高中人教版向量教案

这是一份高中人教版向量教案，共5页。

课题
1.1.2空间向量数量积的运算
课型
新授课
课时
2
学习目标
1.结合立体几何与空间向量的特征,知道投影向量的概念.
2.类比平面向量,能进行空间向量的数量积运算.
3.类比平面向量并借助空间图形,知道空间向量的有关运算律,能运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.
学习重点
两个向量的数量积的计算方法及其应用.
学习难点
将立体几何问题转化为向量的计算问题.
学情分析
学生在高一上学期已经学过平面向量的数量积运算，空间向量的数量积运算，是继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归
纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础.
高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅.
核心知识
两个向量的数量积的计算方法及其应用.
教学内容及教师活动设计
（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）
教师个人复备
情景引入
回忆平面向量的数量积相关内容
研探新知
1.空间向量的夹角
如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则角AOB叫作向量a,b的 ,记作 .
2.夹角的取值范围:a与b的夹角的取值范围是 ,其中当=0时,a与b方向 ;当=π时,a与b方向 ;当=时,a与b .反之,若a∥b,则=0或π;若a⊥b,则=.
3.数量积的相关概念及性质
已知两个非零向量a,b,则 叫作a,b的数量积,记作a·b,即a·b= .
特别地,零向量与任意向量的数量积为0.
4.空间向量数量积的性质
(1)a⊥b⇔a·b= .
(2)a2=a·a=|a||a|cs= .
(3)cs= .
5.投影向量的概念
如下表格总结
概念
图形表示
符号表示
向量a在向量b上的投影向量
c
向量a在直线l上的投影向量
向量a在平面β上的投影向量
注:向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.
6.空间向量数量积的运算律
(1)(λa)·b= ,λ∈R.
(2)a·b= (交换律).
(3)(a+b)·c= (分配律).
例题及练习
例1 如图所示,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:
例2 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)求与的夹角;
(2)求异面直线BC1与CA所成角的大小.
练习 在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E，F分别是D′D，DB的中点，G在棱CD上，CG＝eq \f(1,4)CD，H为C′G的中点.
（1）求证：EF⊥B′C；
（2）求EF与C′G所成角的余弦值；
（3）求FH的长．

课堂小结
1．知识收获：空间向量的夹角的定义、表示方法、取值范围；两个空间向量的数量积运算和运算法则；利用空间向量的数量积证明共线和垂直以及求夹角和距离．
2．方法收获：类比方法、数形结合方法、转化变形方法．
3．思维收获：类比思想、转化思想．
板书设计
空间向量的夹角
空间向量的数量积
空间向量的投影向量
例题及练习
课堂小结
作业
作业设计
课本第8页 1-4题
教学反思
1.学生在理解空间向量数量积概念时，可能对其几何意义（与向量长度、夹角的关系）理解不深入，教学中可通过具体图形、实例，如力做功模型（力与位移的数量积表示功） ，帮助学生理解.
2.对于空间向量数量积运算律，学生可能受实数乘法运算律影响，错误类比结合律，教学中通过反例说明结合律不成立，加深学生印象.
3.在利用空间向量数量积解决立体几何问题时，学生难以准确选择合适向量表示几何元素，建立向量关系与几何关系的联系。教学中通过典型例题示范，引导学生分析几何图形结构，确定关键向量，逐步掌握解题方法.