以，而，所以整数的最小值为.
5．已知函数.
（1）当时，求函数极值；
（2）讨论在区间上单调性；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，当时，，求导得，由，得，由，得，由，得，因此在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，无极小值.
（2）由，在时，，若，,即在区间上单调递增；若，,即在区间上单调递减；若，令，令，知在上单调递增，在上单调递减；综上所述：时，在区间上单调递增；时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）由，
，设，则，设，则，
当单调递减；当单调递增；
.
8.导数恒成立与数列不等式
1.由不等式可得：.
例1.（2017全国3卷）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．
解析：（2）由（1）知当时，，令得，从而.
故,而，所以的最小值为3．
例2．已知函数，其中且．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：；
（3）求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）
解析：（1）函数的定义域为，，
①当时，，所以在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，所以，所以在上单调递减，
当时，，所以，所以在上单调递增.
综上，当时，函数在上调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)当时，，要证明，
即证，即，
设，则，令得，可得，
当时，，当时，．
所以，即，故.
（3）由（2）可得，（当且仅当时等号成立），
令，，则，
故………
…，即…， 故….
2.利用前n项和的性质构造导数不等式
将看作为新数列的前项和，求出对应的项，则不等式即可看成是
的形式，可以通过证明项的大小关系（即）来得到和的大小关系
例3．已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围；
（3）设，证明：．
解析：（3）设，设的前项和为，则，
当时，，
要想证明，即证明，
即证明，即证明
令，，
构造函数，
在上恒成立，，
在恒成立，恒成立，
时，①，时，②，时，③，
时，，，
把所有不等式都相加，成立.
所以原不等式
3.利用常见导数不等式放缩构造
例如：由不等式可得：，这类问题多与对数不等式有关，利用对数的运算性质实现有效的裂项和放缩.
例4．已知函数，．
（1）若是函数唯一的极小值点，求实数的取值范围；
（2）证明：．
解析：（1），且，令，则，
①当时，，则单调递增，当时，，
当时，，即当时，单调递增，当时，单调递减，即可证得是函数唯一的极小值点；
②当时，，所以存在使得，在单调递减，即当时，，所以在单调递减，与是函数唯一的极小值矛盾，综上：，从而实数的取值范围为.
（2）由（1）证明可知，当且时，即，，
当时，，即，
故可得：，
令，
，
两式相减可得：，
化简可得：.
故.
例5．已知函数，.
（1）当时，，求实数的取值范围；
（2）已知，证明：.
解析：（1）解：令，则，当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，所以，，即，所以，当时，，即，当时，取，由于，而，得，故，不合乎题意.综上所述，.
（2）证明：当时，由（1）可得，则，可得，即，即，令，所以，，所以，，即，
所以，，，令，则，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，故，则，所以，，，所以，
习题演练
1．已知函数，.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）证明：对，恒成立（为的导数）；
（3）设，证明：（）.
【详解】（1），可得，又，所以曲线在点处的切线方程为．
（2）令，，则，，
令，则在上恒成立，故在单调递增，其中，故在上恒成立，故在上单调递增，
故，即恒成立．
（3）设，证明．令，，因为，所以在上单调递减，所以，从而，．由于，
所以．由（2）知，（），所以．设，①，则，②，①－②得，所以．
2．若存在实数，对任意，使得函数，则称在上被控制.
（1）已知函数在上被控制，求的取值范围.
（2）（i）证明：函数在上被1控制.
（ii）设，证明：.
【详解】（1）令，，则，
当时，，所以在上单调递增，因为，所以恒成立.当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
（2）（i）要证明函数在上被1控制，只需证明，即证.令，可得.
当时，，即在区间上单调递增，所以，原命题得证.
（ii）由（i）可知，当时，，
则，即，
则有，
即，
故.
9.函数与导数中的“凸凹反转”技巧与应用
凌晨讲数学
一．基本原理
1.凸凹反转首先是证明不等式的一种技巧，欲证明，若可将不等式左端拆成，且的话，就可证明原不等式成立. 如下图，我们一般选取为上凸型函数，为下凹型函数来完成证明.

由上图可知，我们可以在之间引入“隔离”函数来完成证明，即已知两个函数，为这两个函数公共定义域的一个连续的非空子集，如果对于任意的，都有，那么函数就叫做在集合上的一个“隔离函数”.如图，隔离函数最简单的方式就是公切线.
