云南师范大学附属中学2026届高三高考适应性月考卷（一）数学（B卷）（解析）

这是一份云南师范大学附属中学2026届高三高考适应性月考卷（一）数学（B卷）（解析），共28页。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1.若全集，，，则下列关系正确的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数的性质求得集合,进而进行集合的运算求得集合的补集，然后判定相关集合的包含关系是否成立.
【详解】集合 ，集合.
因为全集 （所有实数）,所以 .
选项 A: 取（因为 )，但 （因为 仅包含正实数），因此，，选项 A 错误；
选项 B: 取（当 时，)，但 （因为 )，因此，，选项 B 错误；
选项 C: ，，对于任意 ，有 ，所以 ，因此，，选项 C 正确；
选项 D: ，，取 ，但 ，所以 ，因此，，选项 D 错误.
故选： C.
2.已知复数z满足：，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求解即可.
【详解】由，
故选：B
3.下列说法正确的是（ ）
A.某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁，则该单位全体职工的平均年龄是33岁
B.已知随机变量，若，则
C.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1
D.某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量Y，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率平均数求解可判断A；根据正态分布性质即可判断B；根据相关系数概念可判断C；根据二项分布期望公式及期望运算性质计算可判断D.
【详解】对A，单位男职工概率为，女职工概率为，
其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁，
则该单位全体职工的平均年龄是岁，故A错误；
对B，随机变量，若，则，
则，故B错误；
对C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1，故C错误；
对D，某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量，
则服从二项分布，即，所以，
所以，故D正确.
故选：D
4.已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象上特殊点代入可排除BCD，得解.
【详解】由图象过点可知，AC选项满足，BD选项不满足，故排除BD；
对A，，而对于C，，故排除C.
故选：A
5.双曲线的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合双曲线方程求出的坐标，由列方程找出的关系，即可得渐近线方程.
【详解】由题知，，
又，则的横坐标为，
根据对称性不妨设在轴上方，
由，解得，则，
于是，故，
即，，化简可得，
于是，即，
故渐近线方程为：.
故选：B
6.球面距离在地理学、导航系统、信息技术等多个领域有着广泛应用．球面距离的定义：经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆）．四面体的外接球直径为，且，，则A、B两点在外接球上的球面距离为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】设球O，再求出A、B所在球大圆所对应的圆心角，进而利用弧长公式即可求出A、B两点之间的球面距离.
【详解】球的半径为， 设球心为O，，
所以在中，由于，，所以，
所以A、B两点之间的球面距离为
故选：C
7.已知数列的前n项和为，，，（ ）
A.300B.301C.324D.325
【答案】B
【解析】
【分析】降标作差得，再利用并项求和即可.
【详解】由得，，
两式作差得，
则
.
故选：B
8.在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（ ）
A.2B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】设点，，根据圆的切线的性质可得在以为直径的圆上，求得其圆的方程，再由在圆上，可得直线的方程，求得直线恒过定点，从而得在以为直径的圆，得出圆的方程可求得的最大值．
【详解】设点，，
因为是圆的切线，所以，
所以在以为直径的圆上，
其圆的方程为，
又在圆上，
则将两个圆的方程作差得直线的方程：，
即，所以直线恒过定点，
又因为，四点共线，所以，
即在以为直径的圆上，
其圆心为，半径为，
所以，
所以的最大值为.
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数，则下列正确的是（ ）
A.在上的值域为
B.是图象的一条对称轴
C.将图象上的所有点向右平移个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称
D.在区间上有6个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简，整体代换法求值域判断A；代入检验法判断B；利用平移变换求出解析式判断C；求出所有零点，再根据范围即可求出个数.
【详解】由题意得，
，
对于A，，则，则，
则，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，平移后的函数解析式为，是偶函数，故C正确；
对于D，令，则，
令，得，则，
则在区间上有4个零点，故D错误.
故选：BC
10.正方体中，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.三棱锥的体积为定值
C.直线与平面所成角的取值范围为
D.直线与直线所成的角为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，先由线线垂直证平面，得到，同理证得，从而得平面，即可证；对于B，由平面得到点到平面的距离不变，结合底面面积为定值即得；对于C，D，通过建系利用空间向量夹角公式，分别计算线面所成角和异面直线所成角推理即得结论.
