河北省沧州市四校联考2024_2025学年高一数学下学期6月期末考试含解析

这是一份河北省沧州市四校联考2024_2025学年高一数学下学期6月期末考试含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．或
C．D．
2．如图所示，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图， 则平面图形ABCD的面积为（ ）
A．1B．C．D．3
3．下列说法正确的是（ ）
A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．向量与向量的长度相等
4．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列四个命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
5．为了关注学生们的健康成长，学校开展了一次高一年级的学生身高的抽样调查，随机抽取了名学生，将他们的身高划分成了、、、、五个层次，根据抽样结果得到如下统计图表，则从图表中不能得出的信息是（ ）
A．样本中层次身高的女生少于男生
B．样本中层次身高人数最多
C．样本中层次身高的学生人数占总人数的
D．样本中层次身高的男生有人
6．节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶．若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，则其中一个节气是立春的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ）
A．A与B 是互斥事件B．A 与B 是对立事件
C．A与C是独立事件D．B与C 是独立事件
8．在中，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据：
欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（ ）
A．若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人
B．若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人
C．若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人
D．若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员
10．如图所示，是的边上的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（ ）

A．圆锥SO的母线长为12
B．圆锥SO的表面积为
C．一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是
D．在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是
三、填空题
12．某学校的高一、高二及高三年级分别有学生1000人、2000人、3000人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，估计该校学生的平均身高是 .
13．已知向量，满足，，则向量与的夹角为 ．
14．圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为 ．
四、解答题
15．已知平面向量.
(1)若，求的值；
(2)若求的值；
(3)若向量，若与共线，求
16．如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.

(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
17．骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5，
(1)先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率；
(2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由.
18．北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E．

(1)求；
(2)求；
(3)求四边形的面积．
19．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组 ，其中第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，请根据下面尚未完成的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：
(1)若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理?
(2)李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数： 已知这10个分数的平均数 标准差 若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差；
(3)从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自同一小组的概率.
1．C
根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可.
【详解】复数在复平面内对应的点为，若其在第二象限，
则，解得.
故选：C.
2．D
根据给定条件，求出梯形的面积，再利用原平面图形面积与直观图面积的关系求出平面图形的面积.
【详解】在梯形中，，则该梯形的高为，
梯形的面积为，
在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的，
所以平面图形的面积.
故选：D.
3．D
本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断.
【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.
两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.
当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.
向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.
故选：D.
4．C
根据线线，线面，面面的位置关系，结合直观想象，判断选项.
【详解】A.若，，则或，故A错误；
B.若，，，则可能平行，相交，故B错误；
C.若，，，则，故C正确；
D. 若，，，则可能，比如三棱柱的侧面和侧棱，
也可能三条交线交于一点，比如三棱锥的侧面和侧棱，故D错误.
故选：C.
5．D
结合已知和两个统计图表，对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】对于A选项，样本中女生人数为人，则样本中男生人数为人，
样本中层次身高的男生人数为人，女生人数为人，
所以，样本中层次身高的女生少于男生，A对；
对于B选项，因为男生中层次的比例最大，女生中层次的比例最大，
所以样本中层次身高人数最多，B对；
对于C选项，样本中层次身高的女生有人，男生层次的有，
所以样本中层次身高的学生人数占总人数为比例为，C对；
对于D选项，样本中层次身高的女生有人，D错.
故选：D.
6．C
若从立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气中随机选择两个节气，共种情况，其中一个节气是立春，有种情况，用古典概型概率计算公式即可.
【详解】记立春、雨水、惊蛰、春分这四个节气分别为、、、，则样本空间，记事件表示“其中一个节气是立春”，则，由古典概型可知．
故选：C．
7．C
根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项.
【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误；
事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确；
事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误
故选：C
8．A
由题意及余弦定理、三角恒等变换等得，即，再根据正弦定理得到，从而得解.
【详解】因为，由正弦定理可得：，即，
所以
,
当且仅当，即时取等号，
即，所以正弦定理可得：，故的最大值为.
故选：A.
9．AD
选项A,B利用分层抽样即可判断，选项C,D则利用简单随机抽样判断即可.
【详解】对于选项A：按学科分层抽样，则数学学科抽样比为，则数学学科抽取人数为人，故A正确；
对于选项B：按性别分层抽样，男性抽样比为，则男性科研人员被抽到的人数为人，故选项B错误.
对于选项C：若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则女性科研人员不一定被抽取10人，选项C错误；
对于选项D: 若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则可能抽出的均为数学学科科研人员，故选项D正确；
故选：AD
10．ABD
利用向量的加、减、数乘运算及数量积得运算即可求解.
【详解】，A正确；
，B正确；
，C错误；
，D正确；
故选：ABD
11．BCD
A选项，根据与底面所成角的正弦值得到，然后利用勾股定理列方程，解方程即可；B选项，根据弧长公式得到，然后求面积；C选项，利用余弦定理得到，然后利用等面积的思路求；D选项，利用相似求圆锥内切球的半径，然后求正方体的体积即可.
【详解】

