2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第07讲函数与方程(复习讲义)(原卷版+解析版)

这是一份2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第07讲函数与方程(复习讲义)(原卷版+解析版)，共46页。
01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 2
\l "_Tc199181715" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc199181715 \h 3
\l "_Tc199181716" 03核心突破·靶向攻坚3
\l "_Tc199181717" 知能解码3
\l "_知识点1 指数与指数幂的运算" 知识点1 函数的零点3
\l "_知识点2 指数函数的图像与性质" 知识点2 二分法4
\l "__x0001__1" 题型破译4
\l "_题型1 零点所在区间的判断" 题型1 零点所在区间的判断4
【方法技巧】连续且区间函数端点值异号
\l "_题型2 求零点个数" 题型2 求零点个数5
【方法技巧】零点个数转化为图象交点个数
\l "_题型3 根据零点所在区间求参数范围" 题型3 根据零点所在区间求参数范围6
\l "_题型4 比较零点的大小" 题型4 比较零点的大小6
\l "_题型4 函数零点个数的应用" 题型5 零点个数的应用7
\l "_题型6 函数与方程的综合应用" 题型6 函数与方程的综合应用8
\l "__x000F__x0001__3" 04真题溯源·考向感知9
\l "__x0001__2" 05课本典例·高考素材10
\l "_Tc25045" 知识点1 函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系.
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线；② 则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
自主检测（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为RB．在R上单调递增
C．D．的零点大于
\l "_Tc25045" 知识点2 二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 ．
（2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
= 1 \* GB3 ①确定零点的初始区间，验证
= 2 \* GB3 ②求区间的中点
= 3 \* GB3 ③计算，进一步确定零点所在的区间：
若（此时），则就是函数的零点；
若（此时），则令；
若（此时），则令.
= 4 \* GB3 ④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
自主检测设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ）
A．B．
C．D．
题型1 零点所在区间的判断
例1-1已知函数的零点，则整数的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
例1-2（多选）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．精确到0.1的近似解为1.4
B．函数的零点在内
C．精确到0.1的近似解为1.5
D．函数的零点在内
方法技巧
(1)解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程;
(2)利用函数零点存在定理;
(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与工轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断.
【变式训练1-1·变考法】函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-2】已知函数－，则用二分法求的零点时，其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-3】在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（ ）
A．B．C．D．
题型2 求零点个数
例2-1函数与的图象共有 个交点．
例2-2函数的零点个数为 ．
方法技巧
（1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;
（2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
（3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数:
（4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0.
【变式训练2-1·变考法】在区间上，函数与图象的公共点个数为 ．
【变式训练2-2】设是定义在上的奇函数．当时，，则的零点个数为 ．
【变式训练2-3】（2025·上海·三模）函数的零点个数为
题型3 根据零点所在区间求参数范围
例3-1已知函数，在区间内存在，使，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例3-2函数在有零点，则实数的取值范围为 .
方法技巧
(1)函数中不含参数,零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题:
(2)函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;
(3)函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合思想或分离参数的方法求解。
【变式训练3-1·变载体】若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-2】已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练3-3】函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型4 比较零点的大小
例4-1已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例4-2（多选）已知函数，实数、、满足，其中，若实数为方程的一个解，那么下列不等式中，有可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
方法技巧
（1）结合函数单调性，通过值域大小关系推导函数零点大小关系
（2）数形结合，通过图形来比较零点大小
【变式训练4-1·变载体】已知，则正数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练4-2】已知a，b，c分别是函数的零点，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练4-3】已知函数的零点分别是，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
题型5 函数零点个数的应用
例5-1（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例5-2已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
方法技巧
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围:
(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;
(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解
【变式训练5-1】已知函数有唯一零点，则 ．
【变式训练5-2】已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为 ．
题型6 函数与方程的综合应用
例6-1已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例6-2设函数，若关于的方程有四个实根，，则的最小值是（ ）
A．15B．15.5C．16D．17
方法技巧
求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法具体步骤是:
(1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个);
(2)根据不同的t的值解方程g(x)=t,这个方程的解即为函数y=f[g(x)]的零点.
如不能解出x的值,可结合函数y=g(x)与y-t的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)的零点个数.
【变式训练6-1·变考法】已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练6-2·变考法】（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练6-3】（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ．
【变式训练6-4】已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（ ）
A．12B．C．15D．
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期D．与的图象有相同的对称轴
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
1.方程的实数根个数是 ．
2.判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）
3.判定下列方程存在几个实数根，并分别给出每个解的存在区间：
(1)；
(2)．
4.用二分法求方程的近似解．（精确度为0.1，可以使用计算器）
5.借助计算机作出函数的图象，并讨论方程的根的个数与分布情况．
6.讨论方程的解的个数与分布情况．
7．利用计算器，求方程的近似解（精确到）.
第07讲 函数与方程
目录
01 TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc199181714" 考情解码・命题预警 PAGEREF _Tc199181714 \h 2
\l "_Tc199181715" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc199181715 \h 3
\l "_Tc199181716" 03核心突破·靶向攻坚3
\l "_Tc199181717" 知能解码3
\l "_知识点1 指数与指数幂的运算" 知识点1 函数的零点3
\l "_知识点2 指数函数的图像与性质" 知识点2 二分法4
\l "__x0001__1" 题型破译5
\l "_题型1 零点所在区间的判断" 题型1 零点所在区间的判断5
【方法技巧】连续且区间函数端点值异号
\l "_题型2 求零点个数" 题型2 求零点个数7
【方法技巧】零点个数转化为图象交点个数
\l "_题型3 根据零点所在区间求参数范围" 题型3 根据零点所在区间求参数范围9
\l "_题型4 比较零点的大小" 题型4 比较零点的大小11
\l "_题型4 函数零点个数的应用" 题型5 零点个数的应用14
\l "_题型6 函数与方程的综合应用" 题型6 函数与方程的综合应用17
\l "__x000F__x0001__3" 04真题溯源·考向感知23
\l "__x0001__2" 05课本典例·高考素材31
\l "_Tc25045" 知识点1 函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系.
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)