【详解】
对于A，在正方体中，平面，平面，则，
因，平面，故平面，
因平面，故，同理可得，
因平面，则平面，
又点P为线段上的动点，即平面，故，故A正确；
对于B，易证，因平面，平面，故平面，
则点到平面的距离不变，又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，
因点P为线段上的动点，设，，则，
因，设平面的法向量为，
则，故可取，
设直线与平面所成角为，则，
因在上单调递减，故，故得，故C错误；
对于D，根据C项建系，可得，设直线与直线所成的角为，
则，即，故D正确.
故选：ABD.
11.已知，下列正确的是（ ）
A.当时，的值域为
B.当时，有2个零点
C.若有两个不同的极值点，则a的取值范围为
D.过点可作的两条切线，则a的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出函数导数，利用导数得出函数值域判断A，利用导数求出函数最大值，由最大值为负判断B，根据函数有两个极值点转化为导数有两个不等实根，利用导数分析即可判断C，求出切线方程，转化为方程有两个不等根，利用导数及分类讨论求解判断D.
【详解】当时，，，当时，，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以且时，，所以的值域为，故A正确；
当时，，由可得
，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以无解，即无零点，故B错误；
，由函数有两个极值点，得，即有两个实数根，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，上单调递减，，
且，当时，函数恒成立，因此当时，有两个实数根，所以函数有两个极点时，的取值范围是，故C正确；
由，设过点的直线与曲线相切时的切点为，斜率，切线方程为，
而点在切线上，则，即有，由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，令，
则函数有2个零点，求导得，
①若，由，得或，由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值；当时，取得极小值，
又，
当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；
②若，恒成立，函数在上单调递增，
因此函数最多1个零点，不合题意；
③若，由，得或，由，得，
即函数在，上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得极大值；当时，取得极小值，又，
显然当时，恒成立，因此函数最多1个零点，不合题意；
④若，显然，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，要函数有2个零点，必有，得，
当时，，
而函数在上的值域为，因此在上的值域为，当时，令，求导得，函数在上单调递减，则，，
而函数在上单调递减，值域为，因此函数在上的值域为，于是当时，函数有两个零点，
所以过点可作曲线两条切线时，的取值范围是，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若平面向量，，，则实数________．
【答案】
【解析】
【分析】由得，利用数量积坐标运算即可求解.
【详解】由题意有，
所以，
故答案为：.
13.某校5名同学参加，，三项志愿者服务工作，每名同学参加一项工作，每项工作至多需要2名同学．若同学甲参加工作，则不同的安排方法共有________种．
【答案】30
【解析】
【分析】根据题意，分只有甲同学参加工作和除同学甲外还有一名同学参加工作两种情况，根据先分组再分配的原则，即可求解.
【详解】若只有甲同学参加工作，则共有（种）安排方法；
若除同学甲外，还有一名同学参加工作，则共有（种）安排方法；
故共有（种）安排方法.
故答案为：30.
14.定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”．已知锐角三角形的外接圆半径为2，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．分别以a，b，c为直径向三角形外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理求得边长，结合题意，整理函数解析式，利用三角函恒等式以及性质，可得答案.
【详解】由正弦定理可得，其中，由，则，
由题意可作图如下：
易知平面区域D的“直径”为半圆弧上的两点连线，取的中点分别为，
由，则即的长小于等于周长的一半，当与重合时取等，
同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半，因此区域的“直径”为的周长的一半，
由正弦定理可得
，
在锐角三角函数中，易知，解得，则，
可得，所以.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.已知正项等差数列的公差为2，的前n项和为，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意先求首项，进而得；
（2）由（1）先求，进而得，最后利用分组求和即可.
【小问1详解】
由题意有，又因为，，成等比数列，
所以，即，
化简整理得，解得，所以；
【小问2详解】
由（1）有，所以，
所以
.
16.如图，已知四棱锥，底面，，，，，E为棱上靠近点P的三等分点．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由相似三角形可得线段比例，从而可得线线平行，根据线面平行的判定，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案.
