浙江省9 1联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份浙江省9 1联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−2,−1,0,1,2,3}，B={x|x(x−2)≥0}，则A∩B=( )
A. {−2,−1,0}B. {−2,−1,3}C. {−2,−1,0,2,3}D. {−2,−1,0,3}
2.若复数z满足2z+z=3+2i(其中i为虚数单位)，则复平面内该复数z所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知A、B、C是球O的球面上三个点，且AB=AC=BC= 3，球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为( )
A. 8 23πB. 8πC. 323πD. 16π
4.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且a1=1，则“S3=3”是“q=−2”的( )条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
5.已知a=65，b=ln2.2，c=e0.2，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>a>c
6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点(其中点M在第一象限)，点M到抛物线C的准线的距离为5，则|MF||NF|的值为( )
A. 2B. 52C. 83D. 4
7.从0，1，2，3，4，5这6个数中任选2个奇数和1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为( )
A. 36B. 42C. 48D. 54
8.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2(a−bcsC)=csinB，BC边上的高为2，且b=3，则△ABC周长为( )
A. 4+4 5B. 5+2 2+ 5C. 6 2+2D. 4+2 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1∼8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，设事件A={1,2,7,8}，事件B=“得到的点数为偶数”，事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( )
A. P(A∪B)=34B. P(A|B)=12
C. 事件B与C互斥D. 事件A与B相互独立
10.已知函数f(x)=2sin(3x−π6)，下列说法正确的是( )
A. f(x−2π3)=f(x)
B. 函数f(x)的图象关于点(π18,0)中心对称
C. 将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，可得到g(x)=2sin3x的图象
D. 函数f(x)在区间(0,π3)上单调递增
11.已知函数y=ex−e−1与y=ln(x+e+1)交于M、N两点，如图截取两函数在M、N之间部分图像得到一条封闭曲线τ，则( )
A. τ关于直线y=−x对称
B. 若点M的横坐标为x0，则x0∈(1,2)
C. τ上的点到直线y=x距离的最大值为 22e
D. A，B是τ上互异的两点，分别过A，B作τ的切线，斜率记为k1，k2，若k1=k2，称(A,B)为τ的一组关联点，则τ的关联点有无数组．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.(x+2x3)4的展开式中的常数项为 ．
13.已知点M(0,3)，直线x−ky−2=0被圆x2+y2=8所截得弦的中点为N，则|MN|的最大值是 ．
14.若三次函数f(x)=ax3+x2+cx+1(a>0)有三个相异且成等差的零点，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AP=AD=4，AB=3，点M为PD的中点，连接MC．
(1)求三棱锥M−ACD的体积;
(2)求异面直线MC与PB所成的角的余弦值．
16.(本小题15分)
D公司开发了两款AI图像检测模型(分别记为甲模型、乙模型)，用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为23，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为12.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y．
(1)写出随机变量X的分布列、均值及方差．
(2)求事件“X+Y=3”的概率．
17.(本小题15分)
已知f(x)=lnx，g(x)=a(x2−1)(a∈R)．
(1)令ℎ(x)=f(x)+g(x)，讨论ℎ(x)的单调性和极值;
(2)若x≥1时，不等式xf(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知双曲线C的顶点与椭圆E:x23+y2=1的左右顶点A1，A2重合，且离心率为2 33．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)过双曲线上一点R(R位于第一象限)作切线l，l分别与x轴，y轴交于M，N两点，与椭圆E交于P，Q两点．
