初中数学浙教版（2024）八年级上册（2024）第2章 特殊三角形2.5 逆命题和逆定理优秀达标测试

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级上册（2024）第2章 特殊三角形2.5 逆命题和逆定理优秀达标测试，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，若AC=AD，BC=BD，则( )
A. AB垂直平分CDB. CD垂直平分AB
C. AB与CD互相垂直平分D. CD平分∠ACB
2.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为边AC上一点，过点A作AH⊥BD，交BD的延长线于点H.若BD=2AH，则∠ADB的度数为 ( )
A. 100°B. 105°C. 112.5°D. 135°
3.如图：∠AOB=30 ∘.按下列步骤作图：①在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作圆弧DE，交射线OB于点F.连结CF；②以点F为圆心，CF长为半径作圆弧，交弧DE于点G；③连结FG、CG.作射线OG.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )
A. ∠AOG=60 ∘B. OF垂直平分CGC. OG=CGD. OC=2FG
4.如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连结PB，PC.下列命题中，不一定是真命题的是( )
A. 若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PC
B. 若PB=PC，AD⊥BC，则AB=AC
C. 若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PC
D. 若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC
5.如图，某市的三个城镇中心A，B，C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A，B，C的距离相等，则P点应设计在( )
A. 三角形三个角的角平分线的交点B. 三角形三条高的交点
C. 三角形三边垂直平分线的交点D. 三角形三条中线的交点
6.下列各命题的逆命题成立的是( )
A. 如果两个数相等，那么它们的平方相等B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 全等三角形的对应角相等D. 等边三角形是锐角三角形
7.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 两个全等三角形的对应角相等
B. 若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形
C. 两个全等三角形的面积相等
D. 如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数
8.如图，已知点A(2,3)和点B(4,1)，在x轴或y轴上有一点P，且点P到点A和点B的距离相等，则点P的坐标为( )
A. (1,0)或(0,−1)B. (−1,0)或(0,1)C. (0,3)或(4,0)D. (2,0)或(0,1)
9.如图，在等腰Rt△ABC中，直角边AB=AC=1，D为BC的中点，E为AB边上的动点，DF⊥DE交AC于点F，M为EF的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为( )
A. 22πB. 22C. π2D. 12
10.如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PG//AD交BC于F，交AB于G，连接CP.下列结论：①∠ACB=2∠APB；②S△PAC：S△PAB=PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF=∠CPF.其中正确的是( )．
A. ①③B. ①②④C. ②③④D. ①③④
11.如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是( )
A. P为∠A、∠B两角平分线的交点
B. P为∠A 的角平分线与线段CB的垂直平分线的交点
C. P为∠A的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点
D. P为线段AB、AC的垂直平分线的交点
12.如图，在平行四边形ABCD中，AG⊥BC于点G，E是AB的中点，F是GC的中点，已知AD=8，EF=2 5，则AG的长为( )
A. 3B. 4C. 2 3D. 2 5
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.命题“如果a=b，那么|a|=|b|”的逆命题是 命题.(填“真“或“假”)
14.命题“如果a2=b2，那么|a|=|b|”的逆命题是 ．
15.命题“如果x=y，那么x2=y2”的逆命题是 命题．(填“真”或“假”)
16.如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN.若MN=2，则BC= ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
18.(本小题8分)
利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理证明以下命题：
已知：如图，AB=AC，DB=DC，点E在AD上。求证：EB=EC。
19.(本小题8分)