3.如何辨识凸凹反转，这就需要我们了解一些常见函数的凸凹性，下表给出了相关总结[1]：
总之，可以看到，具有凸凹性的函数就是我们熟悉的导数“六金花”及其衍生，说一千道一万，还是得对下面的函数图像多加了解.


4.凸凹反转也是命制一些零点问题的一种视角，若方程有唯一根，且可进一步转化为，而为上凸型函数，为下凹型函数，这样唯一的零点就会出现在一个函数的最低点和另一个函数的最高点！
二．典例分析
★应用1.直接凸凹反转解决恒成立
例1．（24年南充市高二下期末考试）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：
设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；
设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，
则称在区间上的图形是凸的（图2）．区间为凸的区间；
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：
设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么
①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；
②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有
其中是的导函数，为的一阶导数：是的导函数，为的二阶导数．
根据以上内容，完成如下问题：
（1）求函数的凹的区间和凸的区间；
（2）若在区间上图象是凹的，求实数的取值范围；
（2）证明：．（公众号：凌晨讲数学整理，更多免费资料，请前往公众号下载）
解析：（1），令，解得或；令，解得.因此，函数的凹的区间是和，凸的区间是.
（2），在区间上图象是凹的，，即.所以，即.令，即函数在上单调递减.所以，因此，实数的取值范围是.
（3），构造函数，令，解得， 易知函数在上单调递增，在上单调递减.所以，因此，，当且仅当时取等号.构造函数，令，则，易知函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因此，当且仅当时取等号.
综上，.
例2.（2013全国卷）设函数，曲线在点处的切线为．
（1）求；
（2）证明：．
解析：（2），从而等价于．
设函数，则，所以当时，；如下图所示.
当时，．故在上单调递减，在上单调递增，
从而在上的最小值为．设函数，则．
所以当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为（1）
；因为（1），所以当时，，即．
例3．已知函数.
（1）当时，，求实数的取值范围；
（2）证明：.
解析：（1）当时，等价于.令函数，则.
若，则单调递减，，不符合题意.若，则，.因为函数在上单调递增，所以
.当时，单调递减，，不符合题意.若，则单调递增，，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围是
（2）由（1）知:当时,.要证，只需证，
即证 .令函数，则
当时，单调递减；当时，，单调递增.故，即.当时，单调递增；当时，单调递减.故，因为，所以，即，从而.
★应用2.构造公切线（隔离函数）完成凸凹反转
例4．（2023届温州一模）已知，函数的最小值为2，其中，．
（1）求实数a的值；（公众号：凌晨讲数学整理，更多免费资料，请前往公众号下载）
（2），有，求的最大值．
解析：（1）由题意知，，则，
令，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，解得，
经检验，符合题意.故.
（2） 凸凹性与切线分析
不等式可化为，因此可看做过点的直线夹在两支曲线中间.当直线与相切时，令切点为，则，因此为方程的根，即，所以.当直线与相切时，令切点为，则，因此为方程的根.
只需，即，
当直线为两支曲线的公切线时取到最大值.
习题演练
1．已知函数，．
（1）若和在同一点处有相同的极值，求实数的值；
（2）对于一切，有不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，求证：．
【详解】（1）因为，且定义域为，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，所以函数有极小值为，无极大值，又和在同一点处有相同的极值，所以，即.
（2）若使对于一切，不等式恒成立，则只需使得不等式恒成立，即只需，设，则，所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，所以，所以，即的取值范围为.
（3）若证，则只需证明，即证，设，则，故当时，；时，，所以在单调递减，在单调递增，故①；设，则，
故当时，；时，，所以在单调递增，在单调递减，故②，所以由①②，，又由于与不在同一个变量时取得最值，所以，综上所述，即.
参考文献：[1]. 张扬，段小龙.再探“隔离函数”问题的探究.[J].数学通讯
10.双变量恒成立问题与应用
1 基本原理.
第1类.“任意=存在”型
，使得,等价于函数在上上的值域是函数在上的值域的子集,即.
其等价转化的基本思想:函数的任意一个函数值都与函数的某一个函数值相等,即的函数值都在的值域之中.此类型出现频率最高.
第2类.“存在=存在”型
，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不为空集,即.
其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.
第3类.“任意≥(≤、>、