浙江省浙东北县域名校发展联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

这是一份浙江省浙东北县域名校发展联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中既是偶函数，又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=xB. y=−1xC. y=−|x|D. y=x2
2.已知随机变量X~N(2,σ2), 且P(X 4)=( )
A. 0.6B. 0.4C. 0.2D. 0.1
3.下列函数求导正确的是( )
A. (2lnx)′=2xB. (sinx)′=−csxC. (e2x)′=2exD. (1x)′=1x2
4.已知函数f(x)=10x,x0,y>0)呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设u=3lny，v=(4x−5)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程u=−14v+3，则变量y的估计值有( )
A. 最大值为eB. 最小值为eC. 最大值为e3D. 最小值为e3
8.已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，f(−x+1)+g(x+1)=f(x+2)−g(x)=1，且f(x)满足f′(x+1)+f′(−x+1)=0，g(1)=−1，则k=12025f(k)=( )
A. −1B. 1C. 2025D. 2026
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变
B. 在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
C. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于0
D. 决定系数R2=1−i=1n(yi−yi )2i=1n(yi−y)2可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好
10.已知函数f(x)=x2+2x−2ex，则下列结论正确的有( )
A. f(x)共有3个零点
B. f(x)既存在极大值，也存在极小值
C. 若x∈[t,+∞)时，f(x)max=6e2，则t的最大值为2
D. 若函数y=f(x)−k有2个零点，则k∈(−2e2,0]∪{6e2}
11.高考数学新课标Ⅰ卷试题的第二部分为多选题，每题设有4个选项，其中正确选项的数量为2个或3个.若正确答案共2个选项，每选对1个得3分;若正确答案共3个选项，每选对1个得2分.需要注意的是，全部选对才能得6分，一旦选中任何错误选项，该题即得0分.张三对其中的某题完全不会，若该题共有三个正确选项的概率是23，记X、Y、Z分别为张三随机选择1个、2个、3个选项的得分，则( )
A. P(X=2)=12B. P(Y=4)=P(X=3)+P(Z=6)
C. E(Z)D(X)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设(2x+1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a0+a1+a2+a3+a4= ．
13.已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为Ai(xi,yi)(i=1,2,3,⋯,8)，经验回归方程为y=−2x+a，若i=18xi=40，i=18yi=−64，则a= ．
14.已知函数f(x)=|ax+4x−b|(a,b∈R)，当x∈[1,4]时，设f(x)的最大值为M(a,b)，则M(a,b)的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3−3x．
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程．
16.(本小题15分)
2025年3月30日，第20届亚洲马拉松锦标赛在浙江嘉兴盛大启幕.为了解观众的观赛体验，从现场随机抽取了200位观众开展相关调查，得到满意率为80%．
(1)根据所给数据，完成2×2列联表;
(2)在(1)的条件下，依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为性别与满意度有关联?
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
已知(x−2x)n的展开式中共有7项．
(1)求n的值;
(2)求展开式中二项式系数最大的项;
(3)求(2+x2)(x−2x)n的展开式中含x2的项的系数．
18.(本小题17分)
近年来，购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一.2025年初，中国动画电影《哪吒2》火爆上映，引发观影热潮.随后，某手办店乘势推出一系列单价相同、款式各异的手办盲盒，其中开出哪吒手办的概率是35，开出敖丙手办的概率是25．
(1)若张三到该店购买3个盲盒，设其开出哪吒手办的个数为X，求X的分布列和期望;
(2)若张三到该店购买8个盲盒，求其开出的哪吒盲盒最有可能的数量;
(3)若该店开展活动，当顾客在购买手办盲盒过程中，连续开出2个哪吒手办时，可获赠1个齐天大圣手办.已知手办盲盒单价为9元，那么平均花多少钱能获得1个齐天大圣手办?
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的最小值，并求出相应的x;
(2)若f(x)≥a(x− x)对任意x∈(0,+∞)恒成立，求实数a的值;
(3)若直线y=m(其中−1e0)．
令f′(x)>0，得x>1e，
所以f(x)在(0,1e)单调递减，在(1e,+∞)单调递增．
即当x=1e时，f(x)min=f(1e)=−1e．
(2)由切线不等式lnx≤x−1(当且仅当x=1时等号成立)，
可得ln1x≤1x−1，则lnx≥1−1x，进一步ln x≥1−1 x，化简得lnx≥2(1−1 x)，
所以xlnx≥2(x− x)，即a=2．
验证充分性：
由题可知xlnx≥a(x− x)，即 xlnx−a( x−1)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立．
当a=2时，可设g(x)= xlnx−2 x+2，设t= x>0，可得y=2tlnt−2t+2，y′=2lnt，
进而可得y=2tlnt−2t+2在(0,1]单调递减，在[1,+∞)单调递增，所以ymin=y|t=1=0，
所以g(x)≥0，
综上所述，可得a=2．
(3)设A(0,0)，B(1,0)，C(1e,−1e)，
由(1)、(2)知：当x∈(0,1e)时，lnx