广东署山市2024_2025学年高一数学下学期期中联考试题含解析

这是一份广东署山市2024_2025学年高一数学下学期期中联考试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，则的虚部为（ ）
A．2B．C．D．
2．在边长为1的等边三角形中，的值为（ ）
A．1B．C．D．
3．如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ）
A．B．C．D．
4．已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ）
A．B．C．D．
5．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
6．若，，则（ ）
A．B．C．D．
7．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，对于任意的，都有恒成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知复数z满足，则（ ）
A．为纯虚数B．对应的点在第四象限
C．D．和是方程的两个根
10．设是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则不与垂直
D．
11．对于函数．下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数在上有且只有一个零点
B．若函数在单调递增，则的取值范围为
C．若函数在时取得最小值，在时取得最大值，且，则
D．将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2
三、填空题
12．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m.

13．将函数图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标缩短为原来的，再将所得的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 .
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的平分线交AC于点D，且，则的最小值＝ ．
四、解答题
15．已知向量满足，且的夹角为，
(1)求；
(2)当向量与垂直时，求实数的值.
16．（1）已知，且，求的值；
（2）已知，且及，求的值.
17．如图，在中，，，点D在线段BC上.

(1)若∠ADC=，求AD的长；
(2)若BD=2DC，△ADC的面积为，求AC的长.
18．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系：
假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示．
(1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式；
(2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货．
①求该船可以进港的时间段；
②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）．
19．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
(3)已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．
1．B
利用复数的概念判断即可.
【详解】复数的虚部为.
故选：B
2．B
根据向量数量积的定义求解即可.
【详解】
由已知可得与的夹角为，
所以.
故选：.
3．A
根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可.
【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，，
所以
.
故选：A
4．B
利用向量加法求出、，结合已知向量及向量共线定理判断点共线即可.
【详解】由题设，，
结合题设中的向量，显然只有，即一定共线.
故选：B
5．D
利用正弦定理将边化角，再由和角公式化简可得或，最后分类讨论即可.
【详解】由正弦定理，得，
所以，故，
所以或，即或，
故为直角三角形或等腰三角形．
选：D．
6．A
将平方，结合可得，结合选项逐个判断即可.
【详解】将平方得，
结合可得，即，
即，
即，故CD错误
又
，故A对，B错；
故选：A
7．C
建立平面直角坐标系，利用向量法求得的余弦值.
【详解】
因为，，，
由余弦定理得，
所以，
所以为直角三角形，且，
以为原点，建立如图直角坐标系：
所以，
所以，
所以.
故选：C
8．B
由已知可得，令，结合已知可得为上的偶函数，且在区间上单调递减，可解不等式.
【详解】，
即，
所以.
设，则所求的式子转化为.
由，可知，
所以为上的偶函数.
当时，在区间上单调递减.
又为上的偶函数，所以在区间上单调递增.
又因为，所以，解得.
故选：B.
9．BC
先化简，然后结合选项可得答案.
【详解】因为，所以，
对于A，显然不是纯虚数，A不正确；
对于B，，对应的点在第四象限，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，所以和不是方程的根, D不正确.
故选：BC
10．AB
根据平面向量的数量积与模长、向量垂直得关系，结合数量积的运算性质逐项判断即可得答案.
【详解】对于A，由平方可得，故A正确；
对于B，若，则，所以，故B正确；
对于C，若，则或或舍去，故可能与垂直，故C错误；
对于D，当时，与可以垂直；
当时，，
综上，故D错误．
故选：AB
11．BCD
A选项，计算零点，然后判断零点个数；B选项，利用整体代入法求的单调递增区间，然后列不等式即可；C选项，根据正弦型函数的性质得到，然后利用诱导公式计算；D选项，根据图象平移得到，然后根据偶函数列方程，解得即可.
【详解】当时，，令，即，
则或，，整理得或，，
所以在上有和两个零点，故A错；
令，，整理得，，
所以的单调递增区间为，，
当时，，解得，即，
当时，，无解，
所以，故B正确；
由得，则，，，
所以，故C正确；
由题意得，
因为为偶函数，所以或，
即，，，
整理得，，
又，所以的最小值为2，故D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】由题设，
在中，
所以m.
故答案为：
13．
【详解】图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍得到，
横坐标缩短为原来的得到，向右平移个单位长度得到.
故答案为：.
14．
先根据题意求出角的大小，再结合角平分线的长度得到的关系，再结合基本不等式求出的最小值
【详解】因为，由正弦定理得，
因为，所以，故，
则的面积为，
即即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，的最小值为．
故答案为：．
15．(1)
(2)
（1）根据数量积的定义即可求解；
（2）向量与垂直，即，利用数量积的运算即可求解.
【详解】（1）由已知得.
（2）向量与垂直，
，
，
解得.
16．（1），（2）
（1）根据同角关系以及余弦的和差角公式求解，
（2）根据同角关系以及正弦的和角公式即可求解.
【详解】（1）由，可得，
由，可得，则，
，
（2）由，可得，
由，则，
，
由于，故
17．(1)
(2)
（1）在中，由正弦定理即可求解；
（2）由，得到，结合三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解.
【详解】（1）在中，.
在中，由正弦定理得，
又，
（2）.
又.
，
解得：
在中，由余弦定理得，
所以.
18．(1)；
(2)①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.
（1）根据给定的图形，求出函数模型中的各个参数作答.
（2）①根据给定条件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函数关系，数形结合求解作答.
【详解】（1）观察图形知，，解得，，，解得，
显然函数的图象过点，即，又，因此，
所以函数表达式为.
（2）①依题意，，整理得，
即有，即，
解得或，
所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.
②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货，
设自0点起卸货小时后，该船符合安全条例的最小水深为，
如图，函数与的图像交于点，
即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米，
令，即，，
解得，显然，
该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点，
综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务.
19．(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）根据题意知，向量的相伴函数为，
当时，，
又，则，所以，故.
（2）因为，
整理得到，故函数的相伴特征向量，
则与同向的单位向量为.
（3）由题意得，，
在中，，，因此，
设外接圆半径为，根据正弦定理，，故，
所以 ，
，
，
代入可得，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
B
D
A
C
B
BC
AB
题号
11









答案
BCD