如图1，圆锥的轴截面为等腰三角形，则.
因为与底面所成角的正弦值为，所以，
所以，解得，故错误；
如图2，在圆锥的侧面展开图中，，
则圆锥的侧面积为，
所以圆锥的表面积为，故B正确；
如图2，过点作，垂足为.
在中，，
由余弦定理可得，
则，即，解得，故C正确；
如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为，
由题意可知，则，所以.
因为，所以，所以，解得.
设该正方体棱长的最大值为，
则，解得，
所以该正方体的体积的最大值是，故D正确.
故选：BCD.
12．
由分层抽样的概念求出各个年级抽得的人数，计算平均数即可.
【详解】因为高一、高二及高三年级分别有学生1000人、2000人、3000人，
用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为30人的样本，
则高一、高二及高三年级分别抽人，人，人，
抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为、、，
所以该校学生的平均身高为.
故答案为：.
13．/
利用数量积的运算律和向量的夹角公式求解即可.
【详解】因为，所以，
又因为，，所以，所以，
设向量与的夹角为，则，
又，所以，
即向量与的夹角为，
故答案为：
14．/
根据圆锥全面积得出关系，利用体积公式及二次函数求最值.
【详解】因为，所以，
所以，
即，
当时，
故答案为：
15．(1)
(2)
(3)18
（1）由垂直向量的数量积为零，建立方程求得向量坐标，利用向量的坐标运算，可得答案；
（2）由平行向量的坐标表示，建立方程求得向量坐标，利用向量的模长公式，可得答案；
（3）由向量的坐标运算，求得向量坐标，利用平行向量的坐标表示，建立方程，可得答案.
【详解】（1）因为，所以，则，解得，
故，.
（2）因为，所以，则，.
（3），，
若与共线，则，解得，即，
故.
16．(1)
(2)
（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案；
（2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积.
【详解】（1）因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm，
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，
所以.

设圆柱底面圆的半径为，
则，
圆柱体积.
所以剩下的几何体的体积.
（2）由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体，
它的外接球的球半径满足，即.
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为.

17．(1)
(2)不公平，理由见解析
（1）求出基本事件总数，利用列举法求出事件包含的基本事件个数，再利用古典概型求解即可；
（2）分别求出挑战第一关和第二关通过的概率，根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率求解即可.
【详解】（1）先后抛掷骰子两次，基本事件总数，
事件包含的基本事件有：共3个，
事件的概率为；
（2）抛掷1次骰子有共6种结果，
出现的点数不小于2的情况有共5种，则挑战第一关通过的概率为；
抛掷骰子两次，基本事件总数，
抛掷2次出现的点数之和不小于7的情况有
共21种，
则挑战第2关通过的概率为，
则连续挑战2关并过关的概率为，
所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
因为，所以这种游戏不公平．
18．(1)
(2)
(3)
（1）在中，利用余弦定理可求得；
（2）由余弦定理可求得，进而利用两角和的正弦公式可求得；
（3）利用正弦定理可求得，进而由三角形的面积公式可求结论.
【详解】（1）在中，由余弦定理，
，所以．
（2）在中，，在中，由余弦定理，
，
则，
．
（3）在中，，，
由正弦定理，，
，
四边形的面积为．
19．(1)78
(2)8个分数的平均数是90，方差是
(3)
（1）首先根据频率比值求，再求百分位数，即可求解；
（2）根据平均数和方差公式，再结合10个分数的平均数和方差公式，即可求解；
（3）利用编号和列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.
【详解】（1）第4组，第1组，第2组的频数之比为1：2：4，所以，
设晋级分数线为分，则，
得，
所以晋级分数划为78分合理；
（2）由条件可知，这10个数据的，，
设剩下8个数据的平均数为，
剩下8个数的方差为
（3）因为分数在，这两组的频率比为，
所以抽取的6人中，抽取2人，抽取4人，
这组的2人编号为，这组 4人编号为，
6人中所有抽取2人的组合包含，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况
其中2人恰来自同一组包含，，，，，，，共7种情况， 研究学科
性别
数学
物理
化学
生物
合计
女
15
10
24
31
80
男
45
40
18
17
120
合计
60
50
42
48
200
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
C
D
C
C
A
AD
ABD
题号
11









答案
BCD