如图所示，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF//AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．
20.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC,AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
(1)求证：BE=AC；
(2)若∠B=35 ∘，求∠BAC的度数．
21.(本小题8分)
如图，在▵ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE/​/AC交AD的延长线于点E．
(1)求证：△BDE≌△CDA．
(2)若AD⊥BC，求证：BA=BE．
22.(本小题8分)
在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD=AD．
(1)如图①，求∠BAC的度数；
(2)如图②，若E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.求证：AF=AB+BC．
23.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，∠C=90∘，线段BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，DF⊥AC于点F，AD=BD.求证：DF是线段AC的垂直平分线．
24.(本小题8分)
已知，如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BC=6，AD=4，AB=5，求证：AB=AC．
25.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，BD是∠ABC的平分线，E为AB边上一点，且CE⊥BD，垂足为O．
(1)求证：BD是线段CE的垂直平分线；
(2)求证：∠ADE=∠ABC．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】略
2.【答案】C
【解析】 提示：延长AH，BC交于点E.易证△ACE≌△BCD，所以AE=BD.因为BD=2AH，所以AH=EH.所以HB是线段AE的垂直平分线，所以AB=EB.所以由等腰三角形的性质得∠ABD=∠CBD=12∠ABC=22.5∘，所以∠ADB=∠ACB+∠CBD=90°+22.5°=112.5°．
3.【答案】D
【解析】由作法得OC=OF=OG，FG=FC，根据线段垂直平分线的判定方法可判断OF垂直平分CG，则可对B选项进行判断;利用C点与G点关于OF对称得到∠FOG= ∠FOC=30°，则可对A选项进行判断;通过判断△OCG为等边三角形可对C选项进行判断;利用含30度的直角三角形三边的关系得到OC= 2CM，加上CF>CM，FC=FG，则可对D选项进行判断．
【详解】由作法得OC=OF=OG，FG=FC，则OF垂直平分CG，
所以B选项的结论正确；
∵C点与G点关于OF对称
∴∠FOG=∠FOC=30°，
∴∠AOG=60°，
所以A选项的结论正确;
∴△OCG为等边三角形，
OG=CG，
所以C选项的结论正确;
在Rt△OCM中，∵∠COM=30°
∴OC= 2CM，
∵CF>CM，FC=FG，
∴OC≠2FG，
所以D选项的结论错误
故选：D．
4.【答案】D
【解析】略
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【解答】
解：∵体育中心到城镇中心A、B的距离相等，
∴PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
同理，点P在线段AC，BC的垂直平分线上，
∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故选C．
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理，解决本题的关键是掌握真命题．
根据原命题分别写出逆命题，然后再判断真假即可．
【解答】
A、两个全等三角形的对应角相等，
逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，是假命题；
B、若一个三角形的两个内角分别为30°和60°，则这个三角形是直角三角形，
逆命题是：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个内角分别为30°和60°，是假命题；
C、两个全等三角形的面积相等，
逆命题是：面积相等的两个三角形全等，是假命题；
D、如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数，
逆命题是：如果一个数是无理数，那么这个数是无限不循环小数，是真命题．
8.【答案】A
【解析】略
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了轨迹，勾股定理，三角形的中位线定理，垂直平分线的判定，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．连接AM，DM、AD，先根据勾股定理求斜边BC，利用斜边上的中线性质得到AM=12EF，DM=12EF，则AM=DM，于是可判断点M在AD的垂直平分线上，则点M运动的轨迹为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．
【解答】
解：连接AM，DM、AD，如图，
∵AB=AC=1，∠BAC=90°，
根据勾股定理可得BC= AB2+AC2= 2
∵M为EF的中点，
∴AM=12EF，DM=12EF，
∴AM=DM，
∴点M在AD的垂直平分线上，
