2025-2026学年吉林省四平实验中学高二（上）期初数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年吉林省四平实验中学高二（上）期初数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(1+5i)i的虚部为( )
A. −1B. 0C. 1D. 6
2.在某次高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学第一个解答题的得分情况如下：7，9，5，8，6，1，则这组数据的极差和方差分别为( )
A. 8,203B. 6,203C. 8，7D. 8，6
3.已知向量a=(0,1)，b=(2,x)，若b⊥(b−4a)，则x=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
4.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2bcsB=acsC+ccsA，则B=( )
A. 2π3B. 5π6C. π6D. π3
5.正方形ABCD中，AP=2PD，CQ=2QB，设AD=a，AB=b，则PQ=( )
A. −14a+bB. a−14bC. −13a+bD. a−13b
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为( )
A. 2 3πB. 3 3πC. 6 3πD. 9 3π
7.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，下列说法正确的是( )
A. AC−AE=BFB. AC+AE=12AD
C. AD⋅AB=AD⋅DED. AD=2(AB+AF)
8.设α、β为两个平面，m、n为两条直线，且α∩β=m.下述四个命题：
①若m//n，则n//α或n//β
②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β
③若n//α且n//β，则m//n
④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n
其中所有真命题的编号是( )
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.定义复数运算：z1Θz2=z1−z2−+z1z2，已知z=1+2i，若复数ω满足zΘω=10，则( )
A. ω可以是3+i
B. |ω|的最小值为 5
C. ω在复平面内对应的点不可能位于第二象限
D. zω的实部是5
10.有一组样本数据x1，x2，⋯，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( )
A. x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，⋯，x6的平均数
B. x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，⋯，x6的中位数
C. x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，⋯，x6的标准差
D. x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，⋯，x6的极差
11.如图，在单位正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，下列命题中正确的是( )
A. 在点P运动过程中，直线A1P与BC1始终为异面直线
B. 三棱锥D−BPC1的体积为定值
C. 异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值
D. 在点P运动过程中，不存在某个位置，使得面AB1P//平面BDC1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知△ABC中，AB= 3,∠B=π6，BC=4，则AC= ______．
13.某班男女生的比例为3：2，全班的平均身高为168cm，若女生的平均身高为159cm，则男生的平均身高为______cm．
14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r1和r2，母线长分别为2(r2−r1)和3(r2−r1)，则两个圆台的体积之比V甲V乙= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,a= 3且2c=2acsB+b．
(1)求A；
(2)求三角形ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
已知|a|=4,|b|=2，且a与b夹角为120°，求：
(1)|a+b|；
(2)a与a+b−的夹角；
(3)若向量2a−λb与λa−3b平行，求实数λ的值．
17.(本小题15分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，且∠A=60°，AD=PD=2，AB=PB=4．
(1)证明：平面BCD⊥平面PAD；
(2)当二面角D−PA−B的平面角的正切值为 6时，求直线BD与平面PBC所成的角．
18.(本小题17分)
某市为了创建文明城市，共建美好家园，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．
(1)求图中x的值；
(2)求这组数据的中位数、平均数；
(3)已知满意度评分值在[80,90)内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为[80,90)的人中按照性别采用分层抽样的方法抽取5人，并分别依次进行座谈，求前2人均为男生的概率．
19.(本小题17分)
△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4asinA=bsinCcsA+csinAcsB．
(1)求sinAsinC的值；
(2)若BD是∠ABC的角平分线．
(i)证明：BD2=BA⋅BC−DA⋅DC；
(ⅱ)若a=1，求BD⋅AC的最大值．
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.D
5.C
6.B
7.D
8.A
9.BCD
10.BD
11.ABC
12. 7
13.174
14. 64
15(1)三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,a= 3且2c=2acsB+b，
由正弦定理得2sin(A+B)=2sinC=2sinAcsB+sinB，
则2sinAcsB+2sinBcsA=2sinAcsB+sinB，
所以csA=12，
根据0