【小问1详解】
连接，记，连接，如下图：
在梯形中，易知，则，
由题意可得，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由题意易知两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，，
设平面的法向量，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则.
17.“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式．为了了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？
（2）某校组织“AI模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束．规定：对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲、乙两名选手正确回答每道题的概率分别为，．
（i）求比赛结束后甲获胜的概率；
（ii）求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率．
附：，其中．
【答案】（1）认为DeepSeek使用情况与学历无关
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】(1)先假设DeepSeek的使用情况与学历无关，再根据卡方的计算式计算出卡方的结果，和6.635去比，根据独立性检验的理论即可做出判断；
(2)（i）对于一道题而言，先分析甲得分的可能情况并求出概率，即可知道比赛结束后甲获胜的所有可能情况，再根据重伯努利实验的概率计算式计算即可；
（ii）由（i）可知甲获胜的概率，只须计算出比赛结束后甲获胜的同时乙恰好回答对1道题的概率，再按照条件概率的计算式计算即可.
【小问1详解】
由题意有：零假设为：DeepSeek的使用情况与学历无关，，
所以据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为DeepSeek的使用情况与学历无关；
【小问2详解】
（i）当甲，乙同时回答第道题时，甲得分为，
所以，，
比赛结束甲获胜时的得分可能的取值为10，20，30，
所以，，
所以比赛结束后甲获胜的概率，
（ii）设事件“比赛结束后甲获胜”，事件“比赛结束时乙恰好答对一道题”，
所以，
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为．
18.已知函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）函数，当时，函数和图象上分别存在点M和N关于x轴对称，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过求导判断导数的正负来确定函数的单调区间；
（2）根据关于轴对称的点的坐标关系，将问题转化为方程有解的问题，再通过构造函数，利用导数研究函数的值域来确定的取值范围.
【小问1详解】
由函数，求导可得，
令，即，因为恒成立，所以，解得，
令，即，因为恒成立，所以，解得，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
【小问2详解】
因为当时，函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，
那么与在上有交点，即在上有解，
令，则函数在上存在零点，
求导可得，令，
求导可得，由，则在恒成立，
所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，，
当时，，，则，使得，
由得，由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由，，则显然成立，
所以函数在上存在零点，符合题意；
当时，，则上恒成立，
所以函数在上单调递增，则，
显然函数在上不存在零点，不符合题意.
综上所述，.
19.将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的离心率为，点在E上．
（1）求E的方程；
（2）设椭圆G与椭圆E在“一簇椭圆系”中，椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若过M的直线l交椭圆E于另一点N，l交椭圆G于A，B两点．
（i）证明：；
（ii）O为坐标原点，P为椭圆G的右顶点，若点A在第一象限，且，是否存在椭圆G使得，若存在，求出椭圆G的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）由离心率设出，代入已知点，建立方程，可得答案；
（2）（i）设出直线方程，联立方程，求得交点坐标与韦达定理，根据中点坐标，可得答案；（ii）由向量的等量关系，写出点的坐标，利用三角形的面积相等，建立方程，可得答案.
【小问1详解】
由题意可得椭圆的离心率，可设，，则，
由椭圆，则椭圆，代入，可得，解得，
所以椭圆.
【小问2详解】
（i）因为椭圆与椭圆在＂一簇椭圆系＂中，所以椭圆的离心率，
设椭圆的方程为，则，即，所以椭圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，方程为，则，，，显然，
设直线的方程为，设，，，
联立，将代入得，
展开得，整理为，则，
联立，将代入得，
展开得，两边同乘得，
即，易知Δ=64k2−41+4k24−4n2>0，
由韦达定理，
设的中点为，则，，
的中点也为，
所以与的中点重合，根据椭圆的对称性可知.
（ii）因为，设，
则，即，
由，则，
将代入得，，
再代入得，化简得，
由，，则直线的斜率，
即直线的方程为，过作轴，交于，
由，则，解得，
即
已知，，
因为，由可得，
由位于第一象限，则，由，则，代入，
化简可得，解得，所以椭圆的方程为.
学历
使用情况
合计
经常使用
不经常使用
本科及以上
65
35
100
本科以下
50
50
100
合计
115
85
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828