重庆市第八中学校2026届九年级上学期开学考试数学试卷（含答案）

这是一份重庆市第八中学校2026届九年级上学期开学考试数学试卷（含答案），共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．5C．D．
2．下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．要调查下列问题，适合采用全面调查方式的是（ ）
A．调查一批最新型炮弹的杀伤半径
B．调查中央电视台《开学第一课》的收视率
C．调查一批华为手机电池的使用寿命
D．调查全班同学每月做家务的次数
4．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
5．若点，在反比例函数图象上，则，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．下列四个数中，最小的是（ ）
A．B．C．D．
7．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，它们是由边长相同的小正方形组成的有规律的图案，其中第1个图中有5个小正方形涂有阴影，第2个图中有9个小正方形涂有阴影，第3个图中有13个小正方形涂有阴影……按照这样的规律，第10个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）
A．20B．21C．40D．41
9．如图，正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接，交边于点G．点H为的中点，连接并延长交于点K．若时，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
10．已知整式，其中n，，，…，，为自然数，为正整数，，且满足．下列结论正确的是（ ）
①当时，满足条件的整式M有6个；
②满足条件的整式M中只有15个单项式；
③满足条件的整式M共有23个．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．一个不透明布袋里有2个黑球和1个白球（仅有颜色不同），则从中任意摸出一个球后，放回后再摸一次，摸出两个黑球概率为 ．
12．已知：，且是整数，则 ．
13．如图，，点在这两条平行线之间，且，连接并延长，交的延长线于点．若，，则 度．（用含的代数式表示）
14．已知实数a，b满足，，且a≠b，则的值为 ．
15．在四边形中，，，连接，交于点，过点作交于，交于，且，则 ，若，，则 ．
16．现有一个四位自然数，它的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，满足，称这个四位数为“1234数”，例如：6742，满足，则称6742是一个“1234数”．则最大的“1234数”是 ；现有一个“1234数”M，将它的百位数字和千位数字交换位置，再将它的十位数字和个位数字交换位置，得到一个新的四位数，则是一个整数，且是一个完全平方数，则所有满足条件的M的和为 ．
三、解答题
17．解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解．
18．小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线．
(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明∵垂直平分，
∴①__________，．
∵，
∴②__________．
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
∵④__________，
∴四边形为菱形．
19．先化简，再求值：，再从，0，2，4中选择一个合适的值代入求值．
20．学校团委举行以“传承五四精神，展现青春风采”为主题的团史知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析（成绩得分用x表示，单位：分，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），共分成四组：A．；B．；C．；D．，部分信息如下：
七年级20名学生的竞赛成绩为：75，77，78，79，79，81，85，87，87，87，89，90，91，93，93，94，95，96，97，98；
八年级20名学生的成绩在C组的数据是： 90，91，91，91，92；
七、八年级所抽学生成绩统计表
(1)上述图表中_______，_______，______；
(2)通过以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的团史基础知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
(3)该校七年级有1600名学生、八年级有1000名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有多少人？