(ⅰ)若点R，M，N的横坐标成等差数列，求直线l的斜率．
(ⅱ)已知△OPQ的面积为34，求点R的坐标．
19.(本小题17分)
无穷整数数列{an}满足0≤a1≤a2≤⋯≤an−1≤an≤⋯，对任意的k∈N∗，记bk为数列{an}中小于k的项的个数，称数列{bn}是数列{an}的“联盟数列”．
(1)若数列{xn}有前9项分别为1，1，2，4，5，7，7，9，9，写出数列{xn}的“联盟数列”的前七项;
(2)若数列{xn}的“联盟数列”为{yn}，数列{yn}的“联盟数列”为{zn}，
(ⅰ)证明：zn=xn;
(ⅱ)记S=x1+x2+⋯+xn−1+xn，T=y1+y2+⋯+ym−1+ym，证明：S+T>nm．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.B
5.C
6.D
7.C
8.D
9.ABD
10.AB
11.BCD
12.8
13. 10+1
14.(0, 39)
15.解：(1)过点M作MH//AP，
因为PA⊥平面ABCD，所以MH⊥平面ABCD，即MH为三棱锥M−ACD的高．
又点M为PD中点，所以MH=12PA=2，
又底面为矩形，可知S△ACD=12⋅AD⋅DC=6，
所以三棱锥M−ACD的体积V=13⋅S△ACD⋅MH=13×6×2=4；
(2)设AC∩BD=O，连接OM，可知OM//PB．
则∠OMC(或其补角)即为异面直线MC与PB所成的角，
在△OMC中，OM=12PB=52，OC=12AC=52，MC= 17，
所以cs∠OMC=12MCOM= 175．
所以异面直线MC与PB所成的角的余弦值为 175．
16.解：(1)由题可知随机变量X服从二项分布：X∽B(3,23)，
所以随机变量X的分布列为P(X=k)=C3k(23)k(13)3−k，k=0，1，2，3．
均值为E(X)=3×23=2．
D(X)=3×23×13=23．
(2)由题可知“X+Y=3”的情况可分为四类：
①X=0，Y=3:P1=(13)3⋅(12)3=1216，
②X=1，Y=2:P2=C31(23)1(13)2⋅C32(12)3=18216，
③X=2，Y=1:P3=C32(23)2(13)1⋅C31(12)3=36216，
④X=3，Y=0:P4=(23)3⋅(12)3=8216，
所以P(X+Y=3)=P1+P2+P3+P4=63216=724．
17.解：(1)ℎ(x)=f(x)+g(x)=lnx+a(x2−1);
ℎ′(x)=1x+2ax=2ax2+1x，x>0;
①a≥0时，ℎ′(x)>0恒成立，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，没有极值：
②a0，则2ax2>−1，x20，m(x)在[1,+∞)上单调递增，
m(x)≥m(1)=1−2a>0，即φ′(x)>0，
φ(x)在[1,+∞)上单调递增，φ(x)≥φ(1)=0，不满足条件，
当00，
即φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(1)=0，不满足条件。
综上，a的取值范围是[12,+∞)。
18.解：(1)由题意可得，椭圆E左右顶点A1A2分别为(− 3,0)，( 3,0)，而双曲线的顶点与A1，A2重合，
故可设双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a,b>0)，此时a= 3，
由e=ca=2 33得c=2，b2=c2−a2=4−3=1，因此双曲线的标准方程为x23−y2=1．
(2)(i)由题意可得，切线l的斜率存在，
不妨设l:y=kx+m，切点R(x0,y0)，联立方程：x2−3y2=3y=kx+m整理可得：(1−3k2)x2−6mkx−3m2−3=0，
由于l与双曲线相切：因此△=0，即36m2k2+12(m2+1)(1−3k2)=0，经化简可得：m2+1=3k2(∗)，
此时x0=3mk1−3k2，y0=kx0+m=m1−3k2，且xM=−mk，xN=0，
若点R，M，N的横坐标成等差数列，则2xM=x0+xN，即3mk1−3k2=−2mk，
若m=0，则根据(∗)式可得，k=± 33，此时l为双曲线的渐近线，不可能为切线，
故3k1−3k2=−2k，解得3k2=2，∴k= 63(切点在第一象限)，
(ii)不妨设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
此时切线l:y=kx+m与椭圆联立：x2+3y2=3y=kx+m整理得：(1+3k2)x2+6mkx+3m2−3=0(※)，
(※)式中，△=36k2−12m2+12=24>0恒成立，
此时，
解得k2=73，m2=6或k2=59，m2=23，
则R的坐标为( 142, 66)或( 302, 62).
19.解：(1)因为数列{xn}有前9项分别为1，1，2，4，5，7，7，9，9，
设数列{xn}的“联盟数列”为{yn}，
则y1=0，y2=2，y3=3，y4=3，y5=4，y6=5，y7=5；
(2)(i)yi表示数列{xn}中小于i的项的个数，yi+1表示数列{xn}中小于i+1的项的个数，
显然yi≤yi+1，因此0≤y1≤y2≤y3≤⋯≤yn−1≤yn≤⋯，
设{yn}的联盟数列{zn}中的任意一项zk=t(k∈N∗,t∈N)，
则由“联盟数列”的定义可知yt