∴点M运动的轨迹为△ABC的中位线，
∴点M所经过的路线长=12BC= 22．
故选：B．
10.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．
利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解．
【解答】
解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，
∴∠PAB=12∠CAB，∠PBE=12∠CBE，
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，
∠PBE=∠PAB+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB；故①正确；
过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，
∴PM=PN=PS，
∴PC平分∠BCD，
∵S△PAC：S△PAB=(12AC⋅PN)：(12AB⋅PM)=AC：AB；故②不正确；
∵BE=BC，BP平分∠CBE
∴BP垂直平分CE(三线合一)，故③正确；
∵PG/​/AD，
∴∠FPC=∠DCP
∵PC平分∠DCB，
∴∠DCP=∠PCF，
∴∠PCF=∠CPF，故④正确．
本题正确的有：①③④
故选D．
11.【答案】C
【解析】解：∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上；
∵PA=PB，
∴P点在线段AB的垂直平分线上，
∴P为∠A的角平分线与线段AB的垂线平分线的交点．
故选：C．
利用角平分线、线段的垂直平分线的判定进行确定P点位置，从而可对各选项进行判断．
本题考查了角平分线及线段垂直平分线的作法，角平分线的判定和线段的垂直平分线的判定．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等有关知识，取CD的中点H，连接EH，交BD于点O，连接FH，GD，AC，先证明△BOE≌△DOH，可得BO=DO，EO=HO，进而得出点A，O，C三点共线，可知OF是△ACG的中位线，再根据中位线的性质得AG//OF，结合已知条件得出OF⊥BC，然后根据三角形中位线的性质得OH//BC，进而得出OF⊥EH，可知OF是EH的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出EF=FH，接下来根据勾股定理求出DG，然后根据中位线的性质求出FH，可得答案．
【解答】
解：取CD的中点H，连接EH，交BD于点O，连接FH，GD，AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，AD=BC=8，
∴∠EBO=∠HDO．
∵点E是AB的中点，点H是CD的中点，
∴BE=12AB，DH=12CD，
∴BE=DH．
∵∠BOE=∠DOH，
∴△BOE≌△DOH(ASA)，
∴BO=DO，EO=HO，
∴点A，O，C三点共线，
∴AO=CO．
∵点F是CG的中点，
∴OF是△ACG的中位线，
∴AG//OF．
∵AG⊥BC，
∴OF⊥BC．
∵点O是BD的中点，点H是CD的中点，
∴OH是△BCD的中位线，
∴OH//BC，
∴OF⊥EH，
∴OF是EH的垂直平分线，
∴EF=FH=2 5．
在Rt△ADG中，
DG= AD2+AG2．
∵点F是CG的中点，点H是CD的中点，
∴FH是△CDG的中位线，
∴FH=12DG，
∴12 AD2+AG2=2 5，
∴12 82+AG2=2 5，
解得AG=4
13.【答案】假
【解析】【分析】
本题主要考查了原命题与逆命题，真假命题，解答本题的关键是逆命题的写法，绝对值的概念；根据原命题写出逆命题，再根据绝对值的概念进行解答，即可求解．
【解答】
解：命题“如果a=b，那么|a|=|b|”的逆命题是“如果|a|=|b|，那么a=b”，
因为当|a|=|b|时，a=b或a=−b，
所以命题“如果a=b，那么|a|=|b|”的逆命题是假命题．
故答案为假；
14.【答案】如果|a|=|b|，那么a2=b2
【解析】【分析】
本题考查了原命题与逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．据此解答即可．
【解答】
解：“如果a2=b2，那么|a|=|b|”的逆命题是：如果|a|=|b|，那么a2=b2．
故答案为如果|a|=|b|，那么a2=b2．
15.【答案】假
【解析】【分析】本题考查了对逆命题的定义的理解及运用，解题的关键是分清原命题的题设和结论．将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，再判定真假即可．
【详解】解：“如果x=y，那么x2=y2”的逆命题是逆命题是如果x2=y2，那么x=y，该命题是假命题，
故答案为：假．
16.【答案】8
【解析】本题考查三角形外心的概念，可以利用外心的概念分析出OD、OE分别是线段AB、AC的垂直平分线，再利用三角形中位线的性质解决问题；也可以利用隐圆，以O为圆心，OA长为半径作圆，再利用垂径定理，分析出点D、E分别为AB、AC的中点．
17.【答案】解：逆命题：如果一个三角形一边上的中线和高线互相重合，那么这个三角形为等腰三角形．
已知：如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，且BD=DC.求证：△ABC为等腰三角形．
证明：因为AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°．
在△ABD和△ACD中，因为AD=AD,∠ADB=∠ADC,BD=CD,
所以△ABD≌△ACD(SAS)，所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形．