21．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，2024年商家报价双枪充电桩单价比单枪充电桩单价高2000元，小区购得的3个单枪充电桩和5个双枪充电桩共花费34000元．

(1)求2024年单枪、双枪两款新能源充电桩的单价；
(2)2025年商家对新能源充电桩进行促销，小区花费15000元购入单枪新能源充电桩，花费16000元购入双枪新能源充电桩，此次购入的双枪新能源充电桩的单价比单枪新能源充电桩的单价高1500元，单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多，请问2025年该小区购入单枪、双枪新能源充电桩各多少个？
22．如图，在中，，，，动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点B时停止运动，连接，．点N以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止．两点同时出发，设运动时间为x秒（），过点N作于点E．的面积为，的周长与的周长之比为．

(1)请直接写出、关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合图象，当时，请直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
23．如图，A、B为两个海上基地，基地B位于基地A正东方向，一艘海警快艇航行至C处，测得基地A位于其南偏西方向，距离20海里处，基地B位于其东南方向．
(1)基地A与基地B相距多少海里？（结果保留一位小数）
(2)一艘可疑船只从基地B出发以每小时10海里的速度沿正北方向航行，快艇接到通知（忽略接收信息的时间）马上从C点出发以每小时20海里的速度沿北偏东某方向进行追击，并在D处成功追上可疑船只，求追上可疑船只时快艇追击距离是多少海里？
（参考数据：，，）
24．如图1，在平面直角坐标系中直线：交坐标轴于A、B两点，直线：过点B交y轴于点C，且．
(1)求直线的解析式；
(2)点H为线段上一动点，连接，且，点P，Q为y轴上的两个动点，点P在点Q的上方，且，G为线段的中点，连接，，求最小值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将直线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到直线，交直线于点E，交y轴于点F，点M为上一动点，连接，当时，请直接写出点M的坐标，并写出其中一种情况的求解过程．
25．在等腰三角形中，，点D是线段的中点，点E是中垂线上的一点，连接、．
(1)如图1，当点E在边上时，若，求的长度；
(2)如图2，当点E在内部时，延长至点F，连接、，若平分，点G为的中点，求证：；
(3)如图3，当点E在外（下方）时，与交点H，若为等腰直角三角形，，K为平面内一点，将沿翻折得到，射线交于点M，当最短时，请直接写出的值．
参考答案
1．B
解：的相反数是5．
故选：B．
2．C
解：A原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.原图是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.原图不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．D
解：由于炮弹具有破坏性，如果对所有炮弹都进行测试，那么这批炮弹就会全部被消耗掉，无法再投入使用，所以适合采用抽样调查的方式，而不是全面调查，故选项A不符合要求．
要调查《开学第一课》的收视率，需要了解全国范围内众多观众的收视情况，全面调查的工作量极大，几乎是不可能完成的，而且成本也很高，所以通常采用抽样调查的方式，故选项B不符合要求．
测试手机电池的使用寿命需要将电池使用到损坏，这属于破坏性调查。如果对整批电池都进行测试，那么这批电池就会全部报废，没有实际价值，所以适合采用抽样调查的方式，故选项C不符合要求．
全班同学的数量相对较少，对全班同学每月做家务的次数进行调查，能够准确地获取每个同学的情况，且调查工作量不大，可以进行全面调查，故选项D符合要求．
故选：D．
4．C
解：，
，
和的相似比为，
和的面积之比为，
故选C．
5．A
解：在反比例函数中，，
所以该函数的图象在第二、四象限，
且在每一象限内随的增大而增大．
已知点的横坐标，点的横坐标，
因为函数的图象在第二、四象限，
且第二象限的点横坐标小于，第四象限的点横坐标大于，
所以点，都在第四象限．
因为点、都在第四象限，
且在第四象限内随的增大而增大，
又因为，即，所以．
故选：A．
6．D
【详解】选项A：，其中．
选项B：，其中．
选项C：，其中．
选项D：，其中．
因为，
所以和小于和。
由于这两个数的相同，都为，此时比较的值，，
所以．
综上，四个数中最小的是，
故选：D．
7．A
解：设快马x天可追上慢马，
由题意得：．
故选：A．
8．D
解：第个图案中阴影小正方形个数：；
第个图案中阴影小正方形个数：；
第个图案中阴影小正方形个数：；
……
由此可推，第个图案中阴影小正方形个数为．
当时，阴影小正方形个数为，．
故选：D ．
9．A
解：连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，
设，