【解析】见答案
18.【答案】证明：∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∵CD=BD，
∴点D都在线段BC的垂直平分线上，
∴AD是线段BC的垂直平分线．
∵点E在AD的上，
∴EB=EC．
【解析】略
19.【答案】证明：如图，连结DF，因为∠BCE+∠ACE=90∘，∠ACE+∠CAE=90∘，所以∠BCE=∠CAE.因为AC⊥BC，BF//AC，所以BF⊥BC，所以∠ACD=∠CBF=90∘.又因为AC=CB，所以▵ACD≌▵CBF，所以CD=BF.因为CD=BD=12BC，所以BF=BD.所以▵BFD为等腰直角三角形.因为∠ACB=90∘，CA=CB，所以∠ABC=45∘.因为∠FBD=90∘，所以∠ABF=45∘.所以∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线.所以BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分DF．

【解析】略
20.【答案】【小题1】
证明：连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC=AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴BE=AC；
【小题2】
解：∵AE=BE,∠B=35 ∘，
∴∠BAE=∠B=35 ∘，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90 ∘，
∴∠BAD=90 ∘−35 ∘=55 ∘，
∴∠EAD=55 ∘−35 ∘=20 ∘，
∵AC=AE，AD⊥BC
∴∠CAD=∠EAD=20 ∘，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=55 ∘+20 ∘=75 ∘．

【解析】1.
本题考查中垂线的判定和性质，三线合一，三角形的内角和定理：
连接AE，由题意可判定AD垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质可得AC=AE=BE，即可证明结论；
2.
由等腰三角形的性质可求∠BAE=35 ∘，由直角三角形的性质可得∠BAD的度数，即可求得∠EAD,∠CAD的度数，进而可求解．
21.【答案】【小题1】
证明：∵点D为BC的中点，∴BD=CD，∵BE//AC，
∴∠EBD=∠C，∠E=∠CAD，在▵BDE和▵CDA中，∠EBD=∠C∠E=∠CADBD=CD,∴△BDE≌△CDA(AAS)；
【小题2】
证明：∵点D为BC的中点，AD⊥BC，∴直线AD为线段BC的垂直平分线，
∴BA=CA，由(1)可知：△BDE≌△CDA，∴BE=CA，∴BA=BE．

【解析】1. 略
2. 略
22.【答案】【小题1】
36°
【小题2】
∵E是AB的中点，BD=AD，∴EF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA=72°，∴∠AFB=∠FAC=36°，∴CA=CF，∴AB=AC=CF，∴AF=BF=CF+BC=AB+BC．

【解析】1. 略
2. 见答案
23.【答案】证明：连接CD，
∵线段BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
∴BD=CD，
∵∠ACB=90∘，AD=BD，
∴CD=BD=AD，
又∵DF⊥AC于点F，
∴DF是线段AC的垂直平分线．

【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质，关键是利用直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答．
连接CD，利用直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可．
24.【答案】解：∵AD是BC边上的中线，BC=6，
∴BD=12BC=3，
∵AD=4，AB=5，
∴AD2+BD2=42+32=25，AB2=25，
∴AD2+BD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90∘，
∴AD所在直线是BC的垂直平分线，
∴AB=AC．
【解析】先根据勾股定理的逆定理，证明出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质即可证明出结论．
本题考查勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
25.【答案】证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO=∠CBO，
∵CE⊥BD，
∴∠BOE=∠BOC，
在△BOE和△BOC中，
∠EBO=∠CBOBO=BO∠EOB=∠COB
∴△BOE≌△BOC(ASA)，
∴OE=OC，
即BD是线段CE的垂直平分线；
(2)由(1)可知△BOE≌△BOC(ASA)，
∴BE=BC，
在△BDE和△BDC中，
BE=BC∠EBD=∠CBD,BD=BD
∴△BDE≌△BDC(SAS)，
∴∠BED=∠BCD=90∘，
∴∠A+∠ADE=∠A+∠ABC，
∴∠ADE=∠ABC．
【解析】(1)由条件可证明△BOE≌△BOC，可证得OE=OC，即可证得结论;
(2)结合(1)可证明∠BED=∠BCD=90∘，可证明∠ADE=∠ABC．
本题主要考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．