∵，
∴，
根据勾股定理，得x2+9=x+12，
解得，
∴，
∴，
故sin∠BFE=BEEF=55，
∴HK=KFsin∠BFE=5×55=5，
故选：A．
10．C
解：当时，，，
∵为正整数，
∴或2或3或4或5，
共5个，都是单项式，
故①错误；
当时，，，即，
∵n，，，…，，为自然数，为正整数，，
∴，可以为或或或或或或或，共8个，其中单项式的是或或或，共4个；
当时，，，即，
∵n，，，…，，为自然数，为正整数，，
∴，，可以为或或或或或，共6个，其中单项式的是或或，共3个；
当时，，，即，
∵n，，，…，，为自然数，为正整数，，
∴，，，可以为或或2,0,0,0，共3个，其中单项式的是或2,0,0,0，共2个；
当时，，，即，
∵n，，，…，，为自然数，为正整数，，
∴，，，，可以为1,0,0,0,0，共1个，其中单项式的是1,0,0,0,0，共1个；
当时，为正整数，
∴，不存在，
综上所述，满足条件的整式M中，单项式有（个），故②正确；
满足条件的整式M共有（个），故③正确，
即正确的有②③，共2个，
故选：C．
11．
解： 把2个黑球分别记为黑1、黑2，白球记为白．
因为是有放回地摸球，第一次摸球的结果和第二次摸球的结果相互组合，
列表如下：
从列表中可以看出，总共有9种等可能的结果．
其中两次都摸出黑球的结果有：（黑1，黑1）、（黑1，黑2）、（黑2，黑1）、（黑2，黑2），共4种．
所以摸出两个黑球的概率．
综上，摸出两个黑球的概率为．
故答案为：．
12．4
解：∵，
∴，
又∵，
∴m=4，
故答案为：4．
13．
解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
解：已知，，
将两式相减可得：a2-b2=(2b+7)-(2a+7)
去括号得：a2-b2=2b+7-2a-7
合并同类项得：．
对因式分解得；
对提取公因式得2(b-a)=-2(a-b)．
则(a+b)(a-b)=-2(a-b)．
因为a≠b，所以a-b≠0，等式(a+b)(a-b)=-2(a-b)两边同时除以，
可得：．
故答案为：．
15．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△AFB≌△EFBASA，
∴，，
∴，
∴，
由，设，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴AC=AG+CG=6+10=16，
如图，过作于点，过作于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
∴，
∴3192-b2=162-519-b2，
解得：，
∴，
∴AN=3192-3919192=245719，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
16． 9990 7062
解：∵要使四位数最大，千位数字a要尽可能大，a最大为9，
百位数字b也应尽可能大，设，
由a+2b=3c+4d，将，代入可得9+2×9=3c+4d，即27=3c+4d，
∵，为整数且，，
要使c尽可能大，从开始尝试，若，
∴3×9+4d=27，
∴4d=0，
解得，
所以最大的“1234数”是9990；
设“1234数”M=1000a+100b+10c+da≠0，
∴a+2b=3c+4d；
∴交换百位与千位、十位与个位得M'=1000b+100a+10d+c，且，
∴M-M'=9100a-b+c-d，
∵为整数，即9100a-b+c-d99=100(a-b)+c-d11，
故需为整数．
需是11的倍数，
∵a+2b+3c+4d是完全平方数．
a+2b=3c+4d，
∴a+2b+3c+4d=2a+2b，
需为偶数的平方，因此需为．
当时，
可能的组合：，
∵，故不符合题意，排除．
时，
可能的组合：8,0,6,1,4,2,2,3，
∵，故8,0需舍去．
∵3c+4d=8，解得唯一整数解c,d=0,2．
检查：仅a,b=4,2时，4-2+0-2=0，可得 ．
∴，符合．
时，
可能的组合：8,5,6,6,4,7,2,8．
3c+4d=18，解得整数解c,d=6,0,2,3．
检查：仅a,b=2,8且c,d=6,0时，2-8+6-0=0，对应M=2860．
∴，符合题意．
满足条件的M为4202和2860，其和为．
故答案为：9990，7062．
17．，数轴见解析，不等式组的整数解为0，1，2，3
解：
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式组的解集为，
解集在数轴上表示为：
不等式组的整数解为0，1，2，3．
18．(1)见解析；
(2)①；②；③；④
（1）解：如图即为所求作；
（2）解：证明∵垂直平分，
∴，．
∵，
∴．
在和中，
∠EDO=∠FBODO=BO∠DOE=∠BOF
∴△EDO≌△FBOASA，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形为菱形．
19．；
解：原式
．
要使原式有意义．
∴且且．
∴．
当时，
原式．
20．(1)87，90.5，25
(2)八年级学生的团史基础知识竞赛成绩更好，理由见解析
(3)估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有620人
（1）解：七年级的数据中出现次数最多的是87，故：；
八年级组，组的数据个数为：，
∴第10个和第11个数据分别为：，故；
，
∴；
故答案为：87，90.5，25；
（2）八年级学生的团史基础知识竞赛成绩更好，理由如下：
由表格可知，八年级学生的成绩的平均数高于七年级学生的平均数，故八年级学生的团史基础知识竞赛成绩更好；
（3）（人）；
答：估计该校七、八年级参加此次知识竞赛成绩优秀的学生共有620人．
21．(1)3000元；5000元
(2)6个；4个
（1）解：设2024年单枪充电桩的单价为x元，则双枪充电桩的单价为元
由题意知：
解得：
∴
答：2024年单枪充电桩的单价为3000元，则双枪充电桩的单价为5000元．
（2）解：设：2025年购入双枪充电桩的数量为m个，则单枪充电桩的数量为个．
由题意知：
解得：
经检验：是分式方程的解，且符合题意
∴
答：2025年购入单枪充电桩的数量为6个，则双枪充电桩的数量为4个．
22．(1)；；
(2)见解析，性质：当时，随的x增大而增大，当时，随x的增大而减小．
(3)
（1）解：∵在中，，，，
由勾股定理可得，，
∵动点M从点C出发，沿C→A→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，
当点M在C→A上运动时，即时，
∴，
过点M作，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
当点M在C→A→B上运动，即点M运动到上时，即时，
连接，如图，
∴，即MB=4-x-5=9-x，
∴S△MBC=12×BC×MB=12×3×9-x=-32x+272；
∴；
∵，，，
∴的周长为，
∵点N以每秒个单位长度的速度从点C出发，沿C→A方向匀速运动，至点A停止，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴的周长为，
的周长与的周长之比为，
即；
（2）解：由（1）知，，，
列表如下：
函数、图象如图，
性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小．
（3）解：根据图象可知，若，
则表示函数的图象在函数的图象的上方的x的取值范围，
∴由图象可得，x的取值范围为．
23．(1)海里
(2)11海里
（1）解：如图，过点作于点，
由题意知：海里，，，
在中，，，
∴，
∴（海里），
在中，由勾股定理得：
∴（海里），
在中，，，
∴海里，
∴海里，
∴基地A与基地B相距海里．
（2）解：如图，过点作于点，
在四边形中，，
∴四边形为矩形，
∴海里，海里，
设快艇的追及时间为小时，
由题意知：海里，海里，
∴海里，
在中，，
∴由勾股定理得：，
∴，
解得：，（舍去），
∴（海里），
∴追上可疑船只时快艇的追击距离为11海里．
24．(1)
(2)
(3)，；求解过程见解析
（1）解：∵直线：交坐标轴于A、B两点，
令，解得，即，
令，即，解得，即，
∵，
∴，
∵直线：过点B交y轴于点C，
∴，解得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：过点H作y轴平行线交直线BC于点K，如图，
设H点得坐标为m,-m+2，则K点坐标为，
∴S△HBC=12HK⋅xC-xB=12-m+2-12m+1×2=-32m+3，
∵，
∴-32m+3=32，
∴，
∴H点的坐标为，
将点H沿着y轴向下平移个单位得到点，
作点关于y轴的对称点，连接，，
∴点的坐标为，
由题意知点G坐标为，
∴，
当点，Q，G三点共线时取等号，
∴的最小值为，当点，Q，G三点共线时取得最小值．
（3）解：，
由题意知：直线的解析式为：，
当点M在点E的右侧时，
∴，，
∴∠HNB＝∠HME，
∴∠HNB＝∠OBC，
∴HM∥OB，
∴直线的解析式为：y4=1，
令：y3=y4，得：，
解得，
∴．
25．(1)
(2)见解析
(3)
（1）解：∵等腰三角形中，，
∴，
∴，
∵点E是中垂线上的一点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点D是线段的中点，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，延长至点M，使，连接、，
∵点G为的中点，
∴，
∴是的中位线，即，
延长至点N，使，连接，
∵平分，
∴，
∵点E是中垂线上的一点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
（3）解：由题知，将沿翻折得到，可看作将沿翻折得到，如图所示，为直角三角形，，
∵点E是中垂线上的一点，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴为定值，
所以只需最小时，取得最小值，
由垂线段最短知垂直于时最小，
延长和交于点T，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
87.55
88
八年级
88.5
91
第一次摸球
第二次摸球
黑1
黑1
黑1
黑2
黑1
白
黑2
黑1
黑2
黑2
黑2
白
白
黑1
白
黑2
白
白
1
5
7
6